高等数学微分在近似计算中的运用.docx
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高等数学微分在近似计算中的运用
一、计算函数增量的近似值
若y=/*⑴在点必处的导数f'(兀°)工0,且|Ar|很小时,
4y|x=Xo»dy\x=XQ=/r(x0)-Ax・
例1半径10厘米的金属圆片加热后半径伸长了
0・05厘米问面积增大了多少?
解设4=时訂r=10厘米,Ar=0.05厘米.
•••AA=27cr•Ar=27rxl0x0・05=兀(厘米?
)•
X
干例1干解
王
J二、计算函数的近似值
T1•求/*(")在点兀=兀0附近的近似值;士Ay=/(x0+Ar)-/(x0)・
/(x0+Ar)»/(x0)+广(a:
0)・Ax・(|Ax很小时)计算cos60°30'的近似值.
设/*(%)=COSX,/./r(x)=-sinx,(x为弧度)
7C▲71
•••碍弓,广(护-亨
7t
7tn
.•.cos60»30-cos(^^)«cos^-sin^36()
=--^1•工»0.4924.
22360
2•求f(兀)在点x=0附近的近似值;令兀°=0,Ax=兀・
/(x0+Ar)«/(x0)+广(兀°)・Ar,
.\/(x)«/(0)+/\0)-x・
常用近似公式31很小时)
(1)a/1+x«l+-x;
(2)sinx»x(兀为弧度);
n
(3)tanx«x(兀为弧度);(4)盯«l+x;
(5)ln(l+x)«x・
1--1
证明⑴设/(兀)=也寸,广(兀)=—(1+兀)",
1
/(0)=l,/\0)=-・
n
A/(X)«/(O)+/W=1+-・
1000(1-竺)=10^1-0.00151000
1«10(l--x0.0015)=9.995・
(2)e-003®1-0.03=0.97.
干例2计算下列各数的近似值干⑴炳菇;⑵严.
X解⑴^/9985=V1000-1.5
X
X
X
王
而绝对误差牛的比值
三、误差估计
由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响,测得的数据往往带有误差,而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差,我们把它叫做间接测量误差.
定义:
如果某个量的精度值为它的近似值
为a,那末|A-⑷叫做a的绝对误差.
I叫做Q的相对误差问题:
在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得?
办法:
将误差确定在某一个范围内•
如果某个量的精度值是4,测得它的近似值是I,又知道它的误差不超过5“即
|A-a|<5A,
那末■叫做测量4的绝对误差而》叫做测量
A的相对误差限
通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误差专相对误会.
x=2.41
=4・82.
5.8081皿%・
例3正方形边长为2・41±0・005米,求出它的面稅并估计绝对误差与相对误差.
解设正方形边长为兀,面积为y,则y=
当工=2.41时,j=(2.41)2=5.8081(加彳).
v边长的绝对误差为8X=0.005,
・•・面积的绝对误差为Sy=4.82x0.005=0.0241(m2).
・•・面积的相对误差为J00241
近似计算的基本公式
当|Ar|很小时,
Av|x=xo«^|x=Xo=广(心)・心・
/(x)«/(x0)+/r(x0)•(x-x0),当兀=0时,
/•(兀)Q/(0)+广(0)•兀・
练习题
li
一、填空题:
1、利用公式/(x)«/(x0)+/\x0)(x-X。
)计算f(兀)
时,要求很小.
2、当兀"时,由公式可近似计算
ln(l-x)«;tanxa,由此得
tan45°a;In1.002q
二、利用微分计算当兀由45。
变到45。
10'时,函数J=COSX的增量的近似值(1°=£.017453弧度).
三、已知单摆的振动周期T=2it其中g=980厘
\;g
米/秒2,Z为摆长(单位为厘米),设原摆长为20厘米,为使周孵增大0.05秒,摆长约需加长多少?
3、V996.
I=.
l=.
四、求近似值:
1、tan136°•2、arcsin0.5002;
五、设4>0,且\B\«Anf证明
VAn+B«A+-4r,并计算烦而的近似值.mA1
六、已知测量球的直径)有1%的相对误差,问用公式V=^D3计算球的体积时,相对误差有多大?
6
七、某厂生产(教材2-18图)所示的扇形板,半從=200毫米,要求中心鉅歩5。
产品检验时,一般用测量弦长乙的办法来间接测量中心角r,如果测量弦悽时的误差爲=0.1毫米,问由此而引起的中心角测量误差兀是多少?
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