版高考数学北师大版理一轮复习第5章平面向量51平面向量的概念及线性运算文档.docx
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1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小,又有方向的量统称为向量;向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量;其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合,则称这两个向量平行或共线
0与任一向量平行
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等,不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
2.向量的线性运算
向量运算
定义
法则
(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
(1)交换律:
a+b=b+a
(2)结合律:
(a+b)+c=a+(b+c).
减法
求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
a-b=a+(-b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|=|λ||a|;
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0
(1)λ(μa)=(λμ)a;
(2)(λ+μ)a=λa+μa;
(3)λ(a+b)=λa+λb
3.向量共线的判定定理
a是一个非零向量,若存在一个实数λ,使得b=λa,则向量b与非零向量a共线.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量.( × )
(2)|a|与|b|是否相等与a,b的方向无关.( √ )
(3)若a∥b,b∥c,则a∥c.( × )
(4)向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.( × )
(5)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.( √ )
(6)△ABC中,D是BC中点,则=(+).( √ )
1.给出下列命题:
①零向量的长度为零,方向是任意的;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量与相等.则所有正确命题的序号是( )
A.①B.③
C.①③D.①②
答案 A
解析 根据零向量的定义可知①正确;根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②错误;向量与互为相反向量,故③错误.
2.如图,已知=a,=b,=3,用a,b表示,则等于( )
A.a+b
B.a+b
C.a+b
D.a+b
答案 B
解析 ∵=-=a-b,又=3,
∴==(a-b),
∴=+=b+(a-b)=a+b.
3.(2015·课标全国Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点,=3,则( )
A.=-+B.=-
C.=+D.=-
答案 A
解析 ∵=3,∴-=3(-),
即4-=3,∴=-+.
4.(教材改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O,且=a,=b,则=________,=________(用a,b表示).
答案 b-a -a-b
解析 如图,==-=b-a,
=-=--=-a-b.
5.已知a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-3a)共线,则λ=________.
答案 -
解析 由已知得a+λb=-k(b-3a),
∴解得
题型一 平面向量的概念
例1 下列命题中,正确的是________.(填序号)
①有向线段就是向量,向量就是有向线段;
②向量a与向量b平行,则a与b的方向相同或相反;
③向量与向量共线,则A、B、C、D四点共线;
④两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小.
答案 ④
解析 ①不正确,向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段,有向线段也不是向量;
②不正确,若a与b中有一个为零向量,零向量的方向是不确定的,故两向量方向不一定相同或相反;
③不正确,共线向量所在的直线可以重合,也可以平行;
④正确,向量既有大小,又有方向,不能比较大小;向量的模均为实数,可以比较大小.
思维升华
(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时,不要把它与函数图像的移动混为一谈.(4)非零向量a与的关系:
是与a同方向的单位向量.
设a0为单位向量,①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0.上述命题中,假命题的个数是( )
A.0B.1
C.2D.3
答案 D
解析 向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:
一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.
题型二 平面向量的线性运算
命题点1 向量的线性运算
例2
(1)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+等于( )
A.B.
C.D.
(2)在△ABC中,=c,=b,若点D满足=2,则等于( )
A.b+cB.c-b
C.b-cD.b+c
答案
(1)C
(2)A
解析
(1)+=(+)+(+)
=(+)=.
(2)∵=2,
∴-==2=2(-),
∴3=2+,
∴=+=b+c.
命题点2 根据向量线性运算求参数
例3
(1)在△ABC中,已知D是AB边上的一点,若=2,=+λ,则λ等于( )
A.B.
C.-D.-
(2)在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是( )
A.B.
C.D.
答案
(1)A
(2)D
解析
(1)∵=2,
即-=2(-),
∴=+,
∴λ=.
(2)设=y,
∵=+
=+y=+y(-)
=-y+(1+y).
∵=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),
∴y∈,
∵=x+(1-x),
∴x=-y,∴x∈.
思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.
(2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则;求差用三角形法则;求首尾相连向量的和用三角形法则.
(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系,通过向量的运算将向量表示出来,进行比较求参数的值.
如图,一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于E,F两点,且交对角线AC于K,其中,=,=,=λ,则λ的值为( )
A.B.
C.D.
答案 A
解析 ∵=,=,
∴=,=2.
由向量加法的平行四边形法则可知,
=+,
∴=λ=λ(+)
=λ
=λ+2λ,
由E,F,K三点共线,可得λ=,故选A.
题型三 共线定理的应用
例4 设两个非零向量a与b不共线,
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:
A、B、D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
(1)证明 ∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b),
∴=+=2a+8b+3(a-b)
=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5.
∴、共线,又∵它们有公共点B,
∴A、B、D三点共线.
(2)解 ∵ka+b和a+kb共线,
∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),
即ka+b=λa+λkb.∴(k-λ)a=(λk-1)b.
∵a、b是两个不共线的非零向量,
∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0.∴k=±1.
思维升华
(1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0成立,若λ1a+λ2b=0,当且仅当λ1=λ2=0时成立,则向量a、b不共线.
(1)已知向量=a+3b,=5a+3b,=-3a+3b,则( )
A.A,B,C三点共线B.A,B,D三点共线
C.A,C,D三点共线D.B,C,D三点共线
(2)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.
答案
(1)B
(2)
解析
(1)∵=+=2a+6b=2(a+3b)=2,
∴、共线,又有公共点B,
∴A,B,D三点共线.故选B.
(2)=+=+
=+(-)
=-+,
∵=λ1+λ2,
∴λ1=-,λ2=,故λ1+λ2=.
10.方程思想在平面向量线性运算中的应用
典例 (12分)如图所示,在△ABO中,=,=,AD与BC相交于点M,设=a,=b.试用a和b表示向量.
思维点拨
(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领,要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去求解.
(2)既然能用a、b表示,那我们不妨设出=ma+nb.
(3)利用向量共线建立方程,用方程的思想求解.
规范解答
解 设=ma+nb,
则=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb.
=-=-=-a+b.[3分]
又∵A、M、D三点共线,∴与共线.
∴存在实数t,使得=t,
即(m-1)a+nb=t.[5分]
∴(m-1)a+nb=-ta+tb.
∴消去t得,m-1=-2n,
即m+2n=1.① [7分]
又∵=-=ma+nb-a=a+nb,
=-=b-a=-a+b.
又∵C、M、B三点共线,∴与共线.[10分]
∴存在实数t1,使得=t1,
∴a+nb=t1,
∴
消去t1得,4m+n=1.②
由①②得m=,n=,∴=a+b.[12分]
温馨提醒
(1)本题考查了向量的线性运算,知识要点清楚,但解题过程复杂,有一定的难度.
(2)易错点是找不到问题的切入口,想不到利用待定系数法求解.(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心,向量是一个几何量,是有“形”的量,因此在解决向量有关问题时,多数习题要结合图形进行分析、判断、求解,这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题易忽视A、M、D三点共线和B、M、C三点共线这个几何特征.(4)方程思想是解决本题的关键,要注意体会.
[方法与技巧]
1.向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则,做题时,要注意三角形法则与平行四边形法则的要素.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接,指向终点”;向量减法的三角形法则要素是“起点重合,指向被减向量”;平行四边形法则要素是“起点重合”.
2.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
3.对于三点共线有以下结论:
对于平面上的任一点O,,不共线,满足=x+y(x,y∈R),则P,A,B共线⇔x+y=1.
[失误与防范]
1.解决向量的概念问题要注意两点:
一是不仅要考虑向量的大小,更重要的是要考虑向量的方向;二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.
2.在利用向量减法时,易弄错两向量的顺序,从而求得所求向量的相反向量,导致错误.
A组 专项基础训练
(时间:
35分钟)
1.设a、b是两个非零向量( )
A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b
B.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|
C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λa
D.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b|
答案 C
解析
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