中考特殊平行四边形证明及计算专项练习题精选.docx
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中考特殊平行四边形证明及计算专项练习题精选
2015年4月中考特殊四边形证明及计算提高练习
姓名_____________学号_______________
平行四边形
1.
(1)如图①,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,直线EF过点O,分别交AD,BC于点E,F.
求证:
AE=CF.
(2)如图②,将▱ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠,点A落在点A1处,点B落在点B1处,设FB1交CD于点G,A1B1分别交CD,DE于点H,I.
求证:
EI=FG.
2.[阅读]在平面直角坐标系中,以任意两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)为端点的线段中点坐标为
.[运用]
(1)如图,矩形ONEF的对角线相交于点M,ON、OF分别在x轴和y轴上,O为坐标原点,点E的坐标为(4,3),则点M的坐标为 _________ .
(2)在直角坐标系中,有A(﹣1,2),B(3,1),C(1,4)三点,另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点,求点D的坐标.
3.在△ABC中,AB=AC,点P为△ABC所在平面内一点,过点P分别作PE∥AC交AB于点E,PF∥AB交BC于点D,交AC于点F.若点P在BC边上(如图1),此时PD=0,可得结论:
PD+PE+PF=AB.
请直接应用上述信息解决下列问题:
当点P分别在△ABC内(如图2),△ABC外(如图3)时,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,PD,PE,PF与AB之间又有怎样的数量关系,请写出你的猜想,不需要证明.
4.如图,矩形ABCD的对角线交于点O,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F,连接AF,CE.
(1)求证:
四边形AECF是平行四边形;
(2)若∠BAD的平分线与FC的延长线交于点G,则△ACG是等腰三角形吗?
并说明理由.
5.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,E,F分别是BC,AC的中点,延长BA到点D,使AD=
AB.连接DE,DF.
(1)求证:
AF与DE互相平分;
(2)若BC=4,求DF的长.
6.如图,以△ABC三边为边在BC同侧作三个等边△ABD、△BCE、△ACF.请回答下列问题:
(1)求证:
四边形ADEF是平行四边形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形.
菱形
7.如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边△ADE,过点C作CF∥DE交AB于点F.
(1)若点D是BC边的中点(如图①),求证:
EF=CD;
(2)在
(1)的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比;
(3)若点D是BC边上的任意一点(除B、C外如图②),那么
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
8.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,点P、Q分别在边AB、BC上,且AP=BQ.
(1)求证:
△BDQ≌△ADP;
(2)已知AD=3,AP=2,求cos∠BPQ的值(结果保留根号).
9.)在边长为6的菱形ABCD中,动点M从点A出发,沿A⇒B⇒C向终点C运动,连接DM交AC于点N.
(1)如图1,当点M在AB边上时,连接BN:
①求证:
△ABN≌△ADN;
②若∠ABC=60°,AM=4,∠ABN=α,求点M到AD的距离及tanα的值.
(2)如图2,若∠ABC=90°,记点M运动所经过的路程为x(6≤x≤12).试问:
x为何值时,△ADN为等腰三角形.
10.如图1,已知四边形ABCD是菱形,G是线段CD上的任意一点时,连接BG交AC于F,过F作FH∥CD交BC于H,可以证明结论
成立.(考生不必证明)
(1)探究:
如图2,上述条件中,若G在CD的延长线上,其它条件不变时,其结论是否成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(2)计算:
若菱形ABCD中AB=6,∠ADC=60°,G在直线CD上,且CG=16,连接BG交AC所在的直线于F,过F作FH∥CD交BC所在的直线于H,求BG与FG的长.
(3)发现:
通过上述过程,你发现G在直线CD上时,结论
还成立吗?
11.如图,在菱形ABCD中,AB=10,∠BAD=60度.点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动;设点M移动的时间为t秒(0≤t≤10).
(1)点N为BC边上任意一点,在点M移动过程中,线段MN是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分并说明理由;
(2)点N从点B(与点M出发的时刻相同)以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动,在什么时刻,梯形ABNM的面积最大并求出面积的最大值;
(3)点N从点B(与点M出发的时刻相同)以每秒a(a≥2)个单位长的速度沿着射线BC方向(可以超越C点)移动,过点M作MP∥AB,交BC于点P.当△MPN≌△ABC时,设△MPN与菱形ABCD重叠部分的面积为S,求出用t表示S的关系式,井求当S=0时的值.
矩形
12.已知:
如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=3,E、F分别是AB、CD的中点.
(1)在边AD上取一点M,使点A关于BM的对称点C恰好落在EF上.设BM与EF相交于点N,求证:
四边形ANGM是菱形;
(2)设P是AD上一点,∠PFB=3∠FBC,求线段AP的长.
13.如图,在下列矩形ABCD中,已知:
AB=a,BC=b(a<b),假定顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形,现给出(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)三个命题:
命题(Ⅰ):
图①中,若AH=BG=AB,则四边形ABGH是矩形ABCD的内接菱形;
命题(Ⅱ):
图②中,若点E、F、G和H分别是AB、BC、CD和DE的中点,则四边形EFGH是矩形ABCD的内接菱形;
命题(Ⅲ):
图③中,若EF垂直平分对角线AC,变BC于点E,交AD于点F,交AC于点O,则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形.
请解决下列问题:
(1)命题(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)都是真命题吗?
请你在其中选择一个,并证明它是真命题或假命题;
(2)画出一个新的矩形内接菱形(即与你在
(1)中所确认的,但不全等的内接菱形).
(3)试探究比较图①,②,③中的四边形ABGH、EFGH、AECF的面积大小关系.
14.在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC的延长线于点F,以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG.
(1)如图1,证明平行四边形ECFG为菱形;
(2)如图2,若∠ABC=90°,M是EF的中点,求∠BDM的度数;
(3)如图3,若∠ABC=120°,请直接写出∠BDG的度数.
15.如图1,在△ABC中,AB=BC=5,AC=6.△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的,连接AE、AC和BE相交于点O.
(1)判断四边形ABCE是怎样的四边形,说明理由;
(2)如图2,P是线段BC上一动点(图2),(不与点B、C重合),连接PO并延长交线段AE于点Q,QR⊥BD,垂足为点R.四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化?
若变化,请说明理由;若不变,求出四边形PQED的面积.
16.如图,在矩形ABCD中,E是BC边上的点,AE=BC,DF⊥AE,垂足为F,连接DE.
(1)求证:
AB=DF;
(2)若AD=10,AB=6,求tan∠EDF的值.
17.已知:
如图①,正方形ABCD与矩形DEFG的边AD、DE在同一直线l上,点G在CD上.正方形ABCD的边长为a,矩形DEFG的长DE为b,宽DG为3(其中a>b>3).若矩形DEFG沿直线l向左以每秒1个单位的长度的速度运动(点D、E始终在直线l上).若矩形DEFG在运动过程中与正方形ABCD的重叠部分的面积记作S,运动时间记为t秒(0≤t≤m),其中S与t的函数图象如图②所示.矩形DEFG的顶点经运动后的对应点分别记作D′、E′、F′、G′.
(1)根据题目所提供的信息,可求得b= _________ ,a= _________ ,m= _________ ;
(2)连接AG′、CF′,设以AG′和CF′为边的两个正方形的面积之和为y,求当0≤t≤5时,y与时间t之间的函数关系式,并求出y的最小值以及y取最小值时t的值;
(3)如图③,这是在矩形DEFG运动过程中,直线AG′第一次与直线CF′垂直的情形,求此时t的值.并探究:
在矩形DEFG继续运动的过程中,直线AG′与直线CF′是否存在平行或再次垂直的情形?
如果存在,请画出图形,并求出t的值;否则,请说明理由.
18.已知:
平行四边形ABCD的对角线交点为O,点E、F分别在边AB、CD上,分别沿DE、BF折叠四边形ABCD,A、C两点恰好都落在O点处,且四边形DEBF为菱形(如图).
(1)求证:
四边形ABCD是矩形;
(2)在四边形ABCD中,求
的值.
19.如图,已知矩形ABCD,AD=4,CD=10,P是AB上一动点,M、N、E分别是PD、PC、CD的中点.
(1)求证:
四边形PMEN是平行四边形;
(2)请直接写出当AP为何值时,四边形PMEN是菱形;
(3)四边形PMEN有可能是矩形吗?
若有可能,求出AP的长;若不可能,请说明理由.
20.如图:
矩形ABCD中,AB=2,BC=5,E、P分别在AD、BC上,且DE=BP=1.
(1)判断△BEC的形状,并说明理由?
(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形?
并证明你的判断;
(3)求四边形EFPH的面积.
正方形
21.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,若点D在线段BC上,以AD为边长作正方形ADEF,如图1,易证:
∠AFC=∠ACB+∠DAC;
(1)若点D在BC延长线上,其他条件不变,写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系,并结合图2给出证明;
(2)若点D在CB延长线上,其他条件不变,直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式.
22.已知四边形ABCD是正方形,O为正方形对角线的交点,一动点P从B开始,沿射线BC运动,连接DP,作CN⊥DP于点M,且交直线AB于点N,连接OP,ON.(当P在线段BC上时,如图1:
当P在BC的延长线上时,如图2)
(1)请从图1,图2中任选一图证明下面结论:
①BN=CP;②OP=ON,且OP⊥ON;
(2)设AB=4,BP=x,试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系.
23.已知正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E、F分别是OB、OC上的动点,
(1)如果动点E、F满足BE=CF(如图1):
①写出所有以点E或F为顶点的全等三角形(不得添加辅助线);
②证明:
AE⊥BF;
(2)如果动点E、F满足BE=OF(如图2),问当AE⊥BF时,点E在什么位置,并证明你的结论.
24.如图,四边形ABCD是正方形,点E,K分别在BC,AB上,点G在BA的延长线上,且CE=BK=AG.
(1)求证:
①DE=DG;②DE⊥DG
(2)尺规作图:
以线段DE,DG为边作出正方形DEFG(要求:
只保留作图痕迹,不写作法和证明);
(3)连接
(2)中的KF,猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形,并证明你的猜想:
(4)当
时,请直接写出
的值.
25.如图,点P是正方形ABCD对角线AC上一动点,点E在射线BC上,且PB=PE,连接PD,O为AC中点.
(1)如图1,当点P在线段AO上时,试猜想PE与PD的数量关系和位置关系,不用说明理由;
(2)如图2,当点P在线段OC上时,
(1)中的猜想还成立吗?
请说明理由;
(3)如图3,当点P在AC的延长线上时,请你在图3中画出相应的图形(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法),并判断
(1)中的猜想是否成立?
若成立,请直接写出结论;若不成立,请说明理由.
26.如图:
四边形ABCD中,E、F、G、H分别为各边的中点,顺次连接E、F、G、H,把四边形EFGH称为中点四边形.连接AC、BD,容易证明:
中点四边形EFGH一定是平行四边形.
(1)如果改变原四边形ABCD的形状,那么中点四边形的形状也随之改变,通过探索可以发现:
当四边形ABCD的对角线满足AC=BD时,四边形EFGH为菱形.
当四边形ABCD的对角线满足 _________ 时,四边形EFGH为矩形;
当四边形ABCD的对角线满足 _________ 时,四边形EFGH为正方形;
(2)探索三角形AEH、三角形CFG与四边形ABCD的面积之间的等量关系,请写出你发现的结论,并加以证明;
(3)如果四边形ABCD的面积为2,那么中点四边形EFGH的面积是多少?
27.如图,四边形ABCD是正方形,点P是BC上任意一点,DE⊥AP于点E,BF⊥AP于点F,CH⊥DE于点H,BF的延长线交CH于点G.
(1)求证:
AF﹣BF=EF;
(2)四边形EFGH是什么四边形?
并证明;
(3)若AB=2,BP=1,求四边形EFGH的面积.
28.如图,在正方形ABCD中,点M在边AB上,点N在边AD的延长线上,且BM=DN.点E为MN的中点,DE的延长线与AC相交于点F.试猜想线段DF与线段AC的关系,并证你的猜想.
29.在图1到图3中,点O是正方形ABCD对角线AC的中点,△MPN为直角三角形,∠MPN=90°.正方形ABCD保持不动,△MPN沿射线AC向右平移,平移过程中P点始终在射线AC上,且保持PM垂直于直线AB于点E,PN垂直于直线BC于点F.
(1)如图1,当点P与点O重合时,OE与OF的数量关系为 _________ ;
(2)如图2,当P在线段OC上时,猜想OE与OF有怎样的数量关系与位置关系?
并对你的猜想结果给予证明;
(3)如图3,当点P在AC的延长线上时,OE与OF的数量关系为 _________ ;位置关系为 _________ .
30.以△ABC的各边,在边BC的同侧分别作三个正方形.他们分别是正方形ABDI,BCFE,ACHG,试探究:
(1)如图中四边形ADEG是什么四边形?
并说明理由.
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEG是矩形?
(3)当△ABC满足什么条件时,四边形ADEG是正方形?
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