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表示准则层对应的4个元素;
表示子准则层;
表示子准则层对应的13个元素;
表示方案层;
表示方案层对应的4个学校甲乙丙丁;
矩阵:
表示准则层对目标层的两两比较矩阵。
:
表示一致性指标;
表示随机一致性指标;
表示组合随机一致性指标。
4.问题分析
这是一个半定性与半定量、多因素的综合选优排序问题。
利用层次分析法进行分析决策。
经过查阅资料及对考研学生选择学校的侧重因素发现,四个一级指标即准则层对综合选择学校的影响顺序依次为:
院校信息,城市情况,学习环境,其他情况。
并对指标进行量化处理:
院校信息化为7,城市信息化为5,学习环境化为3,其他因素化为1;
在子准则层中对于院校信息的四个子准则层元素分别进行量化处理:
学校荣誉量化为7,录取分数量化为5,奖学金量化为3,就业前景量化为1;
城市情况的子准则层元素分别量化为城市名声量化为5,生活费用量化为3,气候环境量化为1;
学习环境的子准则层元素:
专业兴趣量化为3,导师水平量化为1;
其他情况中:
招生总数量化为7,直博比例量化为3,距离量化为5,人际关系量化为1。
对于四个学校各项指标中定性的进行量化处理,数值如图
(1)
17/57/37
5/715/35
3/73/513
1/71/51/31
15/35
3/513
1/51/31
13
1/31
17/37/57
3/713/53
5/75/315
1/71/31/51
(图1)
5.模型的建立与求解
5.1模型的建立
(1)构造成对比较阵
面临的决策问题是:
要比较个因素,对目标层的影响,我们要确定它们在中所占的比重,即这个因素对目标层的相对重要性。
我们通过查阅资料及调查发现对影响目标层的因素进行赋值,并构造出两两比较矩阵。
设有因素……每次取两个因素,用正数表示与的重要性之比。
由全部比较结果得到矩阵,称作成对比较阵。
显然=1/,>
=0,用1--9的比例标度来度量。
即取1,2,3……9及其倒数1,1/2,……1/9,它们代表的意义如下表
标度
含义
1与的影响相同
3比的影响稍强
5比的影响强
7比的影响明显的稍强
9比的影响绝对的稍强
2,4,6,9比的影响之比介于上述两个相邻等级之间
1,1/2,……1/9比的影响之比为上面的互反数
然后求出两两比较矩阵的最大特征值及其对应的特征向量:
(2)采用和法(算术法)
第一步:
将矩阵的每一列向量归一化:
,其中;
第二步:
对矩阵按行求得向量其中;
第三步:
将归一化得近似特征向量即为相对权重向量。
第四步:
计算得到最大特征根的近似值,即为。
其中表示的第个分量。
(3)进行一致性检验:
在实际中,用1--9比例标度构造出的一致矩阵是不大容易的,大多数3阶及3阶以上的两两比较矩阵不是一致矩阵。
事实上只要不一致程度在一定的容许范围内,就认为构造的正反矩阵是适合的。
Saaty给出衡量比较矩阵不一致的指标。
设是阶正反矩阵,为的最大特征根,则的一致性指标:
为了确定的不一致性程度的容许范围,Saaty又引入了随机一致性指标。
通常是由实际检验给定的,对于不同的,的值如表所示
1234567891011
000.580.901.121.241.321.411.451.491.51
当时,阶正互反矩阵的一致性指标与同阶的随机一致性指标之比称为一致性比率指标,记为,即。
一般地,当<
0.1时,则认为矩阵的不一致程度在容许的范围之内,这时可用其归一化特征向量作为权重向量。
(3)确定组合权重向量和组合一致性检验
a,组合权重向量
设第层有个元素,第层有个元素,并且第层的个元素对目标层的权重向量:
第层个元素对上一层(第层)上第个元素的权重向量:
则行列矩阵
表示第层上个元素对第上各个元素的权重。
那么第上各个元素对目标层(最高层)的组合权重向量为。
一般地,对任意的,有,其中表示第二层上各个元素对目标层的权重向量。
b,组合一致性的检验
组合一致性检验可以逐层进行。
设第层的一致性指标为,
随机一致性指标为。
则第层的组合一致性指标为;
组合随机一致性指标:
;
组合随机一致性比率:
当时,则第层通过组合一致性检验,一次类推,当最底层第层的组合一致性比率时,整个层次通过一致性检验。
则表示方案层对目标层的组合权重,根据其组合权重的大小确定方案层方案的优劣,权重越大说明方案越优。
5.2模型的求解
(1)建立层次结构图(如图二)
根据题目所给的各评价指标确定目标层,准则层,子准则层和方案层,建立如图
(1)所示的层次结构图。
第一层:
选择理想的学校;
第二层:
选择理想学校的一级指标,依次为院校信息,城市情况,学习环境,其他情况。
第三层:
选择理想学校的二级指标,即学校荣誉,录取分数,奖学金,就业前景,城市名声,生活费用,气候环境,专业兴趣,导师水平,招生总数,直博比例,距离,人际关系13个指标。
第四层:
以要选择的四个学校大连甲高校、成都乙高校、武汉丙高校、北京丁研究所
(2)确定准则层对目标层的权重向量
根据问题分析并对准则层进行量化处理,建立准则层对目标层的两两比较矩阵:
由和法计算通过matlab编程(见附录编程一)求出最大特征根及对应的归一化特征向量:
(图二)
(3)进行一致性检验
由于一致性指标=0,知是一致性矩阵,即为准则层对目标层的权重向量。
(4)确定子准则层对准则层的相对权重向量
先构造和对的两两比较矩阵,并由比较矩阵计算出相对权重向量,类似地,分别确定子准则层各因素对准则层中的两两比较矩阵及其相对权重。
由和法计算通过matlab编程(见附录编程一把矩阵改为)求出各矩阵的最大特征根及对应的归一化特征向量:
再进行一致性检验:
故满足一致性。
(5)子准则层13个因素对准则层各个因素的相对权重向量:
以它们为列向量构成的矩阵:
子准则层对目标层的组合权重经计算得(见附录编程二):
第三层对目标层的组合一致性检验:
组合随机一致性检验指标:
组合随机一致性比率:
(见程序三)
故通过组合一致性的检验。
(5)确定方案层对子准则层的权重向量
根据表示中的数据和有关定性的因素经过查阅资料得出其排列顺序,然后我们对其进行赋值,具体数值见(附录表三),分别构造方案层中的四个学校对子准则层中各个因素的两两比较矩阵:
,
其中。
,
由矩阵都是一致矩阵,矩阵的最大特征根,将其任一列向量归一化后可得方案层对子准则层中因素的相对权重向量。
(见程序四)
(6)确定方案层对子准则层的相对权重向量
以为列向量可得方案层对子准则层的权重向量:
(7)确定方案层对目标层的组合权重向量
方案层对目标层的组合权重向量:
(8)方案层对目标层的一致性检验:
组合一致性指标:
(见程序五)
故符合一致性检验。
所以其组合权重向量为:
结果分析:
由方案层对目标层的权重的大小可以看出:
北京丁研究所评价最高,实力最强。
因此对于小王选择学校来说最好选择北京丁研究所。
6.模型的改进与推广
(1)通过上面的分析与计算,我们已经将小王如何选择最适合自己的学校这一问题得以解决,由不定性的模糊判断转化为定量的分析,并最终通过建立数学模型,为小王同学选择了一所最有理想的学校。
但这只是在理想状况下的结果,有很多问题在选择学校的时候需要进行考虑和分析。
比如:
小王对于各个城市的饮食习惯,住宿习性等众多因素也存在一定的影响。
(2)在前面的数学模型中,我们用对各个因素进行量化处理,并用做出比较矩阵。
由于量化处理是人主观进行的故这样做存在一定性的误差。
(3)该模型具有广泛的应用价值,还可以应用到其它类似的评价问题中,例如,科技成果的综合评价问题、人才的录用问题等。
7.模型的特点及局限性
(1)系统性。
把所研究的问题看成一个系统,按照分解、比较判断、综合分析的思维方式进行决策分析,也是实际中继机理分析方法、统计分析方法之后发展起来的又一个重要的系统分析工具。
(2)实用性。
把定性与定量方法结合起来,能处理许多传统的优化方法无法处理的实际问题,应用范围广而且将决策者和决策分析者联系起来,体现了决策者的主观意见,决策者可以直接应用它进行决策分析,增加了决策的有效性和实用性。
(3)简洁性。
具有中等文化程度的人都可以学习掌握层次分析法的基本原理和步骤,计算也比较简便,所得结果简单明确,容易被决策者了解和掌握
(4)局限性是粗略、主观。
首先是它的比较、判断及结果都是粗糙的,不适于精度要求很高的问题;
其次是从建立层次结构图得到的两两比较矩阵,人的主观因素作用很大,使决策结果较大程度地依赖于决策人的主观意志,可能难被所有人所接受。
8.参考文献
【1】姜起源,《数学模型》,第三版。
【2】韩中庚,《数学建模方法及其应用》,第一版。
9.附录
甲乙丙丁
院校信息学校荣誉(百分制)80768287
录取分数342338356379
奖学金(元)8000600050002500/月
就业前景好一般好非常好
城市情况城市名声(百分制)83807493
生活费用(元/年)80007000600011000
气候环境(百分制)85807065
学习环境专业兴趣有兴趣有兴趣非常有兴趣有兴趣
导师水平(百分制)76818885
其他情况招生总数(所有专业)120010001800200
直博比例75%60%65%50%
(表一)
距离(时间)26时46分16时5时34分13时27分
人际关系4321
(表二)
院校信息城市情况学习环境其他情况
学校名称
学校荣誉(百分制)
录取分数
奖
学
金(元)
就业前景
城市名声(百分制)
生活费用(元/年
)
气候环境(百分制)专业兴趣
导师水平(百分制)招生总数(所专业)
直博比例
距离
人际关系
803428000好
283800085有兴趣76120075%26时46分4
763386000一般
180700080有兴趣81100060%16时3
823565000好
274600070非常有兴趣88180065%5
时34分2
873792500/月非常好
3931100065有兴趣8520050%13时27分1
(表三)
程序1:
A=[17/37/57;
3/713/53;
5/75/315;
1/71/31/51];
n1=size(A,1);
B=sum(A)
n2=size(B,2);
fori=1:
n1
forj=1:
n2
C(i,j)=A(i,j)/B(1,j);
end
end
C
C=C'
;
C=sum(C);
n3=size(C,2);
s=sum(C'
);
C=C/s;
%权重向量
l=sum(A*C./C)/n3%最大特征值
CI=(l-n1)/(n1-1)%检验数
RI=[000.580.91.121.241.411.451.491.51];
ifn3>
CR=CI/RI(1,n3)%一致性检验
程序二:
W13=[0.43750.31250.18750.0625000000000]
W23=[00000.55560.33330.1111000000]
W33=[00000000.75000.25000000]
W43=[0000000000.43750.18750.31250.0625]
W2=[0.43750.31250.18750.0625]
W3=[W13'
W23'
W33'
W43'
]*W2'
程序三:
CR2=0;
CI2=[0000]
CI3=CI2*W2'
RI2=[0.90.5800.9]
RI3=RI2*W2'
CR3=CR2+CI3/RI3
程序四:
c1=[
0.2462
0.2338
0.2523
0.2677];
c2=[
0.2417
0.2389
0.2516
0.2678];
c3=[
0.2376
0.3168
0.1485
0.2970];
c4=[
0.2500
0.1250
0.3750];
c5=[
0.2515
0.2424
0.2242
0.2818];
c6=[
0.2188
0.1875
0.3438];
c7=[
0.2787
0.2623
0.2459
0.2131];
c8=[
0.2000
0.3000
0.3000];
c9=[
0.2303
0.2455
0.2667
0.2576];
c10=[
0.2857
0.2381
0.4286
0.0476];
c11=[
0.2400
0.2600
0.2000];
c12=[
0.4332
0.2590
0.0901
0.2177];
c13=[
0.4000
0.1000
];
w=[c1c2c3c4c5c6c7c8c9c10c11c12c13];
w3=[0.19140.13670.08200.02730.17360.10420.03470.14060.04690.02730.01170.01950.0039]'
w*w3
程序五:
RI4=[0.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.90.9]
W3=[0.19140.13670.08200.02730.17360.10420.03470.14060.04690.02730.01170.01950.0039]
RI4=RI4*W3'
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