湖北高中自主招生数学解答题复习专题汇编Word文件下载.docx
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三
销售件数
10
40
一抢而光
(1)跳楼价占原价的百分比是多少?
(2)该商品按新销售方案销售,相比原价全部售完,哪种方案更盈利?
4、(2015•广西自主招生)如图,A和B是高度同为h的圆柱形容器,底面半径分别为r和R,且r<R.一龙头单独向A注水,用T分钟可以注满容器A.现将两容器在他们高度的一半处用一个细管连通(连通细管的容积忽略不计),仍用该水笼头向A注水,问2T分钟时,容器A中水的高度是多少?
(注:
若圆柱体底面积半径为R,高为h,体积为V,则V=πR2h.)
5、(2009•庐阳区校级自主招生)一个长40cm,宽25cm,高50cm的无盖长方体容器(厚度忽略不计),盛有深为acm(a>0)的水.现把一个棱长为10cm的正方体铁板(铁块的底面落在容器的底面上)放入容器内,请求出放入铁块后的水深.
6、(2002•闵行区校级自主招生)我区某学校组织高一学生到学农基地进行学农劳动,基地分配给该学校宿舍若干.如果每室住8人,则少12个床位,如果每室住9人,却又空出2个房间.问该学校参加这次学农的学生有多少人?
基地分配给学校宿舍有几间?
7、(2010•龙岩校级自主招生)我们知道相交的两直线的交点个数是1,记两平行直线的交点个数是0;
这样平面内的三条平行线它们的交点个数就是0,经过同一点的三直线它们的交点个数就是1;
依此类推,…
(1)请你画图说明同一平面内的五条直线最多有几个交点?
(2)平面内的五条直线可以有4个交点吗?
如果有,请你画出符合条件的所有图形;
如果没有,请说明理由;
(3)在平面内画出10条直线,使交点数恰好是31.
8、(2009•瑞安市校级自主招生)如图,在4×
3的正方形网格中,△ABC的顶点都在小正方形顶点上.请
你在图①和图②中分别画出一个三角形,同时满足以下两个条件:
(1)以点B为一个顶点,另外两个顶点也在小正方形顶点上;
(2)与△ABC全等,且不与△ABC重合.
9、(2009•邵东县自主招生)阅读下表:
线段AB上的点数n(包括A、B两点)
图例
线段总条数N
3
3=2+1
4
6=3+2+1
5
10=4+3+2+1
6
15=5+4+3+2+1
7
解答下列问题:
(1)在上表中空白处分别画出图形,写出结果;
(2)写出线段的总条数N与线段上的点数n的关系式;
(3)试证明:
N=
n(n−1)
2
.
10、(2009•连云港自主招生)Rt△ABC中,∠C=90°
,按题目所给条件及要求将相应的直角三角形,分割成若干个全等的并且分别与原三角形相似的三角形.画出图形并简要说明画法.
第
(1)图AC=BC将△ABC分割成2个三角形;
第
(2)图AB=2AC将△ABC分割成3个三角形;
第(3)图将△ABC分割成4个三角形;
第(4)图BC=2AC将△ABC分割成5个三角形.
11、(2015•黄冈中学自主招生)某足球协会举办了一次足球联赛,其积分规则为:
胜-3,平-1,负-0,当全部比赛结束(每队平均比赛12场)时,A队共积19分,请通过计算,判断A队胜、平、负各几场.
12、(2013•天心区校级自主招生)推理能力都很强的甲、乙、丙站成一列,丙可以看见甲、乙,乙可以看见甲但看不见丙,甲看不见乙、丙.现有5顶帽子,3顶白色,2顶黑色.老师分别给每人戴上一顶帽子(在各自不知道的情况下).老师先问丙是否知道头上的帽子颜色,丙回答说不知道;
老师再问乙是否知道头上的帽子颜色,乙也回答说不知道;
老师最后问甲是否知道头上的帽子颜色,甲回答说知道.请你说出甲戴了什么颜色的帽子,并写出推理过程.
13、(2009•慈溪市校级自主招生)世界预选赛中,中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在A组,进行主客场比赛.规定每场比赛胜者得三分,平局各得一分,败者不得分.比赛结束后前两名可以晋级.由于4支队伍均为强队,每支队伍至少得3分.于是甲专家预测:
中国队只要得11分就能确保出线.
问:
(1)这四支队的总得分之和最多有几分?
(2)甲专家的预测正确吗?
为什么?
14、(2007•蚌埠校级自主招生)用1,2,3三个数字组成六位数,若每个数字用两次,相邻位不允许用相同的数字.
(1)试写出四个符合上述条件的六位数;
(2)请你计算出符合上述条件的六位数共有多少个?
15、(2007•青岛校级自主招生)某校开校运会时,某班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳和田径的有3人,同时参加游泳和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,问同时参加田径和球类比赛的有多少人?
只参加游泳一项比赛的有多少人?
16、(2002•上海自主招生)问:
在8×
8的国际象棋盘上最多可以放多少个“+”字形(其中每个“+”字形占据棋盘的5个小方格),使得任意两个“+”字形不重叠,且每个“+”字形都不超出棋盘的边界?
证明你的结论.
17、(2007•南充自主招生)如图,在直角坐标平面内有点A(-2,1),B(8,5),点P在线段AB上,且
AP
PB
=
,求点P的坐标.
18、(2004•建阳市校级自主招生)国际象棋、中国象棋和围棋号称为世界三大棋种.国际象棋中的“皇后”的威力可比中国象棋中的“车”大的多:
“皇后”不仅能控制她所在的行与列中的每一个小方格,而且还能控制“斜”方向的两条直线上的每一个小方格.如图a是一个4×
4的小方格棋盘,图中的“皇后Q”能控制图中虚线所经过的每一个小方格.
(1)在如图b的小方格棋盘中有一个“皇后Q”,她所在的位置可用“(2,3)”来表示,
则:
①“皇后Q”所在的位置“(2,3)”的意义是
;
②写出棋盘中不能被该“皇后Q”所控制的四个位置
(2)如图c也是一个4×
4的小方格棋盘,请在这个棋盘中放入四个“皇后Q”,使这四个“皇后Q”之间互相不受对方控制(在图c中的某四个小方格中标出字母Q即可).
19、(2017•黄州区校级自主招生)某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台,已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表:
家电名称
空调
彩电
冰箱
工
时
1
产值(千元)
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高最高产值是多少?
(以千元为单位)
20、(2016•西湖区校级自主招生)利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息:
请根据以上信息,解答问题:
甲、乙两种商品的进货单价各多少元?
21、(2015•成都校级自主招生)逸夫楼前石室水景广场园林及道路改造项目是我校2012年校园文化--环境文化建设的重点项目之一,该项目2012年2月11日正式动工,经过四个多月的紧张施工,于2012年6月5日竣工,若该工程拆除旧设施每平方米需要80元,建造新设施每平方米需要800元,计划拆除旧设施与建造新设施共9000平方米,在实施中为扩大绿化面积,新建设施只完成了计划的90%而拆除旧设施则超过了计划的10%,结果恰好完成了原计划的拆、建总面积.
(1)求原计划拆、建面积各是多少平方米?
(2)若绿化1平方米需要200元,那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化,可绿化多少平方米?
22、(2014•绵阳校级自主招生)某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器,若购进电脑机箱10台,和液晶显示器8台,共需要资金7000元,若购进电脑机箱两台和液晶显示器5台,共需要资金4120元.
(1)每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元?
(2)该经销商计划购进这两种商品共50台,而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元,根据市场行情,销售电脑机箱,液晶显示器一台分别可获得10元和160元,该经销商希望销售完这两种商品,所获得利润不少于4100元,试问:
该经销商有几种进货方案?
哪种方案获利最大?
最大利润是多少?
23、(2013•涪城区校级自主招生)绵阳中学为了进一步改善办学条件,决定计划拆除一部分旧校舍,建造新校舍.拆除旧校舍每平方米需80元,建造新校舍每平方米需要800元,计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共9000平方米,在实施中为扩大绿化面积,新建校舍只完成了计划的90%而拆除旧校舍则超过了计划的10%,结果恰好完成了原计划的拆、建总面积.
24、(2013•天心区校级自主招生)甲,乙,丙三人各有邮票若干枚,要求互相赠送.先由甲送给乙,丙,所给的枚数等于乙,丙原来各有的邮票数;
然后依同样的游戏规则再由乙送给甲,丙现有的邮票数,最后由丙送给甲,乙现有的邮票数.互相送完后,每人恰好各有64枚.你能知道他们原来各有邮票多少枚吗?
说出你的思考过程.
25、(2015•广西自主招生)如图,A和B两个小机器人,自甲处同时出发相背而行,绕直径为整数米的圆周上运动,15分钟内相遇7次,如果A的速度每分钟增加6米,则A和B在15分钟内相遇9次,问圆周直径至多是多少米?
至少是多少米?
(取π=3.14)
26、(2014•余姚市校级自主招生)已知实数a,b,c满足不等式|a|≥|b+c|,|b|≥|c+a|,|c|≥|a+b|,求证:
a+b+c=0.
27、(2014•湖南自主招生)货轮上卸下若干只箱子,其总重量为10t,每只箱子的重量不超过1t,为保证能把这些箱子一次运走,问至少需要多少辆载重3t的汽车?
28、(2013•天心区校级自主招生)预计用1500元购买甲商品x个,乙商品y个,不料甲商品每个涨价1.5元,乙商品每个涨价1元,尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个,总金额仍多用29元.又若甲商品每个只涨价1元,并且购买甲商品的数量只比预定数少5个,那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元.
(1)求x、y的关系式;
(2)若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205,但小于210,求x、y的值.
29、(2013•金牛区校级自主招生)为配合我市“创卫”工作,某中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳动.若每处安排10人,则还剩15人;
若每处安排14人,则有一处的人数不足14人,但不少于10人.求这所学校选派学生的人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数.
30、(2011•自流井区校级自主招生)某公司要招聘甲、乙两类员工共150人,甲、乙两类员工的月工资分别为600元和1000元.
(1)现要求乙类员工的人数不少于甲类员工的人数2倍,问甲、乙两类员工各招聘多少人时,可使得公司每月所付工资最少,最少工资总额是多少?
(2)在招聘两类员工的月工资总额最少的条件下,由于完成项目优秀,公司决定用10万元钱奖励所招聘的这批员工,其中甲类员工的奖金总数不大于乙类员工的奖金总数,但每人不得低于200元,若以百元为单位发放,试问有几种发放方案请具体写出(员工得到的奖金为整百).
31、(2011•嵊州市自主招生)某超市在家电下乡活动中销售A、B两种型号的洗衣机.A型号洗衣机每台进价500元,售价550元;
B型号洗衣机每台进价1000元,售价1080元.
(1)若该超市同时一次购进A、B两种型号洗衣机共80台,恰好用去6.1万元,求能购进A、B两种型号洗衣机各多少台?
(2)该超市为使A、B两种型号洗衣机共80台的总利润(利润=售价-进价)不少于5200元,但又不超过5260元,请你帮助该超市设计相应的进货方案.
32、(2011•金牛区校级自主招生)为实现区域教育均衡发展,我市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行改造.根据预算,共需资金1575万元.改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元;
改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元.
(1)改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元?
(2)我市计划今年对该县A、B两类学校共6所进行改造,改造资金由国家财政和地方财政共同承担.若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元;
地方财政投入的改造资金不少于70万元,其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元.请你通过计算求出有几种改造方案?
33、(2010•襄城区自主招生)某一景区内有两种不同的娱乐项目,门票的价格分别为:
A种为60元/张,B种为12元/张,一旅行团准备在不超过500元的情况下,购买这两种娱乐项目的门票共15张,并要求A种门票数量不少于B种门票数量的一半.
(1)共有哪几种符合题意的购买方案?
(2)根据计算判断,哪种购买方案更省钱?
34、(2011•北京校级自主招生)平面上有n个点(n≥3,n为自然数),其中任何三点不在同一直线上.证明:
一定存在三点,以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于
180°
n
35、(2006•宁波校级自主招生)将数字1,2,3,4,5,6,7,8分别填写到八边形ABCDEFGH的8个顶点上,并且以S1,S2,…,S8分别
表示(A,B,C),(B,C,D),…,(H,A,B)8组相邻的三个顶点上的数字之和.
(1)试给出一个填法,使得S1,S2,…,S8都大于或等于12;
(2)请证明任何填法均不可能使得S1,S2,…,S8都大于或等于13.
36、(2009•深圳校级自主招生)在课外小组活动时,小慧拿来一道题(原问题)和小东、小明交流.
原问题:
如图1,已知△ABC,∠ACB=90°
,∠ABC=45°
,分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE,且DA=DB,EB=EC,∠ADB=∠BEC=90°
,连接DE交AB于点F.探究线段DF与EF的数量关系.
小慧同学的思路是:
过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形,通过推理使问题得解.
小东同学说:
我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC=30°
,∠ADB=∠BEC=60度.
小明同学经过合情推理,提出一个猜想,我们可以把问题推广到一般情况.
请你参考小慧同学的思路,探究并解决这三位同学提出的问题:
(1)写出原问题中DF与EF的数量关系;
(2)如图2,若∠ABC=30°
,∠ADB=∠BEC=60°
,原问题中的其他条件不变,你在
(1)中得到的结论是否发生变化?
请写出你的猜想并加以证明;
(3)如图3,若∠ADB=∠BEC=2∠ABC,原问题中的其他条件不变,
37、(2005•厦门自主招生)
(1)如图,给出四个条件:
①AE平分∠BAD,②BE平分∠ABC,③AE⊥EB,④AB=AD+BC.请你以其中三个作为命题的条件,写出一个能推出AD∥BC的正确命题,并加以证明;
(2)请你判断命题“如图,AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,E是CD的中点,则AD∥BC.”是否正确,并说明理由.
38、(2000•江苏校级自主招生)如图A、B两个村子在河CD的同侧,A、B两村到河的距离分别为AC=1千米,BD=3千米,且知道CD=3千米,现在要在河边CD上建一水厂,向A、B两村送自来水,铺设管道费用为每千米2000元,请你在CD上选择水厂位置O,使铺设管道的费用最省,并求出其费用.
39、
(1)如图A、B两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧,A工厂至河堤的距离AC为1km,B工厂到河堤的距离BD为2km,经测量河堤上C、D两地间的距离为6km.现准备在河堤边修建一个污水处理厂,为使A、B两厂到污水处理厂的排污管道最短,污水处理厂应建在距C地多远的地方?
(2)通过以上解答,充分展开联想,运用数形结合思想构造图形,尝试解决下面问题:
若y=
x2+1
+
(9−x)2+4
,当x为何值时,y的值最小,并求出这个最小值.
40、
41、(2012•宣州区校级模拟)如果有理数m可以表示成2x2-6xy+5y2(其中x、y是任意有理数)的形式,我们就称m为“世博数”.
(1)两个“世博数”a、b之积也是“世博数”吗?
(2)证明:
两个“世博数”a、b(b≠0)之商也是“世博数”.
42、(2011•蚌埠自主招生)按下面规则扩充新数:
已有a和b两个数,可按规则c=ab+a+b扩充一个新数,而a,b,c三个数中任取两数,按规则又可扩充一个新数,…,每扩充一个新数叫做一次操作.现有数2和3.
①求按上述规则操作三次得到扩充的最大新数;
②能否通过上述规则扩充得到新数5183?
并说明理由.
43、(2010•越城区校级自主招生)找出能使二次三项式x2+ax-6可以因式分解(在整数范围内)的整数值a,并且将其进行因式分解.
44、(2009•宁海县校级自主招生)宁海中学高一段组织了围棋比赛,共有10名选手进入了决赛,决赛阶段实行单循环赛(即每两名参赛选手都要赛一局,且每局比赛都决出胜负),若一号选手胜a1局,输b1局;
二号选手胜a2局,输b2局,…,十号选手胜a10局,输b10局.试比较a12+a22+…+a102与b12+b22+…+b102的大小,并叙述理由.
45、
46、(2003•宁海县校级自主招生)某校象棋决赛阶段共有八名选手参赛,赛制实行单循环赛(即每两名参赛选手都要赛一局,且每局比赛都决出胜负),若一号选手胜a1局,输b1;
二号选手胜a2局,输b2局;
…,八号选手胜a8局,输b8局.试比较a12+a22+…+a82与b12+b22+…b82的大小,并叙述理由.
47、
48、(2016•南昌校级自主招生)化简
x2−2x+1
x2−1
x+1
,并代入原式有意义的数进行计算.
49、(2016•南昌校级自主招生)京广高速铁路工程指挥部,要对某路段工程进行招标,接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知:
甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的
若由甲队先做10天,剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成.
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天?
(2)已知甲队每天的施工费用为8.4万元,乙队每天的施工费用为5.6万元.工程预算的施工费用为500万元.为缩短工期并高效完成工程,拟安排预算的施工费用是否够用?
若不够用,需追加预算多少万元?
请给出你的判断并说明理由.
50、(2017•江汉区校级自主招生)抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过点A(−3
,0)、B(
,0),它与y轴相交于点C,且∠ACB≥90°
,设该抛物线的顶点为D,△BCD的边CD上的高为h.
(1)求实数a的取值范围;
(2)求高h的取值范围;
(3)当
(1)的实数a取得最大值时,求此时△BCD外接圆的半径.
51、(2017•镜湖区校级自主招生)如图1,在直角坐标系中放入一个边长AB长为6,BC长为10的矩形纸片ABCD,B点与坐标原点O重合.将纸片沿着折痕AE翻折后,点D恰好落在x轴上,记为F.
(1)求折痕AE所在直线与x轴交点的坐标;
(2)求过D,F的直线解析式;
(3)将矩形ABCD水平向右移动m个单位,则点B坐标为(m,0),其中m>0.如图2所示,连接OA,若△OAF是等腰三角形,求m的值.
52、(2017•信丰县自主招生)如图,抛物线C1:
y1=ax2+2ax(a>0)与x轴交于点A,顶点为点P.
(1)直接写出抛物线C1的对称轴是
直线x=-1
,用含a的代数式表示顶点P的坐标
(-1,-a)
(2)把抛物线C1绕点M(m,0)旋转180°
得到抛物线C2(其中m>0),抛物线C2与x轴右侧的交点为点B,顶点为点Q.
①当m=1时,求线段AB的长;
②在①的条件下,是否存在△ABP为等腰三角形,若存在请求出a的值,若不存在,请说明理由;
③当四边形APBQ为矩形时,请求出m与a之间的数量关系,并直接写出当a=3时矩形APBQ的面积.
53、(2017•江阴市自主招生)如图,在△ABC中,∠C=90°
,AC=8,BC=6,P是AC上一点,过P作PD⊥AB于点D,将△APD绕PD的中点旋转180°
得到△EPD.(设AP=x)
(1)若点E落在边BC上,求AP的长;
(2)当AP为何值时,△EDB为等腰三角形.
54、(2017•萧山区校级自主招生)由于受到手机更新换代的影响,某手机店经销的Iphone4手机二月售价比一月每台降价500元.如果卖出相同数量的Iphone4手机,那么一月销售额为9万元,二月销售额只有8万元.
(1)一月Iphone4手机每台售价为多少元?
(2)为了提高利润,该店计划三月购进Iphone4s手机销售,已知Iphone4每台进价为3500元,Iphone4s每台进价为4000元,预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台,请问有几种进货方案?
(3)该店计划4月对Iphone4的尾货进行销售,决定在二月售价基础上每售出一台Iphone4手机再返还顾客现金a元,而Iphone4s按销售价4400元销售,如要使
(2)中所有方案获利相同,a应取何值?
55、(2017•江阴市自主招生)据环保中心观察和预测:
发生于甲地的河流污染一直向下游方向移动,其移动速度v(千米/小时)与时间t(小时)的函数图象如图所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(小时)内污染所经过的路程S(千米).
(1)当t=3时,求s的值;
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来(t≤30);
(3)若乙城位于甲地的下游,且距甲地174km,试判断
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