建筑制图基础IP课稿本第3讲点直线和平面的投影二Word文档下载推荐.docx

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这三种平行线的投影图如表3-1所示。

投影面平行线表3-1

名称

水平线（∥H）

正平线（∥V）

侧平线（∥W）

立

体

图

投

影

下面以表3-1中水平线为例，进一步说明其投影特性。

由于水平线平行于H面，所以水平线上的所有点均与H面距离相等（即坐标相等）。

因此，它的V、W两面投影分别平行于相应的投影轴，即a′b′∥OX，a″b″∥OYW。

水平线的H投影反映线段的实长，即ab=AB，且ab与OX轴的夹角反映该直线对V面的倾角β，与OYW轴的夹角反映该直线对W面的倾角γ。

正平线和侧平线有类似的投影特性。

3.投影特性：

（1）直线在所平行的投影面上的投影反映实长，此投影与投影轴的夹角反映直

线与另两个投影面的夹角实形；

（2）直线在另两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，但不反映实长。

4.平行线空间位置的判别：

一斜两直线，定是平行线；

斜线在哪面，平行哪个面。

【例3-6】已知直线AB的水平投影ab，并知AB对H面的倾角为30°

，A点距水平投影面H为5mm，A点在B点的左下方，求AB的正面投影a′b′（图3-13a）。

分析：

由AB的水平投影ab可知AB是正平线；

正平线的正面投影与OX轴的夹角反映直线与H面的倾角。

又知点到水平投影面H的距离等于正面投影到OX轴的距离，为此，可以求出a′。

作图：

（a）已知条件（b）过a作OX轴的垂直线（c）过a′作与OX轴成

aax，在aax的延长线上30°

的直线，与过b作

截取a′ax=5mmOX轴垂线bbx的延长线相交，因点A在点B的左下方，得b′。

图3-13求正平线的一投影

3.2.2.2投影面垂直线

1.定义：

指垂直于一个投影面，而平行于另外两个投影面的直线。

2.分类及投影图：

投影面垂直线可分为：

正垂线、铅垂线、侧垂线。

这三种垂直线的投影图如表3-2所示。

投影面垂直线表3-2

铅垂线（⊥H）

正垂线（⊥V）

侧垂线（⊥W）

下面以表3-2中铅垂线为例，进一步说明其投影特性。

铅垂线垂直于H面，所以铅垂线AB在H面上的投影为一点a（b），有积聚性，这是识别铅垂线的投影特征。

铅垂线平行于OZ轴，因此它的V、W两面投影均平行于OZ轴，而它的V投影垂直于OX轴，W投影垂直于OYW轴，即a′b′⊥OX，a″b″⊥OYW；

铅垂线平行于V、W两投影面，所以它的V、W两投影均反映线段的实长。

正垂线和侧垂线有类似的投影特性。

（1）直线在其所垂直的投影面上的投影积聚为一点；

（2）直线在另两个投影面上的投影，垂直于相应的投影轴，且反映线段的实长。

4.垂直线空间位置的判别：

一点两直线，定是垂直线；

点在哪个面，垂直哪个面。

3.2.2.3一般位置直线

与三个投影面均倾斜的直线，称为一般位置线。

2.投影图：

一般位置线在H、V、W三个投影面上的投影如图3-14所示。

图3-14一般位置直线

（1）直线的三个投影均倾斜于投影轴；

（2）直线的三个投影与投影轴的夹角，均不反映直线与任何投影面的倾角，α、β和γ均为锐角；

（3）各投影的长度小于直线的实长。

4.一般位置线的判别：

三个投影三个斜，定是一般位置线。

3.2.3一般位置直线的实长和倾角

如上所述，投影面平行线、投影面垂直线在某一投影面上的投影总能反映空间直线段的实长及其与投影面的真实倾角，但一般位置直线在各投影面上的投影即不能反映线段的实长，也不能反映直线与投影面的倾角。

在实际应用中，经常需要按照投影求出直线与投影面的倾角及线段的实长。

通常将这种方法称为直角三角形法。

3.2.3.1求直线段对H面的倾角α及实长

分析图3-15（a）可知，直线AB与其水平投影ab决定的平面ABba垂直于H面，在该平面内过B点作ab的平行线交Aa于Ao，则构成一直角ΔAA0B。

在直角ΔAA0B中，直角边A0B为水平投影ab之长，另一直角边AA0则为A、B两点到H面的距离差（z坐标差）；

斜边AB与直角边BA0夹角即为直线AB对H面的倾角α；

斜边AB即为其实长。

因此，只要求出直角ΔAA0B.的实形，即可求得AB对H面的倾角α及其实长。

在投影图3-15（b）中，AB的水平投影ab已知，A、B两点到H面的距离之差，可由其正面投影求得，由此即可作出直角ΔAA0B.的实形。

图3-15（a）立体图图3-15（b）投影图

作图方法一（见图3-15（c））

（1）求A、B两点到H面的距离

（2）以ab为直角边，a′a′1为另一直

之差：

过b′作OX轴的平行线与aa′角边，作直角三角形：

过a作ab的

交于a′1，则a′a′1等于A、B两点到垂线在该垂线上截取aA0=a′a′1，连

H面的距离之差；

接bA0，则∠A0ba即为AB对H面的

倾角α，A0b=AB（T.L）。

图3-15（c）作图方法一

作图方法二（见图3-15（d））

（1）过b′作OX轴的平行线与aa′交

（2）在b′a′1的延长线上截取a′1B0=ab，于a′1，则a′a′1即为A、B两点到H并连接a′、B0，则∠a′1B0a′即为AB对的距离之差；

H面面的倾角α，a′B0=AB（T.L）。

图3-15（d）作图方法二

显然，图3-15（c）中的直角ΔA0ba和图3-15（d）中的直角ΔB0a′1a′及图3-13（a）所示的直角ΔAA0B是全等直角三角形。

3.2.3.2求直线段对V面的倾角β及实长

此问题的求解，同学们可结合上述分析方法和教材，总结求解直线段对V面的倾角β及实长的作图方法，在此不作讲解。

【例3-7】如图3-16（a）所示，已知直线AB的水平投影ab和点A的正面投影a′，并知AB对H面的倾角α=30°

，点B在点A之上，求AB的正面投影a′b′。

图3-16（a）已知条件

由于已知点A的正面投影a′，所以只要求出A、B两点到H面的距离之差ZB–ZA，即可确定b′。

由上述直角三角形法的原理可知，以ab为一直角边，作一锐角为30°

的直角三角形，则30°

角所对的直角边，即为A、B两点到H面的距离之差ZB–ZA。

作图方法一（见图3-16（b））

（1）以ab为一直角边，作

（2）过b作OX轴的垂线，（3）连接a′、b′，即得

一锐角为30°

的直角ΔB0ba，过a′作OX轴的平行线，AB直线的正面投影a′b′。

则B0b等于A、B两点到H两者交于b′1，然后从b′1

面的距离之差ZB–ZA。

沿OX轴的垂线向上截取

b′1b′=ZB–ZA（因为B点在

A点之上），即得b′。

图3-16（b）求直线正面投影的作图方法一

作图方法二（见图3-16（c）

（1）过b作OX轴的垂直线bb′1，过

（2）过A0作30º

的斜线与bb′1的延

a′作OX轴的平行线，两线交于b′1，长线相交，此交点即为b′，连接a′b′。

在a′b′1的延长线上截取b′1A0=ab；

图3-16（c）求直线正面投影的作图方法二

3.2.4直线上的点

点在直线上，则点的各个投影必定在该直线的同面投影上，并且符合点的投影规律，如图3-17中的C点。

直线AB上的点C，其投影c′、c、c″，分别位于a′b′、ab和a″b″上，且c′c和c′c″分别垂直于相应的投影轴。

若直线上的点分线段成比例，则该点的各投影也相应分线段的同面投影成相同的比例。

在图3-17中，C点把直线AB分为AC、CB两段，则有：

AC∶CB=a′c′∶c′b′ac∶cb=a″c″∶c″b″

图3-17直线上的点

【例3-8】如图3-18（a）所示，在直线AB上找一点K，使AK∶KB=2∶3

由点在直线上的投影特性可知，AK∶KB=2∶3，则其投影a′k′∶k′b′=ak∶kb=2∶3。

因此只要用平面几何作图的方法，把ab或a′b′分为2∶3，即可求得点K的投影k、k′。

作图方法

（a）已知条件（b）过a任作一直线，并从（c）连接b、5，再过分

a起在该直线上任取五等点2作b5的平行线，与ab

分，得1、2、3、4、5五相交，即得点K的水平

个分点；

投影k；

由此求出k′。

图3-18分线段为定比

【例3-9】判定图3-19（a）所示的点K，是否在侧平线AB上。

由直线上点的投影特性可知，如果点K在直线AB上，则a′k′∶k′b′=ak∶kb。

因此，可用这一定比关系来判定点K是否在直线AB上。

另外，如果点K在直线AB上，则k″应在a″b″上。

所以也可用它们的侧面投影来判定。

图3-19判定点是否在直线上

作图方法一：

用定比性来判定。

见图3-19（b）。

（1）在水平投影上过b任作一直线，取bk1=b′k′、k1a1=k′a′。

（2）连接a1、a，过k1作a1a的平行线，它与ab的交点不是k，这说明a′k′∶k′b′≠ak∶kb。

由此可判定点K不在直线AB上。

作图方法二：

用直线上点的投影规律来判定。

见图3-19（c）。

分别补出点K和直线AB的侧面投影k″和a″b″，可以看出k″不在a″b″上，由此也可判定点K不在直线AB上。

3.2.5两直线的相对位置

两直线在空间的相对位置分为平行、相交、交叉和垂直（相交和交叉的特例）四种情况。

两相交直线或两平行直线都在同一平面上，所以它们都称为共面线。

两交叉直线不在同一平面上，所以称为异面线。

下面分别讨论它们的投影特点。

3.2.5.1两直线平行

根据正投影的平行性可知：

空间两直线相互平行，则它们的同名投影也相互平行，且同名投影的长度之比等于空间两线段的长度之比，如图3-20。

如图3-20，已知AB∥CD，则a′b′∥c′d′，ab∥cd，且AB∶CD=a′b′∶c′d′=ab∶cd。

如果补出侧面投影，也一定是a″b″∥c″d″，且AB∶CD=a″b″∶c″d″。

（a）立体图（b）投影图

图3-20两直线平行

在投影图中，若判别两直线是否平行，一般只要看它们的正面投影和水平投影是否平行就可以了。

但对于两直线均为某投影面平行线时，若无直线所平行的投影面上的投影，仅根据另两投影的平行是不能确定它们在空间是否平行的，应从直线在所平行的投影面上的投影来判定是否平行。

如图3-21（a）所示，AB和CD为两条侧平线，看它们的正面投影a′b′∥c′d′和水平投影ab∥cd，但不能判定AB和CD是否平行，还需要补出它们的侧面投影来进行判定。

从补出的侧面投影可以看出a″b″与c″d″不平行，这说明空间两直线AB和CD不平行。

假若补出它们的侧面投影平行，则空间两直线一定平行。

图3-21判定两条投影面平行线是否平行

【例3-10】已知平行四边形ABCD的两边AB和AC的投影，见图3-22（a），试完成平行四边形ABCD的投影。

因为平行四边形的对边相互平行和平行投影特性可知c′d′∥a′b′，b′d′∥a′c′，cd∥ab，bd∥ac，因此只要做出这些平行线，即可完成平行四边形ABCD的投影。

作图方法：

（a）已知条件（b）作c′d′∥a′b′，b′d′∥a′c′（c）作cd∥ab，bd∥ac，

得d′。

d与d′应在同一连线上。

图3-22判定两条投影面平行线是否平行

3.2.5.2两直线相交

两直线相交必有一个交点，交点是两直线的公共点。

根据前章所述正投影的丛属性和定比性，可以得到两直线相交的特点：

空间两直线相交，则它们的同名投影必定相交，而且各同名投影的交点就是两直线空间交点的同名投影。

如图3-23所示，一般位置直线AB和CD相交于点K，因为点K即属于AB，又属于CD，所以，k必属于ab和cd，即k为ab和cd的交点。

同理，k′是a′b′和c′d′，的交点。

图3-23两直线相交

在投影图中，若判别两直线是否相交，对于两条一般位置直线来说，只要任意两个同面投影的交点的连线垂直于相应的投影轴，就可判定这两条直线在空间一定相交。

但是当两条直线中有一条直线是投影面平行线时，应利用直线在所平行的投影面内投影来判断。

图3-24（a）中，虽然ab和cd交于k，a′b′和c′d′交于k′，且kk′⊥OX，但不能直接下结论，说二直线相交，通常可利用侧面投影或比例关系进行判断。

如图3-24（b），因为CD为侧平线，虽然正面投影和水平投影都相交，观看侧面投影，a″b″和c″d″也相交，但该交点与k′的连线同OZ轴不垂直，所以该两直线不相交。

若只根据V、H两面投影来判定，如图3-24（c）所示，则需比较ak和kb的线性比与a′k′和k′b′的线性比是否相等，如果相等则相交，不等则不相交。

（a）（b）（c）

图3-24判定两直线是否相交

【例3-11】已知四边形ABCD的V投影及其两条边的H投影，试完成整个H投影。

由于四边形ABCD对角线相交，所以，根据两线相交的投影特性，即可完成四边形ABCD的水平投影问题。

（a）已知条件（b）连接和a′c′和（c）交点K的H投（d）过d′向下作OX

b′d′，得交点k′，影必在对角线AC的轴的垂线，与bk的

即两对角线交点投影ac上，点D的过d′向下作OX轴的

K的V面投影。

H投影必在bk的延垂线，与bk延长线长线上。

交于k，连接da、dc，

abcd即为所求。

图3-25求平面四边形的正面投影

例如图3.37。

两交叉直线有一个可见性问题。

3.2.5.3两直线交叉

两交叉直线既不平行，也不相交。

显然，两交叉直线的投影，即无两直线平形时的特性，也无两直线相交时的特性。

两交叉直线的某一同面投影有时可能平行，但所有同面投影不可能同时都相互平行。

两交叉直线的同面投影也可能相交，但这个交点只不过是两直线的一对重影点的重合投影。

图3-24两直线交叉

如图3-26（a）所示，两交叉直线AB和CD的水平投影的交点，是直线AB上的点Ⅰ和CD上的点Ⅱ的投影，因为Ⅰ、Ⅱ两点同位于一条铅垂线上，故水平投影重合与一点。

两直线正面投影的交点，则是AB上的点Ⅲ和CD上的点Ⅳ的投影，因为Ⅲ、Ⅳ两点位于一条正垂线上，故其正面投影重合为一点。

因此，在投影图上，如果两直线有两同面投影相交。

而交点的连线不垂直于相应的投影轴，则空间这两直线一定交叉。

如图3-24（b）所示，ab与cd、a′b′与c′d′都有交点，但这两点的连线与投影轴OX不垂直，由此可判定AB和CD为两交叉直线。

既然两交叉直线同面投影的交点是两直线上两个点的投影重合在一起的。

那么，两交叉线就有可见性的问题。

判定其可见性的方法：

如图3-24（b）所示，从正面投影可看出，点Ⅰ在点Ⅱ之上，故其水平投影1为可见，2为不可见，写成1

（2）。

从水平投影可看出，点Ⅲ在点Ⅳ之前，故其正面投影3′为可见，4′为不可见，写成3′（4′）。

3.2.5.4两直线垂直

两直线的夹角，其投影有三种情况：

1.当两直线都平行于某投影面时，其夹角在该投影面上的投影反映实形。



2.当两直线都不平行于某投影面时，其夹角在该投影面上的投影一般不反映实形。

3.当两直线中有一直线平行于某投影面时，如果夹角是直角，则它在该投影面上的投影仍然是直角。

如图3-25（a）所示，直线AB垂直于BC，其中AB是水平线，则在H面上的投影ab和bc互相垂直，见图3-25（b）所示。

图3-25（c）、（d）所示，直线DE垂直于EF，其中DE是正平线，则在V面上的投影de和ef互相垂直。

两交叉直线也有相互垂直的。

（a）（b）（c）（d）

图3-25两直线相互垂直

反之，如果两直线的某一投影面互相垂直，而且其中有一条直线平行于该投影面，则这两直线在空间一定互相垂直。

【例3-12】求点A到水平线BC的距离（见图3-26（a））。

求点A到水平线BC的距离

，即过A向BC作垂线，且与BC相交。

已知BC平行于H面，故其水平投影ad⊥bc，由此即可确定AD的水平投影ad，继而即可求得AD的正面投影a′d′。

作图方法：

（a）已知条件（b）过a作bc的垂线ad⊥bc；

（c）过作垂线的V投（d）用直角三角形法求（e）以a′d′为一直角边，

影a′d′；

AD的实长，先求A、d′2=y为另一直角边，斜

D两点的Y坐标差y；

边a′2即为所求距离实长。

图3-26求作点到直线的距离

【例3-13】已知矩形ABCD的一边平行于面，根据图3-27（a）所给的投影，补全该矩形的两面投影。

因矩形的两邻边AB⊥AC，，又知AB∥H面，故ab⊥ac。

又因矩形的对边互相平行，所以ab∥cd，a′b∥c′d′，ac∥bd，a′c′∥b′d′。

据此可补全该矩形的两面投影。

（a）已知条件（b）过a作ab的垂线，（c）过b和c分别作ac（d）过b′和c′分别作

过c′作OX轴的垂线，和ab的平行线，这两直a′c′和a′b′的平行线，

这两条直线的交点，即线的交点，即为点D的这两直线的交点，即

为点C的水平投影c；

水平投影d；

为点D的正面投影d′。

图3-29完成矩形ABCD的投影

本章小结

1.各种位置直线的投影特性，包括：

正平线、水平线、侧平线、正垂线、铅垂线、侧垂线、一般位置线。

2.利用直角三角形法求一般位置直线的实长及倾角。

3.直线上点的投影特性：

从属性和定比性。

4.两直线的各种相对位置，包括：

平行、相交、交叉和垂直。