9升高一衔接11幂函数Word格式文档下载.docx

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象

1.当α∈时，幂函数y＝xα的图象不可能经过第________象限.

2.已知幂函数f（x）＝k·

xα的图象过点，则k＋α＝________.

3.下列函数是幂函数的序号是________.

①y＝2x；

②y＝2x－1；

③y＝（x＋2）2；

④y＝；

⑤y＝.

4.已知幂函数f（x）＝xα的图象经过点，则f（4）的值等于（　　）

A.16B.C.2D.

答案:

1.二、四　2.　3.④⑤　4.D

题型一　幂函数的定义及应用

例1　已知y＝（m2＋2m－2）·

＋（2n－3）是幂函数，求m、n的值.

探究提高　

（1）判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：

①指数为常数；

②底数为自变量；

③幂系数为1.

（2）若一个函数为幂函数，则该函数解析式也必具有以上的三个特征.

　解　∵y＝（m2＋2m－2）·

＋（2n－3）为幂函数．

∴m2＋2m－2＝1且2n－3＝0.

∴m＝－3，m＝1且n＝.

又m2－1≠0，∴m＝－3且n＝.

已知f（x）＝（m2＋2m）xm2＋m－1，m为何值时，f（x）是：

（1）正比例函数；

（2）反比例函数；

（3）二次函数；

（4）幂函数.

解　

（1）若f（x）是正比例函数，则，解得m＝1.

∴当m＝1时，f（x）为正比例函数．

（2）若f（x）为反比例函数，则

，解得m＝－1.

∴当m＝－1时，f（x）为反比例函数．

（3）若f（x）为二次函数，则

，解得m＝.

∴当m＝时，f（x）为二次函数．

（4）若f（x）为幂函数，则m2＋2m＝1，

解得m＝－1±

.

∴当m＝－1±

时，f（x）为幂函数．

题型二　幂函数的图象及性质的简单应用

例2　已知幂函数f（x）的图象过点（，2），幂函数g（x）的图象过点.

（1）求f（x），g（x）的解析式；

（2）当x为何值时，①f（x）>

g（x）；

②f（x）＝g（x）；

③f（x）<

g（x）.

例2　解　

（1）设f（x）＝xα，

∵其图象过点（，2），故2＝（）α，

解得α＝2，∴f（x）＝x2.设g（x）＝xβ，

∵其图象过点，∴＝2β，解得β＝－2，∴g（x）＝x－2.

（2）在同一坐标系下作出f（x）＝x2与g（x）＝x－2的

图象，如图所示．由图象可知：

f（x），g（x）的图

象均过点（－1,1）与（1,1）．

∴①当x>

1或x<

－1时，f（x）>

②当x＝1或x＝－1时，f（x）＝g（x）；

③当－1<

x<

1且x≠0时，f（x）<

g（x）．

变式训练2　解　依题意，其图象与y轴有公共点，则4－3m－m2>

0，即m2＋3m－4<

0，

解得－4<

m<

1.又∵m∈Z，

∴m＝－3，－2，－1,0.

当m＝－3或m＝0时，函数可化为y＝x4，符合题意，其图象如图①.

当m＝－2或m＝－1时，函数可化为y＝x6，符合题意，其图象如图②.

图①　　　　　　　图②

综上所述，m的值为－3，－2，－1,0.

已知幂函数y＝（m∈Z）的图象与y轴有公共点，且其图象关于y轴对称，求m的值，并作出其图象.

1.又∵m∈Z，∴m＝－3，－2，－1,0.

图②

图①　　　

综上所述，m的值为－3，－2，－1,0.

题型三　利用幂函数的性质比较幂值的大小

例3　比较下列各组数的大小：

（1）和；

（2）和；

（3）0.20.5和0.40.3.

　探究提高　在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题关键

　解　

（1）∵函数y＝在（0，＋∞）上是递增函数，且0.95<

0.96.

∴<

，∴>

（2）＝，由于函数y＝在（0，＋∞）上是减函数，∴>

，

∴－<

－，即－<

－.

（3）由于函数y＝0.2x在R上是减函数，

∴0.20.5<

0.20.3，又函数y＝x0.3在（0，＋∞）上是增函数，∴0.20.3<

0.40.3，

故0.20.5<

0.40.3.

比较下列各组数的大小：

（1）30.8,30.7；

（2）0.213,0.233；

（3），；

（4），和.

解　

（1）函数y＝3x是增函数，∴30.8>

30.7.

（2）函数y＝x3是增函数，∴0.213<

0.233.

（3）∵>

>

∴>

（4）>

＝1；

0<

<

0，∴<

题型四　幂函数的综合应用

例4　已知幂函数f（x）＝（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，＋∞）上是减函数，求满足<

的a的取值范围.

探究提高　本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质.解答此类问题可分为两大步：

第一步，利用单调性和奇偶性（图象对称性）求出m的值或范围；

第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a的取值范围.

例4　解　∵函数在（0，＋∞）上递减，

∴m2－2m－3<

0，解得－1<

3.

∵m∈N*，∴m＝1,2.

又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，

而22－2×

2－3＝－3为奇数，12－2×

1－3＝－4为偶数，∴m＝1.

而f（x）＝在（－∞，0），（0，＋∞）上均为减函数，

等价于a＋1>

3－2a>

或0>

a＋1>

3－2a或a＋1<

3－2a.

解得a<

－1或<

a<

.故a的取值范围为

已知幂函数f（x）＝（m∈N*）.

（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

（2）若该函数还经过点（2，），试确定m的值，并求满足条件f（2－a）>

f（a－1）的实数a的取值范围.

变式训练4　解　

（1）m2＋m＝m（m＋1），m∈N*，而m与m＋1中必有一个为偶数，

∴m（m＋1）为偶数．

∴函数f（x）＝x（m2＋m）－1（m∈N*）的定义域为[0，＋∞），并且在定义域上为增函数．

（2）∵函数f（x）经过点（2，），

∴＝，即＝.

∴m2＋m＝2.

解得m＝1或m＝－2.

又∵m∈N*，∴m＝1.

由f（2－a）>

f（a－1）得解得1≤a<

∴a的取值范围为[1，）．

题型五.利用转化思想求参数范围

例:

若函数f（x）＝＋（x2－mx＋1）0的定义域为R，求实数m的取值范围.

审题视角　

（1）从幂函数的视角看，幂指数为－.f（x）的定义域为R，转化为mx2＋4x＋m＋2>

0恒成立，且x2－mx＋1≠0.

（2）mx2＋4x＋m＋2>

0恒成立转化为y＝mx2＋4x＋m＋2开口向上，且与x轴无交点.

规范解答

解　设g（x）＝mx2＋4x＋m＋2，h（x）＝x2－mx＋1，原题可转化为对一切x∈R有g（x）>

0且h（x）≠0恒成立.

由①得

即⇒

∴m>

－1＋.

由②得Δ2＝（－m）2－4<

0，即－2<

2.

综上可得－1<

2.

批阅笔记　

（1）有关幂函数y＝xα的定义域的确定，当α为分数时，可转化为根式考虑，当α＝0时，底是非零的，不可忽视.本题将原题转化为对一切x∈R有g（x）>

0且h（x）≠0恒成立是解题的关键.

（2）不等式恒成立问题，可利用数形结合思想，如g（x）>

0和h（x）≠0在R上恒成立作进一步转化.（3）易错分析：

第一，不能将问题转化为mx2＋4x＋m＋2>

0恒成立问题，也就是缺乏转化的意识；

第二，易忽略x2－mx＋1≠0的隐含条件，致使范围扩大.

方法与技巧

1.幂函数y＝xα（α∈R），其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准.应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如y＝x＋1，y＝x2－2x等都不是幂函数.

2.比较多个幂值的大小，一般采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确定各数之间的大小关系.

3.幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：

（1）α>

0时，图象过（0,0），（1,1）在第一象限的图象上升；

α<

0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立.

（2）曲线在第一象限的凹凸性α>

1时，曲线下凸；

1时，曲线上凸；

0，曲线下凸.

失误与防范

1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；

幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；

如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

2.作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限内的图象，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义域内完整的图象.

3.利用幂函数的图象和性质可处理比较大小、判断复合函数的单调性及在实际问题中的应用等类型的问题.进一步培养学生的数形结合、分类讨论等数学思想和方法.

　A组　专项基础训练题组

一、选择题

1.幂函数y＝f（x）的图象过点，那么f（8）的值为（　　）

　A.2B.64C.D.

2.下图是函数y＝（m，n∈N*，m、n互质）的图象，则（　　）

A.m，n是奇数，且<

1

B.m是偶数，n是奇数，且>

C.m是偶数，n是奇数，且<

D.m是奇数，n是偶数，且>

3.（2011·

陕西）函数y＝的图象是（　　）

答:

1.C　2.C　3.B　

二、填空题

4.若幂函数y＝（m2－3m＋3）·

的图象不经过原点，则实数m的值为________.

5.已知a＝xα，b＝，c＝，x∈（0,1），α∈（0,1），则a，b，c的大小顺序是________.

6.若<

，则a的取值范围是__________.

4.1或25.c<

b　6.

三、解答题

7.设f（x）是定义在R上以2为最小正周期的周期函数.当－1≤x<

1时，y＝f（x）的表达式是幂函数，且经过点（，）.求函数在[2k－1,2k＋1）（k∈Z）上的表达式.

7.解　设在[－1,1）中，f（x）＝xn，

由点（，）在函数图象上，求得n＝3.

令x∈[2k－1,2k＋1），则x－2k∈[－1,1），

∴f（x－2k）＝（x－2k）3.

又f（x）周期为2，

∴f（x）＝f（x－2k）＝（x－2k）3.

即f（x）＝（x－2k）3（k∈Z

8.已知f（x）＝（n＝2k，k∈Z）的图象在[0，＋∞）上单调递增，解不等式f（x2－x）>

f（x＋3）.

）．

8.解　由条件知>

－n2＋2n＋3>

n<

又n＝2k，k∈Z，∴n＝0,2.

当n＝0,2时，f（x）＝，

∴f（x）在R上单调递增．

∴f（x2－x）>

f（x＋3）转化为x2－x>

x＋3.

解得x<

－1或x>

∴原不等式的解集为（－∞，－1）∪（3，＋∞）．

B组　专项能力提升题组

1.设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（　　）

A.a>

c>

bB.a>

b>

cC.c>

a>

bD.b>

a

2.已知幂函数f（x）＝（t3－t＋1）（t∈N）是偶函数，则实数t的值为（　　）

A.0B.－1或1C.1D.0或1

3.若函数f（x）＝则不等式－≤f（x）≤的解集为（　　）

A.[－1,2）∪[3，＋∞）B.（－∞，－3]∪[1，＋∞）

C.D.（1，]∪[3，＋∞）

1.A　2．B　3.B　

4.函数y＝（m2－m－1）是幂函数且在x∈（0，＋∞）时为减函数，则实数m的

值为________.

5.已知函数f（x）＝xα（0<

1），对于下列命题：

①若x>

1，则f（x）>

1；

②若0<

1，则0<

f（x）<

③当x>

0时，若f（x1）>

f（x2），则x1>

x2；

④若0<

x1<

x2，则<

其中正确的命题序号是________.

6.已知（0.71.3）m<

（1.30.7）m，则实数m的取值范围是________.

7.已知函数f（x），如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”.在函数：

①f1（x）＝，②f2（x）＝x，③f3（x）＝x2中，其中________是“保三角形函数”（填上正确的函数序号）.

4.2　5．①②③　6.（0，＋∞）　7．①②

8.已知函数f（x）＝（k∈Z）满足f

（2）<

f（3）.

（1）求k的值并求出相应的f（x）的解析式；

（2）对于

（1）中得到的函数f（x），试判断是否存在q>

0，使函数g（x）＝1－qf（x）＋（2q－1）x在区间[－1,2]上的值域为[－4，]？

若存在，求出q；

若不存在，请说明理由.

8.解　

（1）∵f

（2）<

f（3），∴f（x）在第一象限是增函数．

故－k2＋k＋2>

k<

2.

又∵k∈Z，∴k＝0或k＝1.

当k＝0或k＝1时，－k2＋k＋2＝2，

∴f（x）＝x2.

（2）假设存在q>

0满足题设，由

（1）知

g（x）＝－qx2＋（2q－1）x＋1，x∈[－1,2]．

∵g

（2）＝－1，∴两个最值点只能在端点（－1，g（－1））和顶点（，）处取得．

而－g（－1）＝－（2－3q）

＝≥0，

∴g（x）max＝＝，

g（x）min＝g（－1）＝2－3q＝－4.

解得q＝2.∴存在q＝2满足题意．

　幂函数专题复习（学生）

2.幂函数的定义：

（2）反比例函数；

（3）二次函数；

（4）幂函数.

3.利用幂函数的图象和性质可处理比较大小、判断复合函数的单调性及在实际问题中的应用等类型的问题.进一步培养学生的数形结合、分类讨论等数学思想和方法

A组　专项基础训练题组