数学分析上习题集含答案.docx
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数学分析上习题集含答案
《数学分析(上)》课程习题集
一、单选题
1.设在内有界,并且,则()
(A)(B)
(C)(D)A、B、C都不对
2.函数在的值为()
(A)(B)(C)(D)
3.函数,则是的()
(A)连续点(B)可去间断点
(C)跃度非的第一类间断点(D)第二类间断点
4.函数在处的导数为()
(A)(B)(C)(D)不存在
5.当充分小,时,函数的改变量与微分的关系是()
(A)(B)(C)(D)
6.与相同的函数有()
(A)(B)(C)
(D)(E)
7.设数列单调有界,则其极限()
(A)是上确界(B)是下确界
(C)可能是上确界也可能是下确界(D)不是上、下确界
8.当时,下列变量为等价无穷小量的是()
(A)与;(B)与;(C)与;(D)与
9.下面哪个极限值为()
(A)(B)(C)(D)
10.函数连续()
(A)必可导(B)是可导的充分条件
(C)是可导的必要条件(D)是可导的充要条件
11.函数是()
(A)偶函数(B)奇函数(C)非奇非偶函数(D)奇、偶函数
12.给数列,若在内有无穷多个数列的点,(其中为一取定的正数),
则()
(A)数列必有极限,但不一定等于(B)数列极限存在且一定等于
(C)数列的极限不一定存在(D)数列的极限一定不存在
13.设,要使在处连续,则=()
(A)(B)(C)(D)
14.设是连续函数,是的原函数,则下列结论正确的是()
(A)当是奇函数时,必是偶函数
(B)当是偶函数时,必是奇函数
(C)当是周期函数时,必是周期函数
(D)当是单调增函数时,必是单调增函数
15.设,,则当时是的()
(A)低阶无穷小(B)高阶无穷小
(C)等价无穷小(D)同阶但非等价无穷小
16.设点是的连续点,是的第一类间断点,则点是函数的()
(A)连续点(B)可能是连续点,亦可能是间断点
(C)第一类间断点(D)可能是第一类间断点,亦可能是第二类间断点
17.下列函数相同的是()
(A)与(B)与
(C)与
(D)与(E)与
18.设,其中为连续函数,则()
(A)(B)(C)0(D)不存在
19.若的导函数是,则有一个原函数为()
(A)1+(B)1-(C)1+(D)1-
20.设数列,则下列断言正确的是()
(A)若发散,则必发散(B)若无界,则必有界;
(C)若有界,则必为无穷小(D)若为无穷小,则必为无穷小
21.设[x]表示不超过x的最大整数,则是()
(A)无界函数(B)周期为1的周期函数
(C)单调函数(D)偶函数
22.当时,下列4个无穷小量中比其它3个更高阶的无穷小量是()
(A)(B)(C)(D)
23.设均存在,则()
(A)存在(B)存在但非零(C)不存在(D)不一定存在
24.若,在内且。
则在内有()
(A)(B)
(C)(D)
25.设为连续函数,且,则()
(A)(B)
(C)(D)
二、计算题
26.计算:
。
27.计算:
28.计算:
29.,求
30.,求
31.;求
32.计算:
33.计算:
34.求函数的单调区间、凹凸区间、极值点和拐点。
35.。
36.计算:
。
37.计算:
。
38.;求。
39.计算:
。
40.计算:
。
41.,求。
42.判定函数在点处的可导性。
43.求函数在处的次Taylor多项式。
44.。
45.当取何值时,函数在处连续。
46.计算:
。
47.计算:
。
48.,求。
49.,求。
50.计算:
。
51.计算:
。
52.计算:
。
53.求抛物线及其在点处的法线所围图形的面积。
54.求等边双曲线处的切线方程和法线方程。
55.求函数在的右导数,当与取何值时,函数在可导?
56.计算:
。
57.计算:
58.,求。
59.,求。
60.计算:
。
61.计算:
。
62.计算:
。
63.求的值,使函数在内连续、可导。
64.设是由方程所确定的隐函数,求.
65.已知的一个原函数是,求。
66.计算:
。
67.计算:
。
68.,求。
69.,求。
70.计算:
71.设连续,试求。
72.计算:
已知,其中某邻域内连续,求。
73.设在上可导,,试求。
74.已知点(1,3)是曲线的拐点,并且曲线在x=2处有极值,求a,b,c的值。
75.设连续,且。
三、判断题
76.无穷小量是很小很小的数。
()
77.若在点处连续,则在点处也连续。
()
78.若存在并且存在,则必存在。
()
79.。
()
80.。
()
81.若数列收敛,数列发散,则数列必发散。
()
82.无穷多个无穷小之和仍是无穷小。
()
83.凡分段函数必有间断点。
()
84.若为内的可导偶函数,则导函数必为内的奇函数。
()
85.的极限为。
()
86.若。
()
87.有界函数与无穷大的乘积是无穷大。
()
88.若在处连续,则存在。
()
89.初等函数在其定义区间内必可导。
()
90.若在[a,b]上可积,则在[a,b]上必有界。
()
91.若。
()
92.有界数列必定收敛。
()
93.若在[a,b)上连续,则在[a,b)上可取到最大值和最小值。
()
94.周期函数的可导数仍为周期函数。
()
95.任何有理函数的原函数都是初等函数。
()
96.。
()
97.若,则在点处连续。
()
98.若在处可导,则一定在处连续。
()
99.若在[a,b]上有界,则在[a,b]上可积。
()
100.此解法正确否?
。
()
四、填空题
101.已知,则的定义域为。
102.已知当时,与是等价无穷小,则常数=。
103.。
104.已知,则。
105.函数的极小值点是。
106.函数的值域是。
107.。
108.设在x=0处间断,则常数a与b应满足的关系是。
109.曲线,在t=2处的切线方程为。
110.曲线的拐点为。
111.函数的定义域是。
112.。
113.设在x=0处连续,则常数a=。
114.已知曲线,在点(1,1)处的切线与x轴的交点为,则。
115.函数在区间上的最大值为。
116.函数的值域是。
117.。
118.设的一个原函数,则。
119.曲线的向上凸区间是。
120.设是可导函数,且,则曲线在点(1,f
(1))处的切线斜率为。
121.设,则。
122.。
123.已知,则。
124.设连续,且,则。
125.设函数由参数方程所确定,则。
五、证明题
(略)……
答案
一、单选题
1.B
2.D
3.B
4.B
5.D
6.A
7.C
8.A
9.B
10.C
11.B
12.C
13.B
14.A
15.B
16.C
17.E
18.B
19.B
20.D
21.B
22.C
23.D
24.D
25.A
二、计算题
26.解:
3
5
27.解:
3
5
28.
29.解:
5
30.
31.解:
3
5
32.解:
3
5
33.解:
2
34.解:
,2
,5
_
_
_
_
极大值8
拐点
极小值-19
35.解:
36.解:
5
37.解:
5
38.解:
5
39.解:
5
40.解:
2
4
5
41.解:
5
42.解:
2
4
在处不可导。
5
43.解:
2
5
44.解:
4
5
45.解:
,
5
46.解:
5
47.解:
5
48.解:
2
4
5
49.解:
,(3)5
50.解:
5
51.解:
5
52.解:
5
53.解:
法线方程为:
,1
它与的交点为,3
5
54.解:
由导数的几何意义,得切线斜率为
所求的切线方程为4
所求的法线方程为5
55.解:
当使在点连续2
在点可导3
5
56.解:
5
57.解:
5
58.解:
3
5
59.解:
2
4
5
60.
61.解:
5
62.解:
5
63.解:
因为当或时,均为多项式,所以在和上连续、可导。
欲使在处连续,则应有
但.2
欲使在处可导,则应有:
但
4
故当,时,在内连续、可导。
5
64.解:
2
而5
65.解:
原式=2
又是的一个原函数,
则4
则原式=5
66.解:
3
5
67.解:
5
68.解:
两边求导得1
3
5
69.解:
5
70.解:
令,,1
原式3
5
71.解:
原式=。
5
72.解:
因为,则
2
5
73.解:
令
3
又故。
5
74.解:
是曲线的拐点,,即;2
又,即12-12+b=0,b=0,
在曲线上,4
于是得。
5
75.解:
原式=2。
5
三、判断题
76.×
77.×
78.√
79.×
80.×
81.√
82.×
83.×
84.√
85.×
86.√
87.×
88.√
89.×
90.√
91.×
92.×
93.×
94.√
95.√
96.√
97.×
98.√
99.×
100.×
四、填空题
101.
102.
103.1/2
104.1
105.
106.
107.
108.
109.
110.
111.
112.
113.
114.1/e
115.
116.
117.2
118.
119.
120.-2
121.
122.
123.
124.
125.
五、证明题
(略)……
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