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C.1011 

D.1013

D

设最左边的数字为n，则比n小的数字n-1,n-2,…,2,1,0每个只能在n的右边至多出现一次.可是，以n为最左边数字的递降正整数的个数等于集合{n,n-1,…,2,1,0}的非空子

集合个数2n-1.但n=1,2,…,9,故递降正整数共有

=（210-2）-9=1013（个）.

-----第3题----

设M是集合S={1,2,3,…,1999}的子集，且M中每一个正整数（元素）仅含一个0，则集合M所含元素最多有（ 

A.243个 

B.324个 

C.414个 

D.495个

为了清楚起见，可将集合S中的正整数（元素）按其位数划分为如下四个子集：

S1={1,2,3,…,9},

S2={10,11,12,…,99},

S3={100,101,102,…,999},

S4={1000,1001,1002,…,1999}.

显然，S1中每个元素都不含0；

在S2中，仅个位数为0的元素有9个，则共有9个；

在S3中，仅个位或十数为0的元素各有92个，则共有162个；

在S4中，仅个位或十位或百位数为0的元素各有92个，则共有3×

92=243个.

根据分类原理，集合M中所含元素最多有414个.

-----第4题----

某公共汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有（ 

A.510种 

B.105种 

C.50种 

D.以上都不对

A

要完成这件事可分10步，即10名乘客分别选一个车站下车，由于每个乘客都有5个车站进行选择，由分步计数原理知，乘客下车的可能方式有

N=

-----第5题----

若x∈｛1,2,3｝,y∈｛5,7,9｝，则x·

y的不同值有（ 

A.2个 

B.6个 

C.9个 

D.3个

共有3×

3=9个不同值，故选C.

-----第6题----

将5名大学毕业生全部分配给3所不同的学校，不同的分配方式的种数有（ 

A.8 

B.15 

C.125 

D.243

每名大学生有3种不同的分配方式，所以共有35种不同的分配方式.故选D.

-----第7题----

从0，3，4，5，7中任取三个数分别作为一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项，则可做出的不同方程的个数是（ 

A.10 

B.24 

D.60

B

由于二次项系数不能为0，故只能从3，4，5，7中任选一个，其他两个系数没有限制，故共可做出

·

=48（个）不同的方程.

-----第8题----

6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ 

A.720种 

B.360种 

C.240种 

D.120种

因甲、乙两个要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人进行全排列有

种排法，但甲、乙两人之间有

种排法，由乘法原理可知，共有

=240种不同排法.选C

-----第9题----

有8本不同的书，其中科技书3本，文艺书2本，其他书3本.将这些书竖排在书架上，则科技书连在一起，文艺书也连在一起的不同排法种数与这8本书的不同排法种数之比为（ 

A.1∶14 

B.1∶28 

C.1∶140 

D.1∶336

选B.

-----第10题----

有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（ 

A.234 

B.346 

C.350 

D.363

直接法，分三类：

1）两人坐前排，按要求有4×

4×

+6×

=44种坐法；

2）两人坐后排，按要求有

=110种坐法；

3）两人分别坐在前、后排，有2×

8×

12=192种坐法.

∴共有44+110+192=346种排法，选B.

-----第11题----

A、B、C、D、E五个站成一排，如果B必须在A的右边（A、B可以不相邻），那么不同排法有（ 

A.24种 

B.60种 

C.90种 

由于B在A的左边和右边排法数相同，故共有

=60种排法，故选B.

-----第12题----

C.240种 

先把甲、乙两人“捆绑”在一起看成一个人，因而有

种不同排法，再把两人“松绑”，两人之间有

种排法，因此所求不同排法总数为

=240种.

填空题每题0分----总计：

某学生去书店，发现三本好书，决定至少买其中一本，则该生的购书方案有______种.

解析:

“至多”,“至少”问题往往需要分类，在三本好书中至少买一本，可分为三类：

恰买一本，有3种方法；

恰买2本，有3种方法，恰买3本，有1种方法，从而共有3+3+1=7种方法.

有不同颜色的上衣5件，裤子3条，从中选一样送给某人，共有___________种不同的选法.

从5件上衣，3条裤子中任选一件，共有5+3=8种不同的选法.

直线l上有7个点，直线m上有8个点，若这些点都不重合，则通过这些点中的两点最多有______________条直线，若m与l上有两点重合，最少有______________条直线.

如图

（1），l上的点与m上的点互不重合，经过这些点的直线包含：

（ⅰ）经过l上一点与m上一点的直线，共7×

8=56条；

（ⅱ）l与m，共2条，因此最多共有58条直线.如图

（2），不妨设A1、B1重合（∵l与m不重合，∴l与m上的点至多有一对点重合），这时，经过这些点的直线共有6×

7+2=44条，这是最少的情形.

（1） 

（2）

58，44

有4封不同的信投入3个不同的邮筒，可有___________种不同的投入方法.

由分步计数原理，共有N=3×

3×

3=34=81种方法.

有三张卡片的正反两面分别写有数字1和2，4和5，7和8，将它们并排组成三位数，不同的三位数的个数是__________________.

分两步：

第一步先从每张卡片中各选一数字，第二步把这三个数字全排列，故可组成的不同的三位数有23·

=48（个），故填48.

解答题每题0分----总计：

某仪表显示屏上有四个可显示数字的小窗.每个小窗可显示数字“0”或“1”.

（1）这个显示屏共能显示出几种由四个数字组成的信号.

（2）将题目中的“四”改为“n”，其结论又如何.

分析：

由于“四”数字比较小，可采用枚举法，一一写出来.

显示信号是

0,0,0,0;

0,0,0,1;

0,0,1,0;

0,0,1,1;

0,1,0,0;

0,1,0,1;

0,1,1,0;

0,1,1,1;

1,0,0,0;

1,0,0,1;

1,0,1,0;

1,0,1,1;

1,1,0,0;

1,1,0,1;

1,1,1,0;

1,1,1,1;

共计16种.

如果从“第一个数显示”，“第二个数显示”，“第三个数显示”，“第四个数显示”的阶段来看，则可用乘法计数.容易看出：

每阶段显出数字的方法数都是2.因此共有24=16种信号，按这种考虑，不难看出：

把“四”换成“n”后，共能显示出2n种信号.

一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9这10个数字，4个拨号盘各取1个数字可以组成多少个不同的四位数字号码?

要组成一个四位数字号码可分为4步，每个拨号盘上的数字都有从0到9十种取法，由分步乘法计数原理，4个拨号盘上各取1个数字组成的四位数字号码的个数是N=10×

10×

10=10000即可以组成10000个四位数字号码.

（1）5名学生争夺3项比赛冠军，获得冠军的可能情况种数共有多少?

（2）数、理、化三科教师都布置了作业，求在同一时刻5名学生都做作业的所有可能情况的种数.

（1）完成这件事情（决定三个冠军），需要分三步，每一项冠军都可以由5个人中的一人得到，故共有5×

5×

5=125（种）.

（2）完成这件事情（5名学生同时做作业），需要分步，即每个学生做作业均有3种情况，所以5名学生同时做作业的情况共有3×

3=243（种）.

要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上白班和晚班，有多少种不同的选法?

从3名工人中选1名上白班和1名上晚班，可以分成先选1名上白班，再选1名上晚班这两个步骤完成.先选1名上白班，共有3种选法；

上白班的人选定后，上晚班的工人有2种选法.根据分步计数原理，所求的不同的选法数是3×

2=6（种）.

某同学有若干本课外参考书，其中外语5本，数学6本，物理2本，化学3本，他欲带参考书到图书馆看书.

（1）若从这些参考书中带一本去图书馆，有多少种不同的带法?

（2）若外语、数学、物理和化学参考书各带一本，有多少种不同的带法?

（3）若从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法?

思路分析：

（1）中“带一本参考书”应运用加法原理；

（2）中“各带一本参考书”应运用乘法原理；

（3）中“第2本不同学科的书”应分情况讨论，具有综合性.

（1）要完成的事是“带一本参考书”，由于无论带哪一学科的书都完成了这件事，因此是分类问题，应用加法原理得5+6+2+3=16（种）不同的带法.

（2）要完成的事是“外语、数学、物理和化学各带一本”.因此，选一个学科中的一本书只完成了这件事的一部分，只有几个学科的书都选定了之后，才完成这件事，因此是分步计数问题，应用乘法原理，有5×

6×

2×

3=180（种）不同的带法.

（3）要完成的事是“带2本不同学科的书”，因此要分情况考虑，即先考虑是带哪两个学科的书，如带外语、数学各一本，则选一本外语书或选一本数学书都只完成了这一件事的一部分，因此要用乘法原理，即有5×

6=30种选法.同样地，外语、物理各选一本，有5×

2=10种选法.选外语、化学各一本有5×

3=15种选法……，从而上述每种选法都完成了这件事.因此这些选法种数之间还应用加法原理，共有5×

6＋5×

2+5×

3+6×

2+6×

3+2×

3=91（种）.

从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法?

从甲、乙、丙3名同学中任选2名分别参加上午、下午的活动，对应于从3个元素中任取2个元素的一个排列，因此共有

=3×

2=6种不同的方法.

用0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字的六位数?

解法一：

从特殊元素入手，0只能放在除十万位外的其他五个数位上，故共组成

=4320个没有重复数字的六位数.

解法二：

从特殊位置入手，十万位不能排0，可先从其他6个数字中选出一个数字排到该位上，其他位置可随意排列，故共组成

=4320（个）没有重复数字的六位数.

解法三：

用排除法：

先不考虑任何限制条件，共组成

个六位数，但需去掉0在十万位上的情形，有

种，故共有

-

5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的选法?

不同选法的种数有

=5×

3=60（种）.

某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号?

用1面旗表示的信号有

种，用2面旗表示的信号有

种，用3面旗表示的信号有

种，根据分类计数原理，所求的信号数是

+

=3+3×

2+3×

1=15（种）.

要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法（只要求写出式子，不必计算）?

先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为

种，这6个歌唱节目的空隙及两端共七个位置中再排4个舞蹈节目有

种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为

种.

写出下面问题中所有可能的排列.

从1，2，3，4四个数字中任取三个数字组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？

123、124、132、134、142、143、213、214、231、234、241、243、312、314、321、324、341、342、412、413、421、423、431、432共24个.