早高峰电梯系统分析.docx
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早高峰电梯系统分析
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为,我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写):
B
我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话):
所属学校(请填写完整的全名):
宁波工程学院
参赛队员(打印并签名):
1.沈小凤
2.汪徐燕
3.何江鸿
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名):
数模组
日期:
2010年8月17日
赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):
赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用):
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):
全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):
早高峰电梯系统分析
摘要
首先,对早高峰电梯系统进行理论分析,对它的运行状况、载客原则、写字楼楼高以及电梯性能进行简化。
在认为员工集体素质较高,可以做到先到员工先上电梯的原则下,用MATLAB对城市繁华地区的一座共有800人在此上班工作的12层写字楼服务的状况进行模拟,高峰时间段为7:
50-9:
10,楼内共4部电梯。
接着针对MATLAB模拟所得信息,对问题一、问题二、问题三和问题四分别进行求解。
一个人的等待时间就是他在排队的时间,即从到达大厅到进入一部可乘电梯的时间,联系模拟结果可以得到一位乘客实际上待在电梯中的平均时间和最长时间分别为103s和214s。
如果运送时间是一位乘客从到达大厅到他到达要去的楼层的时间,则平均运送时间为153s和最长的运送时间455s。
对每部电梯停止次数模拟三次可以得到:
表一
电梯1
电梯2
电梯3
电梯4
第一次模拟停止的次数
67
69
72
58
第二次模拟停止的次数
72
62
58
58
第三次模拟停止的次数
59
61
73
61
早高峰时间每部电梯实际上使用时间的百分比是85%、83%、80%、80%。
结合并联系多服务台服务理论,发现这次模拟的结果比较合理。
最后针对问题五,为了减少乘客的排队等待时间及运送时间,提高电梯的使用效率,本文制定了新的电梯运行载客原则
(1)1、3号电梯只载客至奇数楼层,2、4号电梯只载客至偶数楼层.
(2)电梯匀速运行时速度提升至2m/s.并将该载客原则联系模拟程序,发现电梯的使用效率得到了提高。
关键词:
早高峰电梯系统MATLAB模拟
一、问题的提出
城市繁华地区有一座12层的写字楼,共有800人在此上班工作,在高峰时间7:
50-9:
10,人们进入一楼大厅并乘电梯到所在的楼层,有4部电梯为大楼服务,乘客到达大楼的时间间隔在0-30秒内随机变化,达到后每个乘客第一部可乘的电梯(1-4号),当某人进入电梯后并选择达到楼层后,电梯在关门前等待15秒,如果另一个人在15秒内到达来,这种等待将重新开始,如果15秒内无人到达,电梯就把全体乘客送上去。
假定中途没有其他乘客要上电梯。
送完最后一个乘客后,电梯回到大厅,途中也不上客人。
一部电梯的最大容量为12人,当一位乘客来到大厅,没有电梯可乘,就开始在大厅排队等待。
写字楼的管理者希望提高优质服务,但目前有些乘客抱怨在电梯回来之前,他们在大厅等待的时间太长,也有人抱怨他们在电梯里待的时间太长,还有人说高峰时间大厅太挤,实际情况如何呢?
首先对该写字楼电梯系统做理论分析,然后用计算机模拟电梯系统,回答下列问题:
(1)如果一个人的等待时间是他在排队的时间,即从到达大厅到进入一部可乘电梯的时间,问一个人在队中等待的平均时间和最长时间是多少?
(2)一位乘客实际上呆在电梯中的平均时间和最长时间是多少?
(3)如果运送时间是一位乘客从到达大厅到他到达要去的楼层的时间(包括等电梯的时间),问平均运送时间和最长的运送时间是多少?
(4)每部电梯停多少次?
早高峰时间每部电梯实际上使用时间的百分比是多少?
(5)为了减少乘客的排队等待时间及运送时间,提高电梯的使用效率,应如何来安排、调整电梯运行系统?
二、问题的分析
根据题目所提示信息,先对早高峰电梯系统所处环境、运行方式以及人流分布进行合理简化。
联系实际情况可知员工在早高峰时间段到达大厅的人数服从泊松分布,因此,对于两个员工相继出现的时间间隔可以用负指数分布来模拟。
根据题目信息,在模拟早高峰时期800个员工到达的情况时还要注意两个员工相继出现的时间间隔不能大于30s.
由于写字楼的楼高以及电梯性能均未知,但它们对电梯系统的使用状况不会有太大影响。
因此,本文对写字楼高、电梯运行速度、员工对电梯使用习惯以及电梯运行时的各项性能指标进行了合理简化。
对于电梯上升阶段停靠站点数,运用unifrnd随机取值,考虑最多的停靠站点数为电梯内人数与电梯所需上升的最高层数两者之间的最小值。
电梯内人数即为对相对应电梯满足电梯运行的循环进行计数,电梯所需上升的最高层数即为电梯所需到达的最高楼层减去一。
电梯所需到达的最高楼层根据对电梯内12个人需要到达各个楼层的概率分布进行模拟。
接着,对电梯的运行状况进行分析。
由于写字楼电梯系统需要提高优质服务,使得员工在大厅等待的时间尽量短,同时在电梯里呆的时间不能太长,高峰时间大厅不能太挤。
联系题意,四部电梯的运作是分别独立的,本文认为写字楼内员工的素质比较高,不会出现插队现象,可以做到先到员工先上电梯的原则。
而且,当进入电梯的最后一个员工与他之前的员工到达的时间差大于15秒或电梯内总人数大于12人时,电梯开始运作,该电梯进入新的循环,且它下一班次到达一楼的时间为到达电梯的最后一个员工的时间加上电梯在一楼的等待时间以及电梯运送员工所需时间。
最后,根据以上对电梯运行状况的简化,用MATLAB进行计算机模拟。
并利用MATLAB模拟出的800个员工的使用电梯情况,对题目要求的问题进行一一求解。
三、基本假设
1、假设800个工作人员都在早高峰时间段内到达写字楼大厅
四、定义符号说明
:
模拟电梯运行过程时得到的时间
:
电梯在每层楼上升过程中匀速运行的时间
:
电梯在下降过程中匀速运行的时间
:
电梯加速一次所运行的时间
:
模拟电梯运行后得到的整个过程的时间
:
平均对长
:
平均等待时间
五、模型的分析、建立
针对题目中的前四个问题,我们首先建立了模型一。
根据题目,首先,我们运用MATLAB对800个员工的到达时间进行模拟。
通过分析各个员工、各部电梯,我们可以知道到达到大厅的员工人数服从参数为
的泊松分布,每部电梯服务时间服从参数为
的负指数。
首先运用exprnd函数,使用MATLAB软件对员工到达的时间进行模拟,得到800个人的到达时间。
接着对第i个乘客的到达时间与电梯到达底楼的时间进行比较(将四个电梯标记为电梯1,电梯2,电梯3,电梯4),如果乘客到达的时间迟于电梯到达的时间,则对乘客进入哪部电梯进行选择。
先对各个电梯中的人数进行比较,判断哪部电梯的人数最少,得知最少人数的电梯之后,接着判断在进入该部电梯的乘客之前的乘客的进入时间与该乘客到达该部电梯的时间之差是否小于15s,若是则继续判断该电梯中的乘客数是否小于12人,若是则乘客进入该部电梯,否则进入下一班电梯,继续等待。
对电梯中的人数进行判断,如果电梯中人数少于12人则继续对各个乘客的情况进行循环模拟。
若电梯人数到达12人时,记下该班次电梯下一回到达一楼的时间。
具体流程图如下:
下一班次到达一楼的时间为到达电梯的最后一个员工的时间加上电梯在一楼的等待时间以及电梯运送员工所需时间。
对电梯的运行进行模拟,先模拟得到电梯内的人数以及最后一个到达电梯的时间,接着对电梯到达某一层进行模拟,得到其最高层次n。
判断n-1与电梯中人数的大小,得到k,由此可以得到公式
,接着模拟得到下一班电梯到达一楼时总的时间
,具体流程图如下:
由于整幢写字楼共有4部电梯,而且这四部电梯都是独立工作的,每部电梯所能乘坐的员工个数是相等的,则可以设整个服务机构的平均服务率为
,显然只有当
时才不会排成无限长的队列。
我们给出稳定状态概率
和系统指标。
对一个员工等待的平均时间建立模型,令
,则
,
,
六、模型的求解
根据模型对问题进行求解:
对问题一的求解:
由题目提供的数据,有800个工作人员在写字楼上班,上班的高峰时间在80分钟。
已假设800个工作人员都在这80分钟内到达写字楼大厅,则可以求得平均每秒到达写字楼大厅的人数为0.17。
根据得到的数据0.17,使用MATLAB软件(见附录),运用exprnd函数模拟800个工作人员的到达时间,每两个员工之间的时间间隔。
通过模拟我们可以得到各个员工到达的时间(表一)以及每两个员工之间到达的时间间隔差(表二)。
根据题目提供的一些数据,我们可以运用MATLAB编程,得到服从泊松分布的参数
为0.17,服从负指数分布的参数
为6.由此可以得出
,根据模型中的公式
,计算得到
0.9721。
由此可以进一步计算出平均等待时间。
先计算得出平均队长
,接着由平均队长计算出一个员工等待的平均时间53s.
对每个员工的等待时间的求解,根据模拟得到的有关员工到达时间以及他们的时间间隔差的数据,再次运用MATLAB进行模拟得到各个员工的等待时间,对所有员工的等待时间进行排序的筛选,得到其最大等待时间176s.
对问题二的求解:
接着对800个员工进入电梯进行求解。
首先是对第一个到达写字楼大厅的员工进入哪部电梯进行判断,由于第一个到达的员工之前没有任何约束条件,该员工可以进入任何一部电梯,判断电梯等待下一个乘客的时间是否超出15秒,若超出15秒,则电梯开始运行;否则,继续等待下一个乘客,直到电梯中乘客的人数达到12人。
对电梯的运行时间进行求解,假设每层楼的高度为3.85米,电梯的加速度为
,电梯匀速时的速度为
。
根据这三个数据可以求得电梯在上升过程中每层楼中加速的时间为
,匀速的时间为
.要求的乘客呆在电梯中的最长时间,则可知该乘客到达的层数为最高层,即第12层。
假设电梯每层楼都停留,最后到达最高层。
可计算求得电梯在上升过程中运行的最长时间,由于乘客所需到达的层数为最高层(12层),所以k的取值为11,则根据公式
,求得电梯在运行过程中的最长时间为214。
对乘客到达每层楼使用MATLAB的模拟,得到模拟层数后,运用对到达12层同样的方法对电梯到达每一层的时间进行求解,求得电梯到达每一层(2、3……11、12)之后往返的时间,则求得乘客呆在电梯里的平均时间为103秒,最长时间为214秒。
对问题三的求解:
对于问题三的求解,我们根据问题一、问题二的解答平均运送时间,运送时间是一位员工从到达大厅到他到达要去的楼层的时间(包括等电梯的时间),根据MATLAB统计得到平均运送时间153s,最长运送时间455s.
对问题四的求解:
经过电梯运行的多次模拟,根据MATLAB的统计信息,可以得到
电梯1
电梯2
电梯3
电梯4
第一次模拟停止的次数
67
69
72
58
第二次模拟停止的次数
72
62
58
58
第三次模拟停止的次数
59
61
73
61
根据上述模拟求解早高峰时间每部电梯实际上使用时间的百分比,他们的平均使用时间百分比为85%、83%、80%、80%。
七、结果分析、模型检验
对问题一的结果可知,一个人在队中的平均等待时间为53秒,而最长的等待时间为176秒。
虽然最长的等待时间相较于平均等待时长显得有点长,但是这个事件发生的概率是很小的,因而此时还不能判断电梯安排的合理性。
对问题二的结果可知,一位乘客实际待在电梯里的平均时间和最长时间分别为103秒和214秒。
同问题一中的结果分析类似,尽管两者有差距,但是依旧不能判断电梯的合理性。
问题三的结果是基于问题一和问题二求得的,得到平均运送时间和最长的运送时间分别为153秒和455秒。
相较于第一、二两问中的结果,该问中的数字间的差异明显加大,因此有必要考虑电梯在早高峰期间的合理利用。
问题四利用电梯的停靠次数,以及每部电梯在早高峰时间的实际使用时间的百分比来体现每部电梯的利用率。
得到四部电梯的实际使用时间的百分比分别为85%,83%,80%,80%,可见,第一部电梯的利用率最高,第二部电梯的利用率次之,第三部和第四部电梯的利用率一样而且最低排在最后,但总的来说,每部电梯的使用率在早高峰期间还是很高的。
八、模型推广
本文所建立的模型主要采用了多服务台排队论,排队论在实际生活中的应用十分常见,应用领域也十分广泛。
该模型不仅可以应用于文中涉及到的关于乘坐多个电梯的问题,还可以应用于多窗口排队买票的问题。
多窗口排队买票中顾客与售票员之间的交流时间就相当于电梯运行的时间,买票时顾客也会像乘客一样选择人数少的窗口,并且近的窗口去买票。
该模型主要应用于服务业的各种领域,因为排队论实际应用的行业就是服务业。
九、模型的评价与改进
后针对问题五,为了减少乘客的排队等待时间及运送时间,提高电梯的使用效率,本文制定了新的电梯运行载客原则
(1)1、3号电梯只载客至奇数楼层,2、4号电梯只载客至偶数楼层.
(2)电梯匀速运行时速度提升至2m/s.并将该载客原则联系模拟程序,发现电梯的使用效率得到了提高。
参考文献:
[1]FrankR.GordanoMauriceD.WeirWilliamP.Fox,数学建模,北京,机械工业出版社,2005年1月;
附件
%求800个随机数,时间在4800秒以内########################
clc
clear
n=0;
t=0;
p=[];T=[];
r=800/4800;%平均每秒进来的人数
whilet<4800&n<800
n=n+1;
time=exprnd(1/r);
t=t+time;
T(n)=time;%时间间隔
p(n)=t;%乘客到达电梯时间
end
T;
p;
%电梯上升人数安排#######################################
m=0;P=[];b=[];
w=zeros(1,800);%初始等待时间为0
fori=1:
800
b(i)=p(i)+w(i);%第i个乘客进电梯时刻
ifb(i)<4800
m=m+1;
nn=ceil(unifrnd(2,12));%随机取下电梯的层数
ifi==1
w(i)=0;
elseifm<=12&p(i)-b(i-1)<=15
k=ceil(i/12);
w(i)=0;
x=rem(i,12);
ifx~=0
P(k,x)=p(i);
else
P(k,end)=p(i);
end
else
w(i)=36+15*nn;
end
end
m=0;
end
P;%每次电梯上升的人数矩阵
k;%电梯上升的次数
[size1size2]=size(P);
a=1;m1=0;
fori=1:
size1
forj=1:
size2
ifP(i,j)~=0&m1<=12
pp(a,j)=P(i,j);
m1=m1+1;
elseifP(i,j)==0;
a=a+1;
elseifm1>12
m1=0;
a=a+1;
end
end
end
pp;
%取出每次最后一个进入电梯的时刻
d1=[];d2=[];d3=[];d4=[];
[iijj]=size(pp);
mm=[];
fori=1:
ii
mm(i)=max(pp(i,:
));
end
mm;
%班次排序
td=[];tr=[];
td
(1)=0;
fori=1:
ii
forj=1:
jj
tout(i)=mm(i)+15;
rr=size(find(pp(i,j)>0),2);
k=rand;
ifk>0&k<0.000001
nn=1;
elseifk<0.000002
nn=2;
elseifk<0.000003
nn=3;
elseifk<0.000004
nn=4;
elseifk<0.000005
nn=5;
elseifk<0.000066
nn=6;
elseifk<0.000567
nn=7;
elseifk<0.003462
nn=8;
elseifk<0.016544
nn=9;
elseifk<0.065678
nn=10;
elseifk<0.225445
nn=11;
elseifk<0.688224
nn=12;
end
trun(i)=floor(1+(min(rr,nn-1))*rand)*15+(nn-1)*2*0.8+1.2*min(rr,nn-1)-2;
td(i)=tout(i)+trun(i);
end
end
td;
d1=[];d2=[];d3=[];d4=[];
fori=1:
size(pp,1)
ifrem(i,4)==1
d1((i+3)/4,:
)=pp(i,:
);
elseifrem(i,4)==2
d2((i+2)/4,:
)=pp(i,:
);
elseifrem(i,4)==3
d3((i+1)/4,:
)=pp(i,:
);
else
d4(i/4,:
)=pp(i,:
);
end
end
%d1每班电梯出发时间####################################
tc1=[];
t1=[];
ty1=[];%d1运行时间
fori=1:
size(d1,1)
forj=1:
size(d1,2)
tc1(i,1)=max(d1(i,:
))+15;
rr=size(find(d1(i,j)>0),2);
k=rand;
ifk>0&k<0.000001
nn=1;
elseifk<0.000002
nn=2;
elseifk<0.000003
nn=3;
elseifk<0.000004
nn=4;
elseifk<0.000005
nn=5;
elseifk<0.000066
nn=6;
elseifk<0.000567
nn=7;
elseifk<0.003462
nn=8;
elseifk<0.016544
nn=9;
elseifk<0.065678
nn=10;
elseifk<0.225445
nn=11;
elseifk<0.688224
nn=12;
end
ty1(i,1)=floor(1+(min(rr,nn-1))*rand)*15+(nn-1)*2*0.8+1.2*min(rr,nn-1)-2;
t1(i,1)=tc1(i,1)+ty1(i,1);%每班电梯到达时间
end
end
tc1;%出发时间
ty1;%运行时间
t1;%到达时间
%d2每班电梯出发时###################################################
tc2=[];
t2=[];
ty2=[];%d2运行时间
fori=1:
size(d2,1)
forj=1:
size(d2,2)
tc2(i,1)=max(d2(i,:
))+15;
rr=size(find(d2(i,j)>0),2);
k=rand;
ifk>0&k<0.000001
nn=1;
elseifk<0.000002
nn=2;
elseifk<0.000003
nn=3;
elseifk<0.000004
nn=4;
elseifk<0.000005
nn=5;
elseifk<0.000066
nn=6;
elseifk<0.000567
nn=7;
elseifk<0.003462
nn=8;
elseifk<0.016544
nn=9;
elseifk<0.065678
nn=10;
elseifk<0.225445
nn=11;
elseifk<0.688224
nn=12;
end
ty2(i,1)=floor(1+(min(rr,nn-1))*rand)*15+(nn-1)*2*0.8+1.2*min(rr,nn-1)-2;
t2(i,1)=tc2(i,1)+ty2(i,1);%每班电梯到达时间
end
end
tc2;%出发时间
ty2;%运行时间
t2;%到达时间
%d3每班电梯出发时间
tc3=[];
t3=[];
ty3=[];%d3运行时间
fori=1:
size(d3,1)
forj=1:
size(d3,2)
tc3(i,1)=max(d3(i,:
))+15;
rr=size(find(d3(i,j)>0),2);
k=rand;
ifk>0&k<0.000001
nn=1;
elseifk<0.000002
nn=2;
elseifk<0.000003
nn=3;
elseifk<0.000004
nn=4;
elseifk<0.000005
nn=5;
elseifk<0.000066
nn=6;
elseifk<0.000567
nn=7;
elseifk<0.003462
nn=8;
elseifk<0.016544
nn=9;
elseifk<0.065678
nn=10;
elseifk<0.225445
nn=11;
elseifk<0.688224
nn=12;
end
ty3(i,1)=floor(1+(min(rr,nn-1))*rand)*15+(nn-1)*2*0.8+1.2*min(rr,nn-1)-2;
t3(i,1)=tc3(i,1)+ty3(i,1);%每班电梯到达时间
end
end
tc3;%出发时间
ty3;%运行时间
t3;%到达时间
%d4每班电梯出发时间
tc4=[];
t4=[];
ty4=[];%d3运行时间
fori=1
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