长方体和正方体题解Word格式.docx

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原正方体的棱长是3分米（9＝3×

3）

（17）一个长方体，如果高增加2厘米，就变成了一个正方体。

表面积就增加48

平方厘米，原长方体的表面积是（168）平方厘米。

原长方体的长和宽都是48÷

4÷

2＝6（厘米）

（18）一根长2.5米的长方体木料，把它锯成2段，表面积增加1.26平方分米，这根木料的体积是（15.75）立方分米。

（19）把一个长方体的小木块截成两段后，就变成两个完全相等的正方体，于是这两个正方体的棱长之和比原来长方体的棱长之和增加40厘米，原来长方体的长是（10）厘米。

增加了8条小正方体的棱长。

（20）b

是b的（b）倍。

b

是b的（b

）倍。

（21）用3个长3厘米，宽2厘米，高1厘米的同样的长方体，拼成一个表面积最小的长方体，这个长方体的表面积是（42）平方厘米。

把最大的面重合，

拼成一个长3厘米，宽2厘米，高1×

3＝3（厘米）的长方体。

（22）用3个长4厘米，宽3厘米，高2厘米的同样的长方体，拼成一个表面积最大的长方体，这个大长方体的表面积是（132）平方厘米.

把最小的面重合，拼成一个长4×

3＝12（厘米），宽3厘米，高2厘米的长方体。

（23）有36块棱长都为1厘米的正方体，当放成长（4）厘米，宽（3）厘米，高（3）厘米的长方体时，它的表面积最小。

要考虑有多少种放法。

长

36

18

12

9

6

宽

1

2

3

高

表面积

146

112

102

98

96

80

72

66

从表中看出，长、宽、高越接近表面积越小。

（24）把6个棱长2厘米的正方体拼成一个长方体，它的表面积最大是（104）平方厘米。

（25）把一个长宽高分别是7厘米、6厘米、5厘米的长方体，截成两个长方体，使这两个长方体的表面积之和最大，这时表面积之和是（298）平方厘米。

增加2个7×

6＝42（平分厘米）的面时表面积之和最大。

2.判断：

（×

）

（1）a

＞a（√）

（2）长方体相邻两个面如果是正方形，这个长方体就成了正方体。

（√）（3）把棱长是a的正方体切成两个大小不等的长方体，

它的表面积的和是8a

。

）（4）正方体的棱长扩大5倍，体积扩大15倍。

（√）（5）长方体的长、宽、高分别都缩小到原来的

，表面积缩小到原来

的（

（×

）（6）如果两个长方体的表面积相等，则它们的体积也相等。

）（7）一个长方体，底面周长是25厘米，高是5厘米，

它的体积是125平方厘米。

）（8）0.3

＝0.27（√）（9）正方体的体积是125立方厘米，它的棱长是5厘米。

）（10）用4个同样的正方体拼成一个大长方体，大长方体的表面积

是原来一个小正方体表面积的3倍。

（√）（11）如果长方体的表面积缩小到原来的

，它的体积就缩小到原来

的

。

）（12）把体积1立方分米的木块放在桌子上，木块占桌面的面积是1平方

分米。

（√）（13）把体积8立方分米的正方体木块放在桌子上，木块占桌面的面积是4平方分米。

）（14）棱长之和相等的两个长方体，它们的体积一定相等。

）（15）正方体的棱长增加3倍，表面积就增加9倍。

3.选择：

①把一块长10厘米，宽8厘米，高5厘米的长方体木块，分割成棱长1厘米的小正方体木块排成一排，这个长方体的长是（D）厘米。

A40B50C80D400

②一个长方体木块，底面是边长1厘米的正方形，高7厘米，把它截成1立方厘米的小正方体，这7个小正方体的表面积之和比原来的长方体增加了（C）平方厘米。

A49B42C12D7

③一个底面为正方形的长方体，如果切下一个正方体就剩下一个高4厘米的长方体，表面积减少了36平方厘米。

原长方体的表面积是（B）平方厘米。

A40B102C66D96

表面积减少了4个正方形的面，每个面的面积是

36÷

4＝9（平分厘米），9＝3×

3，所以切下的正方体的棱长是3厘米。

④一个长方体的长、宽、高分别是a米、b米、h米，如果高增加3米后，新的长方体体积比原来增加（D）立方米。

A.3abhB.ab（h＋3）C.abh＋3D.3ab

又新的长方体的表面积比原来增加（D）平方米。

A.3abB.3（a＋b）C.6abD.6（a＋b）

⑤长方体（不含正方体）最多有（C）条棱长度相等，最少有（B）条棱长度相等。

A.2B.4C.8D.12

4.解法1：

食品盒的底面周长是288÷

12＝24（厘米），

底面正方形的边长是24÷

4＝6（厘米），

做这个食品盒至少需要6×

6×

2＋288＝360（平方厘米）铁皮，

它的容积是6×

12＝432（立方厘米）

解法2：

食品盒侧面中一个面的面积是288÷

4＝72（平方厘米）

底面边长是72÷

12＝6（厘米）（以下同解法1）

5.底面正方形的边长是12÷

4＝3（分米）

最多容水3×

12＝108（立方分米）＝108（升）

6.解法1：

长方体的体积＝长×

宽×

高，底面是正方形的长方体，长和宽相等，侧面积是四个完全一样的长方形的面积之和。

每个长方形的面积是500÷

4＝125（平方厘米），

即长×

高＝125平方厘米，长方体的体积是125×

7＝875（立方厘米）。

长方体的侧面积＝底面周长×

高＝7×

高＝500，

长方体的高＝500÷

（7×

4），

长方体的体积＝7×

7×

[500÷

4）]

＝7×

500÷

7÷

4＝875（立方厘米）。

7.20×

15×

6÷

（20×

10）＝9（厘米）

8.宽×

高＝48÷

2＝24（平方厘米），长×

高＝99÷

3＝33（平方厘米），

长×

宽＝352÷

4＝88（平方厘米），

原长方体的表面积是（24＋33＋88）×

2＝290（平方厘米）。

9.水的体积是40×

30×

24＝288400（立方厘米），

两容器底面积之和是40×

30＋30×

20＝1800（平方厘米），

倒后水深28800÷

1800＝16（厘米）。

10.两容器水的总体积是40×

5＋30×

20×

23＝19800（立方厘米），

倒后水深19800÷

1800＝11（厘米）。

11.侧面积是184－20×

2＝144（平方厘米），高为144÷

18＝8（厘米）

长方体的体积是20×

8＝160（立方厘米）。

※12.解法1：

6＝9（平方厘米），9＝3×

3，

新正方体的一个面的面积是3×

3÷

2×

4＝18（平方厘米）

新正方体的表面积是18×

6＝108（平方厘米）解法2：

新正方体一个面的面积等于原正方体一个面面积的2倍，

新正方体的表面积等于54÷

6＝108（平方厘米）

13.新的立方体中有15条棱，10个顶点，7个面。

※14.

（1）①最大的正三角形②最大的长方形

（2）A、C、F、H四点中任意三个点都可以组成一个等边三角形，

这样的四个点有两组，分别是ACFH、和BEDG。

15.锯下一个最大的正方体后，表面积减少了正方体侧面的4个面，所以正方体每个面的面积为（114－54）÷

4＝15（平方厘米）。

锯下的正方体的表面积是15×

6＝90（平方厘米）

16.从上部和下部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体等于截去一个高为

3＋2＝5（厘米）的长方体，

原长方体底面正方形的边长是120÷

5＝6（厘米）

原来长方体的体积是6×

（6＋5）＝396（立方厘米）

17.①10×

10×

10÷

（50×

40）＝1000÷

2000＝0.5（厘米）

②30×

25×

（18－15）＝750×

3＝2250（立方厘米）

18.①小长方体入水部分的体积是20×

0.6＝120（立方厘米）

水面的高是120÷

（5×

4）＝6（厘米）

小长方体露出水面部分的高是10－6＝4（厘米）

小长方体露出水面部分的表面积是

5×

4＋5×

2＋4×

2＝92（平方厘米）

②铁块露出水面部分的体积4×

8＝128（立方厘米），

容器底面积128÷

4＝32（平方厘米）

铁块体积32×

10＝320（立方厘米），

铁块的高320÷

（4×

4）＝20（厘米）。

※19.①选择：

从底面提起2厘米时，则露出水面的棒的浸湿部分的长，（C）。

A比2厘米短；

B正好2厘米；

C比2厘米长。

当把棒从底面提起2厘米时，容器下面2厘米的水中已不包括原来长2厘米棒的体积，这个体积大于容器上面插棒时水深2厘米的的体积（因还包括长2厘米棒的体积），所以水面下降2厘米后还要下降，露出水面的棒的浸湿部分的长就比2厘米长。

②从底面提起24厘米时，下面留下的空间将被上面的水填充，上面水的底面面积为60×

60－20×

20＝3200（平方厘米），所以水面下降24厘米后，还要下降的高度为

（20×

20×

24）÷

（60×

20）＝9600÷

3200＝3（厘米），

露出水面的棒的浸湿部分的长为24＋3＝27（厘米）。

20.每切一刀增加两个面，如图所示，切3刀共增加了

4个6×

3的面和2个8×

3的面，所以表面积增加了

6×

4＋8×

2＝120（平方厘米）

21.底面正方形的边长是80÷

4＝20（厘米）

由上往下切时增加了两个面，每个面的面积是48÷

2＝24（平方厘米）

这个长方体的高是24÷

20＝1.2（厘米）

原长方体的体积是20×

1.2＝480（立方厘米）。

22.解法1：

锯成8个相等的小正方体后，原大正方体的

每个面平均分成4等分（如图），所以小正

方体的表面积是

80÷

6＝20（平方分米）

锯成8个相等的小正方体后，表面积增加6个面的面积。

这时8个小正方体表面积的和是80×

2＝160（平方分米）

每个小正方体的表面积是160÷

8＝20（平方分米）

23.①27＝3×

3，至少要切（3－1）×

3＝6（刀）

②10÷

2.5＝4（段），共切3＋3＋3＝9（刀），增加9×

2＝18（个）面

表面积增加10×

18＝1800（平方分米）

24.解法1：

5×

2＋5÷

4＝100（平方厘米）

6＋5×

2）÷

2＝100（平方厘米）

解法3：

（6＋2）÷

25.共切2＋3＋4＝9（刀），增加2×

9＝18（个）面

这60个小长方体的表面积的总和是1×

1×

（6＋18）＝24（平方米）

26.设大长方体的左、右面的面积为"

1"

，则它的表面积是1×

2＋2×

4＝10。

切成12个小长方体后，新增加的面积为3×

2＝14，

可得到左、右面的面积都是600÷

（10＋14）＝25（平方分米）

25＝5×

5，可知原长方体的宽和高都等于5分米，长为5×

2＝10（分米），

这个大长方体的体积是10×

5＝250（立方分米）。

27.横切增加上、下两个面的面积，一个面是48÷

2＝24（平方厘米）；

竖切增加左、右两个面的面积，一个面是40÷

2＝20（平方厘米）。

依题意，长、宽、高是三个连续的自然数，又长×

宽＝24，宽×

高＝20，

所以长、宽、高只能分别是6厘米、4厘米、5厘米。

原长方体的表面积是（6×

5＋6×

4）×

2＝148（平方厘米）。

28.有三种可能：

（1）3×

9×

4＝108（平方厘米）

（2）3×

（3）9×

4＝216（平方厘米）

※29.体积为8立方分米，且棱长都是整数分米的长方体有三种。

（一）当长、宽、高分别为2、2、2分米时，体积为8立方分米，是一个特殊的长方体，把它截成形状大小相同，长、宽、高分别为2分米、

2分米、1分米的两个长方体；

（二）当长、宽、高分别为8分米、1分米、1分米时，把它截成形状大小相同的两个长方体又有两种截法：

（1）横截成两个长8分米，宽为1，高为1÷

2＝0.5（分米）的长方体；

（2）竖截成两个长8÷

2＝4（分米），宽和高都为1分米的长方体；

（三）当长、宽、高分别为4分米、2分米、1分米时，把它截成形状大小相同的两个长方体又有三种截法：

（1）横截成两个长、宽、高分别为4分米、2分米、1÷

2＝0.5（分米）的长方体；

（2）前后竖截成两个长、宽、高分别为4÷

2＝2（分米）、2分米、1分米的长方体；

（重复）

（3）左右截成两个长、宽、高分别为4分米、2÷

2＝1（分米）、1分米的长方体。

所以共有4种截法。

30.原正方体棱长为112÷

4＋4×

2）＝4（厘米）

长方体的长是4×

5＝20（厘米），体积是20×

4＝320（立方厘米）。

31.30÷

6＝5（平方厘米）

改拼成一个大长方体后表面积是

2＋5×

2＋5＝35（平方厘米）

└↓┘└↓┘↓

上下面前后面左右面

32.有两种拼法，所以有两种答案。

图①拼成后减少14个面。

图②拼成后减少10个面。

70÷

14×

6＝30（平方厘米）70÷

10×

6＝42（平方厘米）

33.用这些正方体可以拼成的长方体有6种，如下表：

24

8

34.小正方体木块一个面的面积是6÷

6＝1（平方厘米），棱长是1厘米。

1000＝10×

10，所以大正方体的棱长是10厘米，组成的大正方体的表面积是10×

6＝600（平方厘米）

35.铁盒子的长为32－4×

2＝24（厘米），宽为768÷

24＝8（厘米）

原长方形铁皮面积为32×

（8＋4×

2）＝512（平方厘米）

36.底面为正方形时容积最大。

如图，将两块切割下的

部分分别焊接在阴影处，底面边长20厘米，深5厘米，

容积为20×

5＝2000（立方厘米）。

※37.焊成的长方体越接近正方体容积越大。

6.4米＝64分米，64÷

4＝16（分米）（长、宽、高的和）

16＝6＋5＋5，当长、宽、高分别为6分米、5分米、5分米时容积最大。

焊这个长方体至少需要5×

2＋6×

4＝170（平方分米）铁皮。

38.正方体展开图：

练习1、图中（每个小四边形皆为全等的正方形），可以是一个正方体表面展开图的是（A、E、G、H）。

小结：

符合（1、4、1）；

（2、3、1）；

（3、3）；

（2、2、2）的，且不能出现“凹”字形（J）、“田”字形（B、C、D）或五连方，才是正方体的展开图。

下面是无盖正方体盒子的展开图：

练习2、下面哪一些图形折叠起来能做成一只开口的盒子？

（a、b、e、f）

练习3、分别在各图中写出正方体的每面各是哪一面（写后、左、右、上、下）。

第一类，中间四连方，两侧各有一个，共6种，如下图：

第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共3种，如下图：

第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有1种，如下图：

第四类，两排各有3个，也只有1种，如右图：

练习4、下图是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个正方形A、B、C内分别填上适当的数,使得这个表面展开图沿虚线折成正方体后,相对面上的两个数互为相反数,则填在A、B、C内的三个数依次是（A）。

A.0，2，－1B.0，－1，2

C.－1，0，2D.2，0，－1

练习5、下面的四个图形中，（C）是由左边的盒子展开而成的。

练习6、右图是一个正方体的展开图，每个面内

都标注了字母，请根据要求回答问题。

①如果A是底面，那么哪一面在上面？

（F）

②如果F是前面，从左看是B面，那么

哪一面在上面？

（E）

③从右看是C面，面D在后面，那么哪一面在上面？

（A）

练习7、将右图折叠成一个正方体，相对两个

面上的数字之和最大是几？

（9）

2＋4＝61＋5＝63＋6＝9

练习8、先写出下面每一个无盖正方体纸盒展开图的底面，再写出其他面。

练习9、5×

2＝10（平方厘米）

练习10、先把右侧面展开，连接AB

（如图），与棱EF交于C点，蚂

蚁沿其表面从顶点A爬向顶点B的最短路线是AB，然后画线，再把右侧面折回。

（如不能展开，可贴一张纸，画好后折回描线。

）

这样的最短线段共可以画六条：

分别在右、前面，右、下面，后、下面，后、左面，上、前面，上、左面，画法相同。

※39.①

②在下面的正方体展开图中找出相对面上的数的和都为7的图，这个图形是（②）。

40.下面四个展开图中和已知正方体一致的图是[

（1）]。

41.下面三个正方体中，第（3）个正方体展开后，可以得到下面的展开图。

42.1和3、4和6、2和5分别是相对的面。

※43.能折成完整的正方体的展开图有

（2）、（5）、（6）、

（10）、（11）、（14）、（16）、（18）、（19）、（21）、（22）共11个。

※44.在所示的12个展开图中，能做成没有顶盖的小方盒的展开图有：

⑵、⑶、⑸、⑹、⑺、⑻、⑾、⑿共8个。

※45.如图，三个正方体朝左那一面

的数字之积是（5×

4＝20）。

※46.解法1：

（18＋24）是正方体侧面四个面与2个上面数字的和，

所以上面的数为：

（18＋24－13×

2＝8，

贴着桌面上的数是13－8＝5

上面＋侧面1＋侧面2＝18原六个面数字和为13×

3＝39，

＋丿上面＋侧面3＋侧面4＝24下面的数比上面少42－39＝3，

2个上面＋全部侧面＝42贴着桌面的数是（13－3）÷

2＝5

※47.能单独看见一个面上的数有6种情况；

能同时看见同一条棱的两个面上的数有12种不同的情况；

能同时看见具有同一个公共顶点的三个面上的数有8种不同情况。

最多可能得到6＋12＋8＝26（个）不同的数。

染色问题

48.三个面有油漆的在8个顶点处，共8块；

两个面有油漆的在12条棱的中间（每条棱各去掉两端的一个），

共有[（5－2）＋（4－2）＋（3－2）]×

4＝24（块）；

一个面有油漆的在各个面的中央，共有

[（5－2）×

（4－2）＋（4－2）×

（3－2）＋（5－2）×

（3－2）]×

2＝22（块）。

六个面都没有油漆的有5×

3－（8＋24＋22）＝6（块）

或（5－2）×

（4－2）×

（3－2）＝6（块）。

※49.

（1）需要锯（30÷

10－1）×

3＝6（次），能截成3×

3＝27（个）小正方体。

（2）没有四面都有红漆的小正方体。

（3）三面都有红漆的小正方体有8个，它们是正方体8个顶点的8个小正方体，（固定不变）。

（4）两面有红漆的小正方体在原大正方体各条棱的中间，每条棱上有一个，

（3－2）×

12＝12（个），共有12个。

[每条棱两端各减去1个，再乘12，即（棱长－2）×

12]

（5）一面有红漆的小正方体只有在原大正方体每个面的中心，

（3－2）×

6＝6（个），所以有6个。

[（棱长－2）

×

6]

（6）没有红漆的小正方体只有原大正方体的正中心的1个。

3×

3－（8＋12＋6）＝1（个）或（3－2）

＝1（个）。

]