新教材人教B版数学必修第四册教师用书第9章 92 正弦定理与余弦定理的应用.docx
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新教材人教B版数学必修第四册教师用书第9章92正弦定理与余弦定理的应用
9.2 正弦定理与余弦定理的应用
9.3 数学探究活动:
得到不可达两点之间的距离
学习目标
核心素养
1.能将实际问题转化为解三角形问题.(难点)
2.能够用正、余弦定理等知识和方法求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题.(重点)
3.能根据题意画出几何图形.(易错点)
1.通过应用正、余弦定理求距离、高度、角度问题,培养学生的数学运算素养.
2.借助将实际问题转化为解三角形问题,培养学生的数学建模的素养.
1.实际测量中的有关名词、术语
名称
定义
图示
基线
在测量上,根据测量需要适当确定的线段叫做基线
铅垂平面
与地面垂直的平面
坡角
坡面与水平面的夹角
α为坡角
坡比
坡面的垂直高度与水平宽度之比
坡比:
i=
仰角
在同一铅垂平面内,视线在水平线上方时,视线与水平线的夹角
俯角
在同一铅垂平面内,视线在水平线下方时,视线与水平线的夹角
2.方位角
从指北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角.如点B的方位角为α(如图所示).
方位角的取值范围:
0°~360°.
3.方向角
从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°.
1.如图,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与B的距离为( )
A.akmB.akm
C.akmD.2akm
B [在△ABC中,因为AC=BC=a,
∠ACB=180°-20°-40°=120°,
由余弦定理可得AB2=a2+a2-2a×a×cos120°=3a2,所以AB=a,故选B.]
2.已知两座建筑A,B与规划测量点C的距离相等,A在C的北偏东40°,B在C的南偏东60°,则A在B的( )
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东10°D.南偏西10°
B [因为△ABC为等腰三角形,
所以∠CBA=(180°-80°)=50°,
60°-50°=10°.
即北偏西10°.]
3.某人从A处出发、沿北偏西60°行走2km到达B处,再沿正东方向行走2km到达C处,则A、C两地的距离为________km.
2 [如图所示,∠ABC=30°,又AB=2,BC=2,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB×BCcos∠ABC=12+4-2×2×2×=4,
AC=2,所以A、C两地的距离为2km.]
4.在相距2千米的A,B两点处测量目标C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,求A,C两点之间的距离.
[解] 如图所示,∵∠CAB=75°,∠CBA=60°,∴∠ACB=180°-75°-60°=45°,又AB=2,
∴由正弦定理=,得=,解得AC=,即A,C两点之间的距离为千米.
测量距离问题
【例1】 要测量对岸A,B两点之间的距离,选取相距km的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求A,B之间的距离.
[思路探究] 将题中距离、角度转化到一个三角形中,再利用正弦、余弦定理解三角形.
[解] 如图所示,在△ACD中,∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°,
∴AC=CD=km.
在△BCD中,∠BCD=45°,
∠BDC=75°,∠CBD=60°.
∴BC==.
在△ABC中,由余弦定理,得
AB2=()2+-2×××cos75°
=3+2+-=5,
∴AB=(km),∴A,B之间的距离为km.
三角形中与距离有关的问题的求解策略
1.解决三角形中与距离有关的问题,若在一个三角形中,则直接利用正、余弦定理求解即可;若所求的线段在多个三角形中,要根据条件选择适当的三角形,再利用正、余弦定理求解.
2.解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边,分析所解三角形中已知哪些元素,还需要求出哪些元素,灵活应用正、余弦定理来解决.
1.如图,货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角为140°的方向航行,为了确定船位,船在B点观测灯塔A的方位角为110°,航行半小时后船到达C点观测灯塔A的方位角为65°.问货轮到达C点时,与灯塔A的距离是多少?
[解] 在△ABC中,BC=40×=20(km),
∠ABC=140°-110°=30°,∠ACB=(180°-140°)+65°=105°,
故∠A=180°-(30°+105°)=45°.
由正弦定理得AC===10(km).
答:
货轮到达C点时,与灯塔A的距离是10km.
测量高度问题
【例2】 如图所示,A、B是水平面上的两个点,相距800m,在A点测得山顶C的仰角为45°,∠BAD=120°,又在B点测得∠ABD=45°,其中D点是C点到水平面的垂足,求山高CD.
[解] 由于CD⊥平面ABD,∠CAD=45°,所以CD=AD.
因此只需在△ABD中求出AD即可,
在△ABD中,∠BDA=180°-45°-120°=15°,
由=,
得AD===800(+1)(m).
即山的高度为800(+1)m.
解决测量高度问题的一般步骤
1.画图:
根据已知条件画出示意图.
2.分析三角形:
分析与问题有关的三角形.
3.求解:
运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解.在解题中,要综合运用立体几何知识与平面几何知识,注意方程思想的运用.
2.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度,在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点,在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°,甲、乙两地相距500m,则电视塔的高度是( )
A.100m B.400m
C.200mD.500m
D [由题意画出示意图,设塔高AB=hm,在Rt△ABC中,由已知得BC=hm,在Rt△ABD中,由已知得BD=hm,在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD,得3h2=h2+5002+h·500,解得h=500(m).]
测量角度问题
【例3】 如图,甲船在A处遇险,在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的警报后,测得甲船是沿着北偏西15°的方向,以每小时9海里的速度向某岛靠近,如果乙船要在40分钟内追上甲船,则乙船应以多大速度,以何方位角航行?
(已知cos68°13′≈0.37)
[解] 设乙船速度为x海里/时,且乙船在40分钟后在点C处追上甲船,则BC=x=x(海里),
AC=×9=6(海里).
由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,即=102+62-2×10×6×cos(90°-15°+45°),∴x=21,BC=14.
由正弦定理得=,
∴sinB=sin120°≈0.37,
∴B≈21°47′.
答:
乙船应以每小时21海里的速度沿北偏东23°13′航行.
测量角度问题画示意图的基本步骤:
3.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距a海里,乙船正向北行驶,若甲船的速度是乙船速度的倍,问甲船应沿什么方向前进才能在最短时间内追上乙船?
此时乙船行驶了多少海里?
[解] 设甲船沿直线AC与乙船同时到达C点,则A,B,C三点构成△ABC,如图.设乙船速度为v海里/时,则甲船速度为v海里/时,用时为th.
由题意得BC=vt,AC=vt,∠ABC=120°.
由余弦定理知
AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos120°,
∴3v2t2=a2+v2t2+avt,
∴2v2t2-avt-a2=0,解得vt=-(舍去)或vt=a,
∴BC=a海里.
在△ABC中,AB=BC=a海里,∴∠BAC=∠ACB=30°.
故甲船应沿北偏东30°的方向前进才能在最短时间内追上乙船,此时乙船行驶了a海里.
求解速度问题
[探究问题]
1.某物流投递员沿一条大路前进,从A到B,方位角是50°,距离是4km,从B到C,方位角是80°,距离是8km,从C到D,方位角是150°,距离是6km,试画出示意图.
[提示] 如图所示:
2.在探究1中,若投递员想在半小时之内,沿小路直接从A点到C,则此人的速度至少是多少?
[提示] 如探究1图,在△ABC中,∠ABC=50°+(180°-80°)=150°,由余弦定理得AC==,则此人的最小速度为v==8(km/h).
3.在探究1中若投递员以24km/h的速度匀速沿大路从A到D前进,10分钟后某人以16km/h的速度沿小路直接由A到C追投递员,问在C点此人能否与投递员相遇?
[提示] 投递员到达C点的时间为t1==(小时)=30(分钟),追投递员的人所用时间由探究2可知t2=≈0.28小时=16.5分钟;由于30>16.5+10,所以此人在C点能与投递员相遇.
【例4】 如图所示,一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向),汽车开动的同时,在距汽车出发点O点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机.问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望,此时他驾驶摩托车行驶了多少公里?
[思路探究] 根据已知图形构造三角形,利用余弦定理建立速度与时间的函数求解.
[解] 作MI垂直公路所在直线于点I,则MI=3,∵OM=5,∴OI=4,∴cos∠MOI=.
设骑摩托车的人的速度为v公里/小时,追上汽车的时间为t小时,
由余弦定理得(vt)2=52+(50t)2-2×5×50t×,
即v2=-+2500=25+900≥900,
∴当t=时,v取得最小值为30,
∴其行驶距离为vt==(公里).
故骑摩托车的人至少以30公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望,此时他驾驶摩托车行驶了公里.
解决实际问题应注意的问题
1.首先明确题中所给各个角的含义,然后分析题意,分析已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键最主要的一步.
2.将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,要正确使用正、余弦定理解决问题.
4.一艘船上午9:
30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向上,且与它相距8海里,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:
00到达B处,此时测得灯塔S在它的北偏东75°的方向,则此船的航行速度为( )
A.8(+)海里/时B.8(-)海里/时
C.16(+)海里/时D.16(-)海里/时
D [如图,由题意得,在△SAB中,∠BAS=30°,∠SBA=180°-75°=105°,∠BSA=45°.
由正弦定理得=,
即=,得AB=8(-)海里,
因此该船的航行速度为=16(-)(海里/时).]
1.测量距离问题包括两种情况
(1)测量一个可到达点到另一个不可到达点之间的距离.
(2)测量两个不可到达点之间的距离.
第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角形的问题,用正弦定理即可解决(如图1);对于第二种情况,首先把求不可到达的两点A,B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形边长的问题,然后把BC,AC转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问题(如图2).
图1 图2
2.测量底部不可到达的建筑物的高度问题.由于底部不可到达,这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决,但常用正弦定理和余弦定理,计算出建筑物顶部到一个
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