《数学奥林匹克专题讲座》第15讲 离散最值问题.docx
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《数学奥林匹克专题讲座》第15讲离散最值问题
第15讲离散最值问题
在国内外数学竞赛中,常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题,我们称之为离散最值问题。
解决这类非常规问题,尚无统一的方法,对不同的题目要用不同的策略和方法,就具体的题目而言,大致可从以下几个方面着手:
1.着眼于极端情形;
2.分析推理——确定最值;
3.枚举比较——确定最值;
4.估计并构造。
例1一把钥匙只能开一把锁,现在有4把钥匙4把锁,但不知哪把钥匙开哪把锁,最少试多少次,就一定能使全部的钥匙和锁相匹配?
解:
开第1把锁,若不凑巧,试3把钥匙还没有成功,则第4把不用再试了,它一定能打开这把锁。
同理,开第2把锁最多试2次,开第3把锁最多试1次,最后剩下的1把钥匙一定能打开剩下的第4把锁,而用不着再试。
这样最多要试的次数为
3+2+1=6(次)。
说明:
在“最凑巧”的情况下,只需试3次就可使全部的钥匙和锁相匹配。
本题中要求满足任何情况,所以应从“最不凑巧”的情况考虑问题。
例2一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个,这些小球的大小均相同,红色小球上标有数字“4”,黄色小球上标有数字“5”,绿色小球上标有数字“6”。
小明从袋中摸出8个球,它们的数字和是39,其中最多可能有多少个球是红色的?
解:
假设摸出的8个球全是红球,则数字之和为(4×8=)32,与实际的和39相差7,这是因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故。
用一个绿球换一个红球,数字和可增加(6-4=)2,用一个黄球换一个红球,数字和可增加(5-4=)1。
为了使红球尽可能地多,应该多用绿球换红球,现在7÷2=3……1,因此可用3个绿球换红球,再用一个黄球换红球,这样8个球的数字之和正好等于39。
所以要使8个球的数字之和为39,其中最多可能有(8-3-1=)4个是红球。
例3红星小学的礼堂里共有座位24排,每排有30个座位,全校650个同学坐到礼堂里开会,至少有多少排座位上坐的学生人数同样多?
解:
从极端情形考虑,假设24排座位上坐的人数都不一样多,那么最多能坐
假设只有2排座位上坐的学生人数同样多,那么,最多能坐
假设只有3排座位上坐的学生人数同样多,那么,最多能坐
而题中说全校共有学生650人,因此必定还有(650-636=)14人要坐在这24排中的某些排座位上,所以其中至少有4排座位上坐的学生人数同样多。
说明:
(1)若问最多有多少排座位上坐的学生人数同样多,你会解吗?
这个问题留给读者研究。
(2)从极端情形入手,着眼于极端情形,是求解最值问题的有效手段。
如例1中从最不凑巧的情形看,用n把钥匙开1把锁要开n次才能打开,例2从摸出的8个球全是红球这种极端情形入手,再进行逐步调整。
解:
本题实质上是确定n的最小值,利用被11整除的数的特征知:
一个数能被11整除,当且仅当该数的偶位数字的和与奇位数字的和之差能被11整除。
该数的偶位数字之和为18n+2,奇位数字之和为10n+5。
两者之差为
18n+2-(10n+5)=8n-3。
要使(8n-3)为11的倍数,不难看出最小的n=10,故所求最小数为
说明:
本题采用分析、推理的方法来确定最值,这也是解离散最值问题的一种常用方法。
×EFG的最大值与最小值相差多少?
解:
由右式知,A=1,D+G=3或13,由于A,D,G为不同数字,故D+G≠3,因此D+G=13;C+F=8或18,但C≠F,故只有C+F=8,
数,为使数字不重复,只有取E=7(B=2),F=5(C=3),G=9(D=4),
E=2(B=7),F=3(C=5),G=4(D=9),即当
1234×759-1759×234
=1234×(234+525)-(1234+525)×234
=(1234—234)×525=525000。
例6某公共汽车从起点开往终点站,中途共有13个停车站。
如果这辆公共汽车从起点站开出,除终点站外,每一站上车的乘客中,正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站,那么为了使每位乘客都有座位,这辆公共汽车至少应有多少个座位?
解法1:
只需求车上最多有多少人。
依题意列表如下:
由上表可见,车上最多有56人,这就是说至少应有56个座位。
说明:
本题问句出现了“至少”二字是就座位而言的,座位最少有多少,取决于什么时候车上人数最多,要保证乘客中每人都有座位,应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数。
所以,我们不能只看表面现象,误认为有了“至少”就是求最小数,而应该把题意分析清楚后再作判断。
解法2:
因为车从某一站开出时,以前各站都有同样多的人数到以后各站(每站1人),这一人数也和本站上车的人数一样多,因此
车开出时人数=(以前的站数+1)×以后站数
=站号×(15-站号)。
因此只要比较下列数的大小:
1×14,2×13,3×12,4×11,5×10,
6×9,7×8,8×7,9×6,10×5,
11×4,12×3,13×2,14×1。
由这些数,得知7×8和8×7是最大值,也就是车上乘客最多时的人数是56人,所以它应有56个座位。
说明:
此题的两种解法都是采用的枚举法,枚举法是求解离散最值问题的基本方法。
这种方法的大意是:
将问题所涉及的对象一一列出,逐一比较从中找出最值;或者将与问题相关的各种情况逐一考察,最后归纳出需要的结论。
例7在10,9,8,7,6,5,4,3,2,1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号,组成一个算式。
要求:
(1)算式的结果等于37;
(2)这个算式中的所有减数(前面添了减号的数)的乘积尽可能地大。
那么,这些减数的最大乘积是多少?
解:
把10个数都添上加号,它们的和是55,如果把其中一个数的前面的加号换成减号,使这个数成为减数,那么和数将要减少这个数的2倍。
因为55-37=18,所以我们变成减数的这些数之和是18÷2=9。
对于大于2的数来说,两数之和总是比两数乘积小,为了使这些减数的乘积尽可能大,减数越多越好(不包括1)。
9最多可拆成三数之和2+3+4=9,因此这些减数的最大乘积是2×3×4=24,添上加、减号的算式是
10+9+8+7+6+5-4-3-2+1=37。
例8设a1,a2,a3,a4,a5,a6是1到9中任意6个不同的正整数,并且a1<a2<a3<a4<a5<a6。
试用这6个数分别组成2个三位数,使它们的乘积最大。
分析与解:
由于a1,…,a6具体大小不清楚,因此先取特殊数1,2,3,4,5,6这6个不同的数考虑。
要使2个三位数的乘积最大,必须使这2个数的百位数最大,应分别是6,5;而十位数次大,应分别为4,3,个位数最小,应分别为2,1。
因为当2个数之和一定时,这2个数之差越小,它们的乘积越大,所以这2个数是631和542。
例98个互不相同的自然数的总和是56,如果去掉最大的数及最小的数,那么剩下的数的总和是44。
问:
剩下的数中,最小的数是多少?
解:
因为最大数与最小数的和是56-44=12,所以最大数不会超过11。
去掉最大和最小数后剩下的6个互不相同的自然数在2~10之间,且总和为44,这6个数只能是4,6,7,8,9,10。
例10采石场采出了200块花岗石料,其中有120块各重7吨,其余的每块各重9吨,每节火车车皮至多载重40吨,为了运出这批石料,至少需要多少节车皮?
解:
每节车皮所装石料不能超出5块,故车皮数不能少于200÷5=40(节),而40节车皮可按如下办法分装石料:
每节装运3块7吨的和两块9吨的石料,故知40节可以满足要求。
例11用若干个形如图1的图形盖住一个尺寸为6×12的矩形(允许图形伸出矩形之外)。
问:
至少需要多少个形如图1的图形?
并说明理由。
解:
将图1去掉1个小方格,可得图2,用2个图2可以盖住3×6的矩形,推知用8个图2可以盖住6×12的矩形,从而用8个图1也能盖住6×12的矩形。
6×12的矩形有72个方格,而7个图1共有7×10=70(个)方格,7个图1盖不住6×12的矩形,所以至少需要8个。
例12把1,2,3,…,12填在左下图的12个圆圈里,然后将任意两个相邻的数相加,得到一些和,要使这些和都不超过整数n,n至少是多少?
为什么?
并请你设计一种填法,满足你的结论。
解:
因为1+2+3+…+12=78,78×2÷12=13,所以n≥13。
又考虑到与12相邻的数最小是1和2,所以n至少是14。
右上图是一种满足要求的填法。
说明:
“估计+构造”是解离散最值问题的一种常用方法,要求某个离散最值,先估计该量的上界或下界,然后构造出一个实例说明此上界或下界能够达到,这样便求出了这个量的最大值或最小值。
练习15
1.一排有50个座位,其中有些座位已经有人,若新来一个人,他无论坐在何处,都有一个人与他相邻,则原来至少有多少人就座?
最大值是多少?
3.有一个正整数的平方,它的最后三位数字相同但不为零,试求满足上述条件的最小正整数。
4.命题委员会为5~10年级准备数学奥林匹克试题,每个年级各7道题,而且都恰有4道题跟任何其它年级不同。
试问,其中最多可以有多少道不同的试题(指各个年级加在一起)?
5.如果10个互不相同的两位奇数之和等于898,那么这10个奇数中最小的一个是多少?
6.某城市设立1999个车站,并打算设立若干条公共汽车线路。
要求:
(1)从任何一站上车,至多换一次车就可以到达城市的任一站;
(2)每一个车站,至多是两条线路的公共站。
问:
这个城市最多可以开辟多少条公共汽车线路?
7.23个不同的自然数的和是4845。
问:
这23个数的最大公约数可能达到的最大的值是多少?
写出你的结论,并说明理由。
8.两个偶数的倒数之和与两个奇数的倒数之和相等,这样的偶数对和奇数对要求是不同的偶数和奇数。
问:
满足这个条件的偶数对的两个偶数之和的最小值是多少?
练习15
1.17人。
解:
只要两个人之间空的座位不多于2个,便可满足题设条件。
50÷3=16……2,所以原来至少有16+1=17(人)就座。
之值最大,可知a-b=1,从而a+b之值要尽可能大,据此a=100,b=99,所
3.1444。
解:
平方数末位只能为0,1,4,5,6,9。
因为111,444,555,666,999均非平方数,而1000,1111也不是平方数,但1444=382,故满足题设条件的最小正整数是1444。
4.33道。
解:
显然,当每道题至多为两个年级所公用时,题目的数量达到最多,此时不同的试题共有
4×6+(3×6)÷2=33(道)。
例如,每个年级的第4~7题均与其他年级不同,而第1~3题,5,6年级相同,7,8年级相同,9,10年级相同,此时恰有33道不同的试题。
5.79。
解:
9个不同的最大的两位奇数99,97,95,93,91,89,87,85,83的和是819,898-819=79,所以10个奇数中最小的是79。
6.63条。
解:
设这个城市设立了n条公共汽车线路。
由
(1)
(2)可知,任何两条线路必有公共的车站,所以每条线路至少有(n-1)个车站。
n条线路至少有n(n-1)个车站。
由于每一个车站都有可能是两条线路的公共车站
个车站,于是有
满足上述不等式的最大整数是n=63。
也就是说这个城市最多可以开辟63条公共汽车线路。
7.17。
解:
设这23个彼此不同的自然数为
a1,a2,…,a22,a23,
并且它们的最大公约数是d,则
a1=db1,a2=db2,…,a22=db22,a23=db23。
依题意,有
4845=a1+a2+…+a22+a23
=d(b1+b2+…+b22+b23)。
因为b1,b2,…,b22,b23也是彼此不等的自然数,所以
b1+b2+…+b23≥1+2+…+23=276。
因为4845=d(b1+b2+…+b22+b23)≥276×d,所以
又因为4845=19×17×15,因此d的最大值可能是17。
当a1=17,a2=17×2,a3=17×3,…,a21=17×21,a22=17×22,a23=17×32时,得
a1+a2+…+a22+a23
=17×(1+2+…+22)+17×32
=17×253+17×32=17×285=4845。
而(a1,a2,…,a22,a23)=17。
所以d的最大值等于17。
8.16。
解:
我们先证明这样的两个偶数之和必为4的倍数。
因为两个奇数的倒数之和为
另一方面,两个偶数的倒数之和为
“偶+偶”是8的倍数。
不合条件;
当两偶数和为16时,有
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