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考研数学讲座
(2)笔下生花花自红
在爱搞运动的那些年代里,数学工作者们经常受到这样的指责,“一支笔,一张纸,一杯茶,鬼画桃符,脱离实际。
”发难者不懂基础研究的特点,不懂得考虑数学问题时“写”与“思”同步的重要性。
也许是计算机广泛应用的影响,今天的学生们学习数学时,也不太懂得“写”的重要性。
考研的学生们,往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料,看题看解看答案或看题想解翻答案。
动笔的时间很少。
数学书不比小说。
看数学书和照镜子差不多,镜子一拿走,印象就模糊。
科学的思维是分层次的思维。
求解一个数学问题时,你不能企图一眼看清全路程。
你只能踏踏实实地考虑如何迈出第一步。
或“依据已知条件,我首先能得到什么?
”(分析法);
或“要证明这个结论,就是要证明什么?
”(综合法)。
在很多情形下,写出第一步与不写的感觉是完全不同的。
下面是一个简单的例。
“连续函数与不连续函数的和会怎样?
”
写成“连续A+不连续B=?
”后就可能想到,只有两个答案,分别填出来再说。
(穷尽法)。
如果,“连续A+不连续B=连续C”移项,则“连续C-连续A=不连续B”
这与定理矛盾。
所以有结论:
连续函数与不连续函数的和一定不连续。
有相当一些数学定义,比如“函数在一点可导”,其中包含有计算式。
能否掌握并运用这些定义,关键就在于是否把定义算式写得滚瓜烂熟。
比如,
题面上有已知条件f′
(1)>0,概念深,写得熟的人立刻就会先写出
h趋于0时,lim(f(1+h)-f
(1))/h>0
然后由此自然会联想到,下一步该运用极限的性质来推理。
而写不出的人就抓瞎了。
又比如《线性代数》中特征值与特征向量有定义式Aα=λα,α≠0,要是移项写成
(A-λE)α=0,α≠0,
这就表示α是齐次线性方程组(A-λE)X=0的非零解,进而由理论得到算法。
数学思维的特点之一是“发散性”。
一个数学表达式可能有几个转换方式,也许从其中一个方式会得到一个新的解释,这个解释将导引我们迈出下一步。
车到山前自有路,你得把车先推到山前啊。
望山跑死马。
思考一步写一步,观测分析迈下步。
路只能一步步走。
陈景润那篇名扬世界的“1+2”论文中有28个“引理”,那就是他艰难地走向辉煌的28步。
对于很多考生来说,不熟悉基本计算是他们思考问题的又一大障碍。
《高等数学》感觉不好的考生,第一原因多半是不会或不熟悉求导运算。
求导运算差,讨论函数的图形特征,积分,解微分方程等,反应必然都慢。
《线性代数》中矩阵的乘法与矩阵乘积的多种分块表达形式,那是学好线性代数的诀窍。
好些看似很难的问题,选择一个分块变形就明白了。
《概率统计》中,要熟练地运用二重积分来计算二维连续型随机变量的各类问题。
对于考数学三的同学来说,二重积分又是《高等数学》部分年年必考的内容。
掌握了二重积分,就能在两类大题上得分。
要考研吗,要去听指导课吗,一定要自己先动笔,尽可能地把基本计算练一练。
我一直向考生建议,临近考试的一段时间里,不仿多自我模拟考试。
在限定的考试时间内作某年研考的全巻。
中途不翻书,不查阅,凭已有能力做到底。
看看成绩多少。
不要以为你已经看过这些试卷了。
就算你知道题该怎么做,你一写出来也可能会面目全非。
多动笔啊,“写”“思”同步步履轻,笔下生花花自红。
考研数学讲座(3)极限概念要体验
极限概念是微积分的起点。
说起极限概念的历史,学数学的都多少颇为伤感。
很久很久以前,西出阳关无踪影的老子就体验到,“一尺之竿,日取其半,万世不竭。
”
近两千年前,祖氏父子分别用园的内接正6n边形周长替带园周长以计算园周率;
用分割曲边梯形为n个窄曲边梯形,进而把窄曲边梯形看成矩形来计算其面积。
他们都体验到,“割而又割,即将n取得越来越大,就能得到越来越精确的园周率值或面积。
国人朴实的体验延续了一千多年,最终没有思维升华得到极限概念。
而牛顿就在这一点上率先突破。
极限概念起自于对“过程”的观察。
极限概念显示着过程中两个变量发展趋势的关联。
自变量的变化趋势分为两类,一类是x→x0;
一类是x→∞,
“当自变量有一个特定的发展趋势时,相应的函数值是否无限接近于一个确定的数a?
如果是,则称数a为函数的极限。
“无限接近”还不是严密的数学语言。
但这是理解极限定义的第一步,最直观的一步。
学习极限概念,首先要学会观察,了解过程中的变量有无一定的发展趋势。
学习体验相应的发展趋势。
其次才是计算或讨论极限值。
自然数列有无限增大的变化趋势。
按照游戏规则,我们还是说自然数列没有极限。
自然数n趋于无穷时,数列1/n的极限是0;
x趋于无穷时,函数1/x的极限是0;
回顾我们最熟悉的基本初等函数,最直观的体验判断是,
x趋于正无穷时,正指数的幂函数都与自然数列一样,无限增大,没有极限。
x趋于正无穷时,底数大于1的指数函数都无限增大,没有极限。
x→0+时,对数函数lnx趋于-∞;
x趋于正无穷时,lnx无限增大,没有极限。
x→∞时,正弦sinx与余弦conx都周而复始,没有极限。
在物理学中,正弦y=sinx的图形是典型的波动。
我国《高等数学》教科书上普遍都选用了“震荡因子”sin(1/x)。
当x趋于0时它没有极限的原因是震荡。
具体想来,当x由0.01变为0.001时,只向中心点x=0靠近了一点点,而正弦sinu却完成了140多个周期。
函数的图形在+1与-1之间上下波动140多次。
在x=0的邻近,函数各周期的图形紧紧地“挤”在一起,就好象是“电子云”。
当年我研究美国各大学的《高等数学》教材时,曾看到有的教材竟然把函数y=sin(1/x)的值整整印了一大页,他们就是要让学生更具体地体验它的数值变化。
x趋于0时(1/x)sin(1/x)不是无穷大,直观地说就是函数值震荡而没有确定的发展趋势。
1/x为虎作伥,让震荡要多疯狂有多疯狂。
更深入一步,你就得体验,在同一个过程中,如果有多个变量趋于0,(或无限增大。
)就可能有的函数趋于0时(或无限增大时)“跑得更快”。
这就是高阶,低阶概念。
考研数学还要要求学生对极限有更深刻的体验。
多少代人的千锤百炼,给微积分铸就了自己的倚天剑。
这就是一套精密的极限语言,(即ε–δ语言)。
没有这套语言,我们没有办法给出极限定义,也无法严密证明任何一个极限问题。
但是,这套语言是高等微积分的内容,非数学专业的本科学生很难搞懂。
数十年来,考研试卷上都没有出现过要运用ε–δ语言的题目。
研究生入学考题中,考试中心往往用更深刻的体验来考查极限概念。
这就是
“若x趋于∞时,相应函数值f(x)有正的极限,则当∣x∣充分大时,(你不仿设定一点x0,当∣x∣>x0时,)总有f(x)>0”
*“若x趋于x0时,相应函数值f(x)有正的极限,则在x0的一个适当小的去心邻域内,f(x)恒正”
这是已知函数的极限而回头观察。
逆向思维总是更加困难。
不过,这不正和“近朱者赤,近墨者黑”一个道理吗。
除了上述苻号体验外,能掌握下边简单的数值体验则更好。
若x趋于无穷时,函数的极限为0,则x的绝对值充分大时,(你不仿设定一点x0,当∣x∣>x0时,)函数的绝对值恒小于1
若x趋于无穷时,函数为无穷大,则x的绝对值充分大时,(你不仿设定一点x0,当∣x∣>x0时,)函数的绝对值全大于1
*若x趋于0时,函数的极限为0,则在0点的某个适当小的去心邻域内,或x的绝对值充分小时,函数的绝对值全小于1
(你不仿设定有充分小的数δ>0,当0<∣x∣<δ时,函数的绝对值全小于1)
没有什么好解释的了,你得反复领会极限概念中“无限接近”的意义。
你可以试着理解那些客观存在,可以自由设定的点x0,或充分小的数δ>0,并利用它们。
考研数学讲座(4)“存在”与否全面看
定义,是数学的基本游戏规则。
所有的定义条件都是充分必要条件。
即便有了定义,为了方便起见,数学工作者们通常会不遗余力地去寻觅既与定义等价,又更好运用的描述方式。
讨论极限的存在性,就有如下三个常用的等价条件。
1.海涅定理
观察x趋于x0的过程时,我们并不追溯x从哪里出发;
也没有考虑它究竟以怎样的方式无限靠近x.0;
我们总是向未来,看发展。
因而最直观的等价条件就是海涅定理:
定理
(1)极限存在的充分必要条件是,无论x以何种方式趋于x0,相应的函数值总有相同的极限A存在。
这个定理条件的“充分性”没有实用价值。
事实上我们不可能穷尽x逼近x0的所有方式。
很多教科书都没有点出这一定理,只是把它的“必要性”独立成为极限的一条重要性质。
即唯一性定理:
“如果函数(在某一过程中)有极限存在,则极限唯一。
唯一性定理的基本应用之一,是证明某个极限不存在。
2.用左右极限来描述的等价条件
用ε–δ语言可以证得一个最好用也最常用的等价条件:
定理
(2)极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。
这是在三类考研试题中出现概率都为1的考点。
考研数学年年考连续定义,导数定义。
本质上就是考查极限存在性。
这是因为
函数在一点连续,等价于函数在此点左连续,右连续。
函数在一点可导,等价于函数在此点的左、右导数存在且相等。
由于初等函数有较好的分析性质。
考题往往会落实到分段函数的定义分界点或特殊定义点上。
考生一定要对分段函数敏感,一定要学会在特殊点的两側分别考察函数的左右极限。
(3)突出极限值的等价条件
考数学一,二的考生,还要知道另一个等价条件:
定理(3)函数f(x)在某一过程中有极限A存在的充分必要条件是,f(x)-A为无穷小。
从“距离”的角度来理解,在某一过程中函数f(x)与数A无限接近,自然等价于
:
函数值f(x)与数A的距离∣f(x)-A∣无限接近于0
如果记α=f(x)-A,在定理条件下得到一个很有用的描述形式转换:
f(x)=A+α(无穷小)
考研题目经常以下面三个特殊的“不存在”为素材。
“存在”与否全面看。
有利于我们理解前述等价条件。
我用exp()表示以e为底数的指数函数,()内填指数。
例1x趋于0时,函数exp(1/x)不存在极限。
分析在原点x=0的左侧,x恒负,在原点右侧,x恒正。
所以
x从左侧趋于0时,指数1/x始终是负数,故左极限f(0-0)=0,
x从右侧趋于0时,函数趋向+∞,由定理
(2),函数不存在极限。
也不能说,x趋于0时,exp(1/x)是无穷大。
但是,在这种情形下,函数图形在点x=0有竖直渐近线x=0
例2x趋于0时,“震荡因子”sin(1/x)不存在极限。
俗称震荡不存在。
分析用海涅定理证明其等价问题,“x趋于+∞时,sinx不存在极限。
分别取x=nπ及x=2nπ两个数列,n趋于+∞时,它们都趋于+∞,相应的两列正弦函数值却分别有极限0与1,不满足唯一性定理(定理
(1))。
故sinx不存在极限。
(构造法!
)
例3x趋于∞时,函数y=arctgx不存在极限。
分析把∞视为一个虚拟点,用定理
(2)。
由三角函数知识得,
x趋于+∞时,函数极限为π/2,x趋于-∞时,函数极限为-π/2,
故,函数y=arctgx不存在极限。
请注意,证明过程表明,函数y=arctgx的图形有两条水平渐近线。
即
-∞方向有水平渐近线y=-π/2;
+∞方向则有有y=π/2
例4当x→1时,函数f(x)=(exp(1/(x-1)))(x平方-1)∕(x-1)的极限
(A)等于2(B)等于0(C)为∞(D)不存在但不为∞
b]分析考查x→1时函数的极限,通常认为x不取1;
而x≠1时,可以约去分母(x-1),让函数的表达式化为f(x)=(x+1)exp(1/(x-1))
左极限f(1-0)=0,x从右侧趋于1时,函数趋向+∞,(选(D))
(画外音:
多爽啊。
这不过是“典型不存在1”的平移。
例5f(x)=(2+exp(1/x))∕(1+exp(4/x))+sinx∕∣x∣,求x趋于0时函数的极限。
分析绝对值函数y=|x|是典型的分段函数。
x=0是其定义分界点。
一看就知道必须分左右计算。
如果很熟悉“典型不存在1”,这个5分题用6分钟足够了。
实际上
x→0-时,limf(x)=(2+0)/(1+0)-1=1
x→0+时,exp(1/x)→+∞,前项的分子分母同除以exp(4/x)再取极限
limf(x)=(0+0)/(0+1)+1=1
由定理
(2)得x→0时,limf(x)=1
例6曲线y=exp(1/x平方)arctg((x平方+x+1)∕(x-1)(x+2))的渐近线共有
(A)1条.(B)2条。
(C)3条。
(D)4条。
选(B)
分析先观察x趋于∞时函数的状态,考查曲线有无水平渐近线;
再注意函数结构中,各个因式的分母共有三个零点。
即0,1和-2;
对于每个零点x0,直线x=x0都可能是曲线的竖直渐近线,要逐个取极限来判断。
实际上有
x→∞时,limy=π/4,曲线有水平渐近线y=π/4
其中,x→∞时,limexp(1/x平方)=1;
im((x平方+x+1)∕(x-1)(x+2))=1(分子分母同除以“x平方”)
考查“嫌疑点”1和-2时,注意运用“典型不存在3”,
f(1-0)=-eπ/2;
f(1+0)=eπ/2,x=1不是曲线的竖直渐近线。
类似可以算得x=-2不是曲线的竖直渐近线。
x→0时,前因式趋向+∞;
后因式有极限arctg(-1/2),x=0是曲线的竖直渐近线。
啊,要想判断准而快,熟记“三个不存在”。
看了上面几例,你有体会吗?
*还有两个判断极限存在性的定理(两个充分条件):
定理(4)夹逼定理——若在点x0邻近(或|x|充分大时)恒有g(x)≤f(x)≤h(x),且x→x0(或x→∞)时limg(x)=limh(x)=A则必有limf(x)=A
定理(5)单调有界的序列有极限。
(或单增有上界有极限,或单减有下界有极限。
加上讲座(3)中的““近朱者赤,近墨者黑”定理”。
共计六个,可以说是微分学第一组基本定理。
考研数学讲座(5)无穷小与无穷大
微积分还有一个名称,叫“无穷小分析”。
1.概念
在某一过程中,函数f(x)的极限为0,就称f(x)(这一过程中)为无穷小。
为了回避ε–δ语言,一般都粗糙地说,无穷小的倒数为无穷大。
无穷小是个变量,不是0;
y=0视为“常函数”,在任何一个过程中都是无穷小。
不过这没啥意义。
依据极限定义,无穷大不存在极限。
但是在变化过程中变量有绝对值无限增大的趋势。
为了记述这个特点,历史上约定,“非法地”使用等号来表示无穷大。
(潜台词:
并不表示极限存在。
)比如
x从右侧趋于0时,limlnx=-∞;
x从左侧趋于π/2时,limtgx=+∞
无穷大与无界变量是两个概念。
无穷大的观察背景是过程,无界变量的判断前提是区间。
无穷小和无穷大量的名称中隐含着它们(在特定过程中)的发展趋势。
在适当选定的区间内,无穷大量的绝对值没有上界。
y=tgx(在x→π/2左側时)是无穷大。
在(0,π/2)内y=tgx是无界变量
x趋于0时,函数y=(1/x)sin(1/x)不是无穷大,但它在区间(0,1)内无界。
不仿用高级语言来作个对比。
任意给定一个正数E,不管它有多大,当过程发展到一定阶段以后,无穷大量的绝对值能全都大于E;
而无界变量只能保证在相应的区间内至少能找到一点,此点处的函数绝对值大于E。
2.运算与比较
有限个无穷小量的线性组合是无穷小;
“∞-∞”则结果不确定。
乘积的极限有三类可以确定:
有界变量•无穷小=无穷小无穷小•无穷小=(高阶)无穷小无穷大•无穷大=(高阶)无穷大
其它情形都没有必然的结果,通通称为“未定式”。
例10作数列x=1,0,2,0,3,0,---,0,n,0,---
y=0,1,0,2,0,3,0,---,0,n,0,---
两个数列显然都无界,但乘积xy是零数列。
这表示可能会有无界•无界=有界
两个无穷小的商求极限,既是典型的未定式计算,又有深刻的理论意义。
即“无穷小的比较”。
如果极限为1,分子分母为等价无穷小;
极限为0,分子是较分母高阶的无穷小;
极限为其它实数,分子分母为同阶无穷小。
无穷大有类似的比较。
无穷小(无穷大)的比较是每年必考的点。
x趋于0时,α=xsin(1/x)和β=x都是无穷小,且显然有∣α∣≤∣β∣;
但它们的商是震荡因子sin(1/x),没有极限。
两个无穷小不能比较。
这既说明了存在性的重要,又显示了震荡因子sin(1/x)的用途。
能够翻阅《分析中的反例》的同学可以在其目录页中看到,很多反例都用到了震荡因子。
回到基本初等函数,我们看到
x趋于+∞时,y=x的μ次方,指数μ>0的幂函数都是无穷大。
且习惯地称为μ阶无穷大。
(潜台词:
这多象汽车的1档,2档,---,啊。
x趋于+∞时,底数大于1的指数函数都是无穷大;
底数小于1的都是无穷小。
x趋于+∞或x趋于0+时,对数函数是无穷大。
x趋于∞时,sinx及cosx都没有极限。
正弦,余弦,反三角函数(在任何区间上)都是有界变量。
请体验一个很重要也很有趣的事实。
(1)x→+∞时,lim(x的n次方)∕exp(x)=0,这表明:
“x趋于+∞时,指数函数exp(x)是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大。
或者说,“x趋于+∞时,函数exp(-x)是任意高阶的无穷小。
(2)x→+∞时,limlnx∕(x的δ次方)=0;
δ是任意取定的一个很小的正数。
这表明:
“x趋于+∞时,对数函数lnx是比x的δ次方都还要低阶的无穷大。
在数学专业方向,通常称幂函数(x的n次方)为“缓增函数”;
称exp(-x)为“速降函数”。
只需简单地连续使用洛必达法则就能求出上述两个极限。
它让我们更深刻地理解了基本初等函数。
如果只知道极限值而不去体验,那收获真是很小很小。
例11函数f(x)=xsinx(A)当x→∞时为无穷大。
(B)在(-∞,+∞)内有界。
(C)在(-∞,+∞)内无界。
(D)在时有有限极限。
分析这和y=(1/x)sin(1/x)在x趋于0时的状态一样。
(选(C))
例12设有数列Xn,具体取值为
若n为奇数,Xn=(n平方+√n)∕n;
若n为偶数,Xn=1∕n
则当n→∞时,Xn是(A)无穷大量(B)无穷小量(C)有界变量(D)无界变量
分析一个子列(奇下标)为无穷大,一个子列是无穷小。
用唯一性定理。
选(D))
请与“典型不存在1”对比。
本质相同。
例13已知数列Xn和Yn满足n→∞时,limXnYn=0,则
(A)若数列Xn发散,数列Yn必定也发散。
(B)若数列Xn无界,数列Yn必定也无界。
(C)若数列Xn有界,数列Yn必定也有界。
(D)若变量1∕Xn为无穷小量,则变量Yn必定也是无穷小量。
分析尽管两个变量的积为无穷小,我们却无法得到其中任何一个变量的信息。
例10给了我们一个很好的反例。
对本题的(A)(B)(C)来说,只要Yn是适当高阶的无穷小,就可以保证limXnYn=0
无穷小的倒数为无穷大。
故(D)中条件表明Xn为无穷大。
要保证limXnYn=0,Yn必须为无穷小量。
应选答案(D)。
考研数学讲座(6)微观分析始连续
微分学研究函数。
函数是描述过程的最简单的数学模型。
由六类基本初等函数通过有限次四则运算或有限次复合所生成的,且由一个数学式子所表示的函数,统称为初等函数。
大学数学还让学生学习两类“分段函数”。
或是在不同的定义区间内,分别由不同的初等函数来表示的函数;
或者是有孤立的特别定义点的函数。
微分学研究函数的特点,是先做微观分析。
即讨论函数的连续性,可导性,可微性。
再通过函数的导数来宏观地研究函数的图形特征。
即单调性,有界性,奇偶性,周期性等。
1.函数的连续性
定义
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