曾量子力学练习题答案文档格式.docx
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01?
2?
x的矩阵已证明是?
01?
10?
x的矩阵式本征方程式是:
因此?
(8)?
cc?
x本征矢的矩阵形式是:
其余步骤与坐标表象的方法相同,?
ei?
[2]在?
z表象中,求?
n的本征态,n(sin?
cos?
sin?
sin?
cos?
)是(?
)
方向的单位矢。
(解)方法类似前题,设?
n算符的本征矢是:
x?
(1)
它的本征值是?
。
又将题给的算符展开:
y?
co?
z
(2)?
n?
s?
z?
(3)?
写出本征方程式:
x
2的共同本征矢?
,运算法则是?
x,?
y对?
根据问题(6)的结论,?
,?
i?
,?
(4)?
将这些代入(3),集项后,对此两边?
的系数:
(sin?
isin?
)?
(5)
(cos?
)c1?
e?
或?
(6)i?
)c2?
(6)具有非平凡解(平凡解c1?
0,c2?
0)条件是久期方程式为零,即
co?
1(7)它的解?
0i?
sin?
1时,代入(6)得:
tg
c1(8)
(1)的归一化条件是:
c1将(8)代入(9),得:
e
i(?
cos
esin
i?
归一化本征函数是:
si?
(10)
1时,c1,c2的关系是:
ctg
e?
(11)
是任意的相位因子。
本题用矩阵方程式求解:
运用矩阵算符:
10?
,?
(12)
10i00?
本征方程式是:
(13)
ssin?
(14)i?
n的本征矢是:
i(?
coesine?
221?
(15)2?
sie?
cose?
22?
补白:
本征矢包含一个不定的相位因式e,由于?
可以取任意值,因此?
1,?
2的形
式是多式多样的,但(15)这种表示法是有普遍意义的。
[3]在自旋态下?
1(sz)?
,求?
sx和?
sy
22
x(解)?
sx是s的均方偏差
sx?
(sx)222?
sy?
y是,s的均方偏差222
(sy)
1(sz)
422
s?
1(sz)s
2x
1(sz)sx?
222?
22
x,s?
y对称,因而因此?
在?
1(sz)态下,s
42
4
2y
[4]求在下列状态下?
j2和?
jz的可能测值。
(1)?
11(?
)
(1)
(2)?
(s)?
(?
(2)1z101z11
22?
1z1?
(3)1z10
3?
4?
(sz)?
1(?
)(4)
(解)依8.2总角动量理论,若电子的轨道运动的态用量子数?
l,m?
表示,在考虑到自
2,?
旋的情形下,若用(lj2,?
jz)共同表象,则电子的态可有四种;
若l?
m,有以下二态:
l?
m?
l,m(?
12l?
(5)j?
sz)?
)l,m?
2l?
m
(6)j?
若l?
m,有以下的二态:
l,l(?
j?
(7)
02?
0?
?
(8)
)2?
l,?
【篇二:
量子力学习题集及答案】
xt>
一、填空题
1.2.
设电子能量为4。
索末菲的量子化条件为(pdq?
nh),应用这量子化条件求得一维谐振子的能级en?
3.
德布罗意假说的正确性,在1927年为戴维孙和革末所做的(电)子衍
射实验所证实,德布罗意关系(公式)为(e?
)和(p?
k。
r?
=(三维空间自由粒子的归一化波函数为?
p
p?
r1?
e),3/2
(2?
4.
5.
d?
(?
(p?
p))。
pp?
1*?
(r)?
(r)d?
e),?
p?
)3/2
动量算符的归一化本征态?
p(?
(?
6.
t=0时体系的状态为?
x,0?
,其中?
为一维线性谐振子的定态波函数,则?
x,t?
0(x)e
i
t2
2(x)e
5i?
)。
7
.按照量子力学理论,微观粒子的几率密度w=),几率流密度=
。
*?
*)
的设?
(r)描写粒子的状态,(r)是(),在?
(r)中f
dx?
dx)平均值为=(?
*f。
(
8.
9.
波函数?
和c?
是描写(同一)状态,?
中的ei?
称为(相因子),
不影响波函数?
1)。
10.11.
定态是指(能量具有确定值)的状态,束缚态是指(无穷远处波函数为
零)的状态。
ee
(x,t)?
1(x)exp(?
i1t)?
2(x)exp(?
i2t)是定态的条件是
(e1?
e2),这时几率密度和()都与时间无关。
(粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象)称为隧道效应。
(无穷远处波函数为零)的状态称为束缚态,其能量一般为(分立)谱。
3.t=0时体系的状态为?
为一维线性谐振
12.13.14.
15.
3(x)e子的定态波函数,则?
(0(x)e。
粒子处在0?
a的一维无限深势阱中,第一激发态的能量为
7i?
x)()
a?
a
16.基态是指(能量最低)的状态,写出一维线性谐振子的基态波函数:
(n0e?
x/2
17.
3
一维线性谐振子的第一激发态的能量为(?
)、第一激发态的波函数
为(n12?
xe?
18.19.20.21.22.
(对应于同一本征值的本征函数的数目)称为简并度,不考虑电子自旋
时,氢原子的第n个能级的简并度为(n2)。
一维无限深势阱第n个能级的简并度为
(1),不考虑电子自旋时,氢原
子的第n个能级的简并度为(n)。
一维线性谐振子第n个能级的简并度为
(1),考虑电子自旋以后,氢原
子的第n个能级的简并度为(2n)。
氢原子的状态为r32(r)y21(?
),角动量平方是2、角动量z分量。
的定义是:
对于两任意函数?
等式厄密算符f
(f?
)*?
dx)成立。
*f?
23.24.
25.26.
27.28.
力学量算符的本征值必为(实数),力学量算符的属于两个不同本征值的本征态必(相互正交)。
力学量算符的属于(不同本征值)的本征函数必相互(正交)。
量子力学中,力学量算符都是(厄米)算符,力学量算符的本征函数组成(完全)系。
z=算符在其自身表象中的矩阵为(对角)矩阵,例如在?
z表象中?
)
]=0,?
存在组成?
,g?
2,l?
的如果[f则f(完全)系的共同本征态,l
z
共同本征态是(ylm(?
))。
存在有组成(完全)系的共同本征态,则[f?
]=(0)?
,g如果f,
的共同本征态是(y(?
))l。
lmz
29.30.31.32.
对易子[
dx
l?
]?
),[l。
e]?
xyxz
(i?
y]?
x]?
[x,p,[x,p,[l。
xyz
d?
x
()。
[y,p,[y,p。
xdx
,x和px的测不准关系是[
2(?
)。
____
33.在一维情况下,若粒子处于状态?
(x,t)中,则在动量表象中的波函数为
c(p,t)?
(x,t)e
px?
dx)。
34.
35.
36.37.38.39.40.
的本征态?
(x)的迭加态?
(x)?
(x)一维线性谐振子处在hn24
55
表象中一维线性谐振子的波函数为?
=(中,则在h
-4/5,0,…))。
斯特恩—革拉赫证实电子具有(自旋)角动量,它在任何方向上投影只
能取两个值()和(?
x=(2i?
z)?
,s?
s=。
2,l?
x=()?
,[l。
s在sz表象中,粒子处在自旋态?
中,=(。
cos2?
)z?
在?
z表象中,粒子处在自旋态?
中,?
x=?
,则在状态中,=()。
41.全同性原理的内容是:
(在全同粒子组成的体系中,两全同粒子相互代换
不引起物理状态的改变)。
42.泡里原理的内容是:
(不能有两个或两个以上的费密子处于同一状态)。
43.描写电子体系的波函数只能是(反对称)波函数,而电子体系的自
旋波函数则可以是(对称)或者(反对称)的。
44.电子是(费密)子,服从(费密-狄拉克)统计,描写电子体系的波
函数只能是(反对称)波函数。
45.描写玻色子体系的波函数只能是(对称)波函数,而玻色子体系的自旋
波函数则可以是(对称)或者(反对称)的。
46.描写费密子体系的波函数只能是(反对称)波函数,而费密子体系的自
旋波函数则可以是(对称)或者(反对称)的。
47.光子是(玻色)子,服从(玻色-爱因斯坦)统计,描写光子体系的
波函数只能是(对称)波函数。
――――――――――――――――――――――――――――――
在sz表象中,sx?
二、计算、证明题
0,0?
1.粒子在一维势场u(x)?
中运动,试从薛定谔方程出发求出
x?
a,x?
粒子的定态能级和归一化波函数.
解:
当x?
0,x?
a,u?
(0)?
.当0?
a,h22?
dx
ed22
令k?
得?
k?
022
c1sinkx?
c2coskx
0,?
0,?
c1sinkx?
(a)?
sinax?
0,ak?
(n?
1,2,3,?
n?
n2?
csinx,en?
1
a2?
a2
a
(n?
1,2,?
nd?
2.一粒子在一维势场u?
1
2x2?
bx中运动,试求粒子的能级和归一化定态2
波函数(准确解)。
22222
d1bb?
d12222?
(x?
h?
bx?
dx222?
dx22?
d2d2
令x?
则2?
dxdx?
b
2d21b222
h?
2d21b222?
e?
21
(n?
),?
n(x?
nne2hn(?
),en
21b2
en,
0,1,2,?
b?
b
n(x)?
nnexp?
h(?
),(n?
)n2?
3.一粒子在硬壁球形空腔中运动,势能为
0,r?
r0;
u?
r?
r0.
试从薛定谔方程出发求粒子在s态中的能级和定态波函数(不必归一化)。
1d22
(rf)}{提示:
在s态中?
f?
rdr
当r?
r0,u?
d2?
.?
当r?
r0,h22?
rdr
得(r?
k(r?
dr
(c1coskr?
c2sinkr)r
c
(0)有限,?
2sinkr
r
(r0)?
si0k?
0,r0k?
)en?
n2?
r0
n(r)?
c2n?
si,rr0
u0?
当0?
a?
u0
4.粒子在一维势场u?
中运动,试从薛定
谔方程出发求出粒子的定态能级和归一化波函数。
1.当x?
a,h
dx2
2(e?
u0)d22
022
u,10
本征函数?
(x)的正交归一完全性,证明5.利用力学量算符fn
*?
本征值。
(x)dx?
c2式中,?
为f?
(x)f?
nnn?
n
fnnn
cn?
n
**?
(x)dxc?
nn?
m(x)fm
(x)f
**=?
cmcn?
m(x)?
n(x)dxm
*=?
mnm
ncn
有一组共同本征态?
和g?
和6.求证:
如果算符f而且?
n组成完全系,则算符fn?
对易。
g
解:
设fnnn
gnnn
任一波函数?
可展开为?
【篇三:
量子力学试题附答案】
程名称量子力学适用时间试卷类别适用专业05级物理学1、2、3班本文档是我在淘宝0.8元购买的,求报销!
!
填空题中的1、2、4题,是量子力学基本知识,值得考。
1、玻尔原子模型的三个假设是()。
2、波函数的标准条件为()。
3、正交归一方程umund?
mn的狄拉克表示为()。
4、动量表象下的坐标算符表示形式()。
*
2和l?
的共同本征函数为()5、l。
选择题中2、4两题亦考察基本知识,可以考,不至于太难。
1、?
与?
对易,则两算符:
(1)有组成完全系的共同本征函数;
(2)没有组成完全系的共同本征函数;
(3)不能确定。
2、自由粒子能级的简并度为:
(1)1
(2)2(3)3(4)4
3、设线性谐振子处于?
0(x)?
1(x)描述的状态时,则该态中能量的平均值为
(1)0;
(2)123275?
;
(4)5?
52
4、两个能量本征值相同的定态,它们的线性组合
(1)一定是定态;
(2)不是定态
(3)不能确定
5、对氢原子体系(不考虑自旋)在电偶极近似下,下列能够实现的跃迁是:
就题目来讲,简述题中1、2题有些熟悉,知道在书中哪里,可以考。
1、光电效应实验的规律
2、量子力学中态的叠加原理
3、希尔伯特空间
4、辏力场中,偶极跃迁的选择定则
第2题,厄米算符的这个证明熟悉
1、求证在l?
z的本征态下lx?
0。
是厄米算符,若f?
也是厄米算府。
g?
0,证明f?
g2、设f?
计算题中,第1、3题是典型计算,针对性强,求考!
下附试题答案!
五、计算题(40分)
的共同表象中,算符l?
的矩阵分别为1.(15分)设已知在lzx
010?
lx?
101?
求它的本征值和归一化的本征函数。
02.(10分)设体系未受微扰时只有二个能级e10及e2,现在受到微扰h作用,微扰矩阵元为/
////h12?
h21?
a,h11?
h22?
b;
a,b都是实数,用微扰公式计算能量到二级修正。
3.(15分)设氢原子处于
(r,?
1r21(r)y10(?
r31(r)y10(?
)r21(r)y1?
)2的状态上,求其能量、角动量平方及角动量z分量的可能取值与相应的取值概率,进而求出它们的平均值。
宝鸡文理学院试题参考答案与评分标准
课程名称量子力学适用时间试卷类别a适用专业05级物理学1、2、3班
1.定态假设,频率条件(或h?
en?
em),角动量量子化(或l?
);
2.单值,有限,连续
4.i?
3.mn?
mn?
5.ylm(球谐函数)?
px
1、光电效应:
(1)?
0时,不能发射光电子…………………….……………..……..(2分)
(2)最大初动能与入射的光强度无关…………..…………………………(2分)
(3)驰豫时间很短…..……….……………………………..…………………(1分)
2、如果?
1和?
2是体系的可能状态,那么它们的线性叠加?
2也是这个体系的一个
可能状态…..……….……………………………..…………………(5分)
3、量子力学中,厄米算符的本征函数{un}组成正交归一完全系,以{un}为基函数的空间叫希尔
伯特空间…………………………………..……………………..………………..……..…(5分)
4、辏力场中,偶极跃迁的选择定则:
1………………..……………..……..(2分)
(2)?
1…………………………..…(3分)
1.角动量分量算符满足对易关系:
il?
……………..……………………………………….
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