数学及应用数学毕业论文1幂等矩阵的性质Word格式.docx
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数学及应用数学毕业论文1幂等矩阵的性质Word格式.docx
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theprojectionmatrix;
generalizedinversematrix
1引言
幂等矩阵是矩阵中非常特殊的一类矩阵,也是非常重要且
非常常见的一类矩阵,很多其他特殊矩阵都与幂等矩阵有着密切的联系,如对合矩阵及投影矩阵。
幂等矩阵在数学领域及其他许多领域的应用都非常广泛,幂等矩阵更是矩阵论中的一个基础部分,幂等矩阵在可对角化矩阵的分解中具有重要作用。
近年来有关此问题的研究吸引了国内外许多研究学者的关注,关于幂等矩阵的研究已经成为矩阵论中的活跃的研究领域。
幂等矩阵在研究广义逆矩阵中占有非常重要的地位,研究幂等矩阵的性质是研究其他特殊矩阵的基础。
广义逆的思想可追溯到
1903年(E.)i.弗雷德霍姆的工作,他讨论了关于积分算子的一种广义逆(他称之为伪逆)。
1904年,D.希尔伯特在广义格林函数的讨论中,含蓄地提出了微分算子的广义逆。
而任意矩阵的广义逆定义最早是由E.H.穆尔在1920年提出的,他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。
当时人们对此似乎很少注意。
这一概
念在以后30年中没有多大发展。
曾远荣在1933年,F.J.默里和
J.冯〃诺伊曼在1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆作过讨论。
T.N.E.格雷维尔、C.R.拉奥和其他人也作出了重要的贡献。
1955年,彭罗斯证明了存在唯一的满足前述性质①~④,并以此作为的定义。
1956年,R.拉多证明了彭罗斯定义的广义
逆与穆尔定义的广义逆是等价的,因此通称为穆尔-彭罗斯广义逆矩阵。
幂等矩阵是国内外学者都非常感兴趣的一类矩阵,如
文[1]中研究了幂等矩阵的可对角化性质,证明了幂等矩阵是可对角化的;
文[2]研究了幂等矩阵的伴随矩阵的幂等性等等。
本文在接下来的章节中,我们将先给出幂等矩阵的定义及几个简单命题,并证明之。
然后给出幂等矩阵的一系列性质,在前人的基础上进行总结以及推广,并进行证明。
再给出幂等矩阵的等价命题,并给出证明。
然后讨论幂等矩阵的线性组合的相关性质,再结合对合矩阵和投影矩阵及幂等矩阵分别于对合矩阵和投影矩阵的关系对幂等矩阵进行深入研究。
2幂等矩阵的概念定义2.1若有性质,则称为幂等矩阵.
为了更好地了解幂等矩阵,现在来看以下几个命题:
命题2.1若阶方阵是幂等矩阵,则与相似的任意阶方阵是幂等矩阵.
证明设(即矩阵与矩阵相似),则P
Cnn可逆,
s.tP
1APB,
且B2
P1AP
P1A2P,又,
.是幂等矩阵.
命题2.1也可以表述为:
若是幂等矩阵,则对于任意可逆阵,
也为幂等矩阵.
命题2.2若阶方阵是幂等矩阵,则的转臵,的伴随矩阵及都是幂等矩阵.
证明,即为幂等矩阵;
对,先证明对任意两个幂等矩阵,有关系式.
由公式有:
矩阵的第行第列的代数余子式
ij
1AB
n
1,2,
j1,j1,
n,
i1,i1,,n
k1
B1,2,
A1,2,,j
k1,k1,
1,j
*
1,
i
1,i
k1,k1,,n
1,,n
AjkBki
2
Bki
Ajk
BAi,j.
所以,A*A2
AA*A*A*
A*;
对,有EA
E22AA2
E2A
AEA.
命题2.3若是幂等矩阵,的次幂仍是幂等矩阵.
证明可用数学归纳法证明.当时,显然成立.
假设当时,命题成立,现考虑情形:
An12
A2n2
A2nA2
AnAn1.
A
即当时命题仍成立,由数学归纳法知,对任意命题都成立.
3幂等矩阵的性质
3.1幂等矩阵的主要性质
性质3.1.1矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵.
由和的定义可知命题成立.
性质3.1.2幂等矩阵满足:
.
证明AEA
EAA
AA2
AA0.
性质3.1.3若矩阵均为幂等矩阵,且,则与也是幂等矩阵.
证明AB2
ABAB
ABAB
AABB
A2B2
AB.
同理,也是幂等矩阵.
性质3.1.4若幂等矩阵可逆,则.
证明A2A,
AA1A2
A1AE.
性质3.1.5幂等矩阵的特征值只能为0或1.
证明设是幂等矩阵,即,再设的特征值为,则(由特征值的性质),故.
由这个性质可以知道幂等矩阵是半正定矩阵.
性质3.1.6幂等矩阵可对角化.
证明设是幂等矩阵,为的最小多项式,由性质3.1.5知:
或或,最小多项式是互素的一次因式的乘积,从而可对角
化.
另证明当(即)时,显然成立.
当时,的特征值全为0,1.的属于1的特征子空间的维数等于齐次线性方程组的解空间的维数.属于0的特征子空间的维数等于齐次线性方程组的解空间的维数.由幂等矩阵的性质有
nrEA
nrA
2nrEA
rA2nnn.
故可对角化,设,则由幂等矩阵的性质得,因此的相似标准型为.
性质3.1.7若是幂等矩阵,则,是可逆矩阵.
证明,
AaEA
a1E
A2A
aa1E
aa1E.
又,AaE
1A
aa1
a1EE.
故可逆,且AaE
a1E.
性质3.1.8幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩,即.
证明设分别为A的特征值及其相应的特征向量,于是有:
XAX
A2X
AX2X
从而有.由此可推得结果.
性质3.1.9若满足,则是幂等矩阵.
证明设的基础解系为(其实它们都是特征值0的特征向量),再设的基础解系为(它们都是特征值为1的特征向量),且,设矩阵
(可逆)T
1,2,
r,
r1,
n满足,而是幂等矩阵,故也是幂
等矩阵.
例3.1.1设都是幂等矩阵,且,证明:
是幂等矩阵.
证明由题意可知,且,于是:
ABAB
A2AB
AABBAB2
BAB
ABA
ABBAB
AAB
ABA
ABBABBBAAB
BABAB
ABAABAB
ABAB
例3.1.2设为阶幂等矩阵,且,.
证明
(1)若则或.
(2)若则或.
证明
(1),由题设知,则有
aAbB
a2A2
abAB
abBA
b2B2
a2A
2abAB
b2B.
对上式两边同乘于得:
aAB
bAB
移项得
a22abb2
ab1AB0.
从而有,即或.
同理可证
(2).
例3.1.3设是阶实对称阵,且,证明:
正交矩阵,
证明设是属于的特征向量,那么,
又,,从而,但,.
(由幂等矩阵的性质也可以得知),故的特征值不是0就是1.
故正交矩阵T,
s.tTAT
Er0
00
(可由特征向量构造,将
转化为标准型即为所求).
3.2幂等矩阵的等价命题
幂等矩阵的等价命题在实数域内与复数域内基本是一致的,
故在此只考虑幂等矩阵在实数域内的等价命题.
定理3.2.1以下命题等价:
(i);
(ii),;
(iii);
(iv);
(v),;
(vi),;
(vii),;
(viii);
(ix)非奇异矩阵,,其中.
证明(i)、(ii)、(iii)的等价性是易证的.
(i)(iv),由性质5知,的特征值只能为0或1,
即为对应特征值1的特征子空间.
(i)(v)“”.
故的列向量都满足.
从而,又,有:
A0AEAEA
ImEA.
由的任意性可知.
综上,.
“”对有E
AαImEA
Ker
A,即.
于是有
AEA
0AA20.
由的任意性得.
同理可证.
(i)(vi)若,即对某两个成立,
则,故.
同理可证后面一个式子.从而(iv)成立.
反之,若(vi)成立,则对任一,有
是的唯一分解.
但又有唯一分解,
又Ax
ImA,E
AxImEA.
于是对任何成立着,从而.
(vi)(vii)注意到对任何成立,
故总有,故(vi)与(vii)等价.
(vii)(viii)总是成立的.由维数公式知
dimAEA
dimA
dimEAn.
由性质3.1.8可知,若,则.
另外,利用矩阵的满秩分解,
我们可以具体的找出(ix)中的变换阵.
设,均为满秩分解,则有,
且均为方阵.从而.
由此可知,,,.
于是可证明.
从此式还可以看出,与的列向量分别是的属于特征值1与0的特征向量.最后,矩阵的满秩分解可用来判定幂等性:
若是满秩分解,则当且仅当.另一方面,常用此特殊性来构造幂等矩阵.下面给出几个构造幂等矩阵的定理:
定理3.2.2设非零列向量,则阶矩阵为幂等矩阵
T22
12
n1.
证明“”,E
TETE
T,即
E2T
TTET,
从而,因为,,
因此,T22
“”12
T
AE2
n1,
E
TT
TA.
推论3.2.1令,其中:
为非零列向量.若T22
21,
则阶方阵不可逆.
证明设可逆,则由幂等矩阵的性质可知,当时,由定理3.2.2可知为幂等矩阵,即,但,所以,得,
与矛盾,所以不可逆.
定理3.2.3若和是同阶幂等矩阵,则
为幂等矩阵.
证明AB
BAB2
BA,
AB为幂等矩阵
ABBA0.
定理3.2.4若和是同阶幂等矩阵,且,则为幂等矩阵.
证明由题意可得
ABABAB
AABB
AB,即为幂等矩阵.
定理3.2.5若为幂等矩阵,且,则不可逆.
证明设,则有.若可逆,则,
在的两边同时乘以,得,即.矛盾,故不可逆.
定理3.2.6若是幂等矩阵,且,则矩阵方程有非零解.
证明由定理3.2.5可知,不可逆,即.
故矩阵方程有非零解.
定理3.2.7若和是同阶幂等矩阵,则
证明“”是幂等矩阵,
ABABA2
ABBAB2
将两边分别左乘和右乘得:
即.(3.2.1)
即.(3.2.2)
两式相减可得,从而.
“”AB2
ABBB
AB.
3.3幂等矩阵线性组合的可逆性
在本节中,我们讨论两幂等矩阵线性组合的可逆性.
引理3.3.1设矩阵是阶方阵,则可逆.
定理3.3.1设矩阵均是幂等矩阵,即.若存在两个非零复数,且使得可逆,则对所有的复数,满足,则线性组合都是可逆的.
证明设c,d
C,c
0,d
0,且cd0.
对,有.
于是.(3.3.1)
将上式两边依次左乘,可得:
cAx
dABx,
cBAx
dBx.(3.3.2)
由(3.3.1)、(3.3.2)可得
.(3.3.3)
又aA
bB2
b2B2,
aAbBx
a2Ax
abABx
abBAx
b2Bx.
将代入上式可得
a2Ax
b2Bx
aabAx
babBx
abaA
bBx.
由于可逆,将上式两边同时左乘得
abx
aAx
bBx.(3.3.4)
再左乘得:
即.代入可得
cdAx0
Ax0
aABx.
注意到(3.3.3)式有,因此由(3.3.4)式可得
0,但ab0
x0.
因此.由引理1知是可逆的.
在定理3.3.1中令,立即可以得到:
推论3.3.1设矩阵均是幂等矩阵,即.若可逆,
则,满足,线性组合都是可逆的.
定理3.3.2设矩阵均是幂等矩阵,,下列命题等价:
⑴可逆.
⑵及是可逆的.
证明
(1)
(2)对
由定理1的证明过程知.
从而
ABxA2
ABBA
B2x
A2x
ABx
BAx
B2x0
又可逆,所以.即.
由引理3.3.1知可逆.同样地,
对EABx0
xABx.
两边同时左乘,得
AxABxx
Bx.
所以ABx
AxABx
BAxBx0.
又可逆,所以.所以.
由引理3.3.1知可逆.
(2)
(1)对,有
从而有.
所以aA
bBE
ABx
aAB
bBAxB
又及是可逆的.知.
由引理3.3.1知可逆.定理证毕.
在定理3.3.2中令,立即可以得到:
推论3.3.2设矩阵均是幂等矩阵,下列两个命题等价:
⑵及可逆.
4.1幂等矩阵与对合矩阵
4.1.1对合矩阵
定义4.1.1.1若矩阵满足,则称为对合矩阵.
对合矩阵和幂等矩阵是密切相关的,它们的性质也非常相似,这里就不在一一举出了,先举出几个主要性质并进行证明:
性质4.1.1.1若是对合矩阵,则,反之,也成立.
证明由是对合矩阵可知,故
AEAE0
AEAE0.
由秩的性质可知.
又,.
综上.
反过来,即可证明当时,是对合矩阵.
性质4.1.1.2对合矩阵的特征值为1或-1.
证明类似于幂等矩阵,设为对合矩阵的特征值,
由于满足,故满足.
性质4.1.1.3是对合矩阵,则一定与对角矩阵相似.
证明当时,本身已经是对角矩阵.
当时,的特征值为1或-1.的属于1的特征子空间的维数等于齐次线性方程组的解空间的维数;
的属于-1的特征子空间的维数等于齐次线性方程组的解空间的维数,由性质4.1.1.1得
nrEA
rEA
2nnn.
因此可以对角化.设,由性质4.1.1得.
因此的相似标准型为.
4.1.2幂等矩阵与对合矩阵的关系
命题4.1.2.1设是n阶矩阵,则以下两个命题等价:
(1)若,则是幂等矩阵;
(2)若,则是对合矩阵.
证明
(1)
(2),
可变形为.
由
(1)有是幂等矩阵,而,
即是对合矩阵.
同理可证
(2)
(1).原命题得证.
命题4.1.2.2矩阵和都是对合矩阵,则幂等矩阵.
证明1EA2
1E2
2AA2
1E2AE4
1EA.
1EB2
2BB2
1E2BE4
1EB.
即都是幂等矩阵,原命题得证.
命题4.1.2.3矩阵是幂等矩阵,则都是对合矩阵.
证明2AE2
4A2
4AE2
4A4AEE.
即都是对合矩阵,原命题得证.
命题4.1.2.4矩阵是对合矩阵,则是幂等矩阵.
证明是对合矩阵,
2AE
E4A2
4AE2.
即是幂等矩阵.
4.2幂等矩阵与投影矩阵
4.2.1投影矩阵
投影矩阵是研究广义逆矩阵和最小二乘问题的重要方法与手段.
定义4.2.1.1设矩阵,任意矩阵,若满足:
(1);
(2);
(3);
(4)
中的一个或者几个条件,都称为的广义逆矩阵.上面四个方程称为Moore-Penrose方程.
向量空间可以分解成子空间与的直和,即,则中任意的向量可以唯一的分解成,其中,则称为向量沿着到的投影,而称中满足的变换为沿着到的投影算子或投影变换.投影算子在的基下的矩阵称为投影矩阵,记为.投影矩阵与幂等矩阵是一一对应的.投影矩阵的种类有很多,在文[7]中有细致的讨论,如斜投影矩阵,正交投影矩阵,加权正交投影矩阵等,我们在这里只讨论特殊的正交投影矩阵与幂等矩阵的关系.
4.2.2幂等矩阵与正交投影矩阵的关系引理4.2.2.1对任意矩阵有:
(1)与广义逆矩阵的选择无关;
(2),.
证明
(1)因为,故存在矩阵,,
于是A
A*AA*
X*A*A
A*A
A*AX
X*A*AX
右端与选择无关.
(2)记,可直接证明,于是.
类似的,可以证明第二式.
定理4.2.2.1设为任一矩阵,记为向的正交投影阵,则.
证明由以上引理4.2.2.1可知,所含的广义逆的
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