高考数学总复习作业64椭圆二.docx
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高考数学总复习作业64椭圆二
题组层级快练(六十四)
1.已知椭圆E:
+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点,若AB的中点为M(1,-1),则E的方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1D.+=1
答案 D
解析 kAB==,kOM=-1,由kAB·kOM=-,得=,∴a2=2b2.∵c=3,∴a2=18,b2=9,椭圆E的方程为+=1.
2.(2018·南昌二模)已知椭圆:
+x2=1,过点P(,)的直线与椭圆相交于A,B两点,且弦AB被点P平分,则直线AB的方程为( )
A.9x-y-4=0B.9x+y-5=0
C.2x+y-2=0D.x+y-5=0
答案 B
解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为A,B在椭圆+x2=1上,所以两式相减得+x12-x22=0,得+(x1-x2)(x1+x2)=0,又弦AB被点P(,)平分,所以x1+x2=1,y1+y2=1,将其代入上式得+x1-x2=0,得=-9,即直线AB的斜率为-9,所以直线AB的方程为y-=-9(x-),即9x+y-5=0.
3.椭圆+=1上的点到直线x+2y-=0的最大距离是( )
A.3B.
C.2D.
答案 D
解析 设椭圆+=1上的点P(4cosθ,2sinθ),则点P到直线x+2y-=0的距离为d==,∴dmax==.
4.(2018·广东梅州阶段测评)已知椭圆E:
+=1的一个顶点C(0,-2),直线l与椭圆E交于A,B两点,若E的左焦点F1为△ABC的重心,则直线l的方程为( )
A.6x-5y-14=0B.6x-5y+14=0
C.6x+5y+14=0D.6x+5y-14=0
答案 B
解析 由题意知F1(-1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),
则∴①
设M为AB的中点,则M(-,1).
由作差得+=0,
将①代入上式得=.
即k=,由点斜式得,直线方程为y-1=(x+),即6x-5y+14=0.
5.(2018·广西南宁、梧州摸底联考)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,直线AF2与椭圆的另一个交点为C,若S△ABC=3S△BCF2,则椭圆的离心率为( )
A.B.
C.D.
答案 A
解析 设椭圆的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),将x=-c代入椭圆方程得y=±.设A(-c,),C(x,y),由S△ABC=3S△BCF2,可得=2,即有(2c,-)=2(x-c,y),即2c=2x-2c,-=2y,可得x=2c,y=-,代入椭圆方程可得+=1.由e=,b2=a2-c2,得4e2+-e2=1,解得e=,故选A.
6.已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A,B两点.若向量=3,则k=( )
A.1B.
C.D.2
答案 B
解析 设点A(x1,y1),B(x2,y2).因为=3,故y1=-3y2.因为e=,设a=2t,c=t,b=t,故x2+4y2-4t2=0,直线AB的方程为x=sy+t.代入消去x,所以(s2+4)y2+2sty-t2=0,所以y1+y2=-,y1y2=-,-2y2=-,-3y22=-,解得s2=,又k=,则k=.故选B.
7.已知直线l:
y=k(x+2)与椭圆x2+9y2=9交于A,B两点,若|AB|=2,则k=________.
答案 ±
解析 椭圆x2+9y2=9即椭圆+y2=1,所以椭圆的焦点坐标为(±2,0).因为直线y=k(x+2),所以直线过椭圆的左焦点F(-2,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),将直线y=k(x+2)代入椭圆x2+9y2=9,可得(1+9k2)x2+36k2x+72k2-9=0,所以x1+x2=-,x1x2=,所以|AB|=·=,因为|AB|=2,所以=2,所以k=±.
8.直线m与椭圆+y2=1交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为________.
答案 -
解析 由点差法可求出k1=-·,
∴k1·=-,即k1k2=-.
9.(2018·河北唐山期末)设F1,F2为椭圆C:
+=1(a>b>0)的左、右焦点,经过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若△F2AB是面积为4的等边三角形,则椭圆C的方程为________.
答案 +=1
解析 由△F2AB是面积为4的等边三角形知AB垂直x轴,得=×2c,×2c×=4,a2=b2+c2,解得a2=9,b2=6,c2=3.所以的椭圆方程为+=1.
10.椭圆Γ:
+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________.
答案 -1
解析 由直线y=(x+c)知其倾斜角为60°,
由题意知∠MF1F2=60°,则∠MF2F1=30°,∠F1MF2=90°.
故|MF1|=c,|MF2|=c.
又|MF1|+|MF2|=2a,∴(+1)c=2a.
即e==-1.
11.已知椭圆+=1(0 答案 3 解析 已知在椭圆+=1(0 12.(2018·衡水中学调研卷)过椭圆+y2=1的左焦点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,则点G的横坐标的取值范围为________. 答案 (-,0) 解析 设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0),代入+y2=1,整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,Δ=(4k2)2-4(1+2k2)×(2k2-2)=k2+1>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为N(x0,y0),则x1+x2=-,y1+y2=,∴AB的垂直平分线NG的方程为y-y0=-(x-x0).令y=0,得xG=x0+ky0=-+=-=-+.∵k≠0,∴- 13.(2018·江苏泰州中学月考)已知直线y=-x+1与椭圆+=1(a>b>0)相交于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点),若椭圆的离心率e∈[,],则a的最大值为________. 答案 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0, Δ=4a4-4(a2+b2)(a2-a2b2)>0,可得a2+b2>1且 ∵OA⊥OB,∴·=x1x2+y1y2=0,即2x1x2-(x1+x2)+1=0, ∴-+1=0,整理得a2+b2=2a2b2,a2+a2-c2=2a2(a2-c2), 2a2-a2e2=2a2(a2-a2e2),2a2==1+, ∵e∈[,],∴2a2∈[,5],即amax==. 14.已知椭圆C: +=1,过椭圆C上一点P(1,)作倾斜角互补的两条直线PA,PB,分别交椭圆C于A,B两点,求直线AB的斜率. 答案 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),同时设PA的方程为y-=k(x-1),代入椭圆方程化简得(k2+2)x2-2k(k-)x+k2-2k-2=0,显然1和x1是这个方程的两解.因此x1=,y1=,由-k代替x1,y1中的k,得x2=,y2=,所以=. 15.设F1,F2分别是椭圆E: x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过F1的直线l与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列. (1)求|AB|; (2)若直线l的斜率为1,求实数b的值. 答案 (1) (2) 解析 (1)由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4, 又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=. (2)l的方程为y=x+c,其中c=. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点坐标满足方程组 化简,得(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0. 则x1+x2=,x1x2=. 因为直线AB的斜率为1,所以|AB|=|x2-x1|. 即=|x2-x1|. 则=(x1+x2)2-4x1x2=-=,解得b=. 16.(2018·广东六校联盟二联)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0),直线y=kx与椭圆交于A,B两点. (1)若△AF1F2的周长为4+6,求椭圆的标准方程; (2)若|k|>,且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点,求椭圆离心率e的取值范围. 答案 (1)+=1 (2) 解析 (1)由题意得解得a=2. 结合a2=b2+c2,解得a2=12,b2=3. 所以椭圆的标准方程为+=1. (2)由消去y,得(b2+a2k2)x2-a2b2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=0,x1x2=,易知,AF2⊥BF2. 因为=(x1-3,y1),=(x2-3,y2), 所以·=(x1-3)(x2-3)+y1y2=(1+k2)x1x2+9=0, 即+9=0, 将其整理为k2==-1-. 因为|k|>,所以12 所以离心率 17.(2018·杭州市二中模拟)已知椭圆E的两个焦点分别为F1(-1,0)和F2(1,0),离心率为. (1)求椭圆E的方程; (2)设直线l: y=x+m(m≠0)与椭圆E交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点T,当m变化时,求△TAB面积的最大值. 答案 (1)+y2=1 (2) 解析 (1)根据题意得解得 所以椭圆E的方程为+y2=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立化简得3x2+4mx+2m2-2=0. ∵直线与椭圆有两个不同的交点, ∴Δ=(4m)2-12(2m2-2)>0, 即- 由根与系数的关系,得x1+x2=-, x1x2=. 设AB的中点为C,xC==-,yC=xC+m=. ∴线段AB的垂直平分线的方程为y-=-(x+). ∴点T的坐标为(-,0). T到直线AB的距离d==|m|, 由弦长公式得|AB|==. ∴S△TAB=×|m|×=≤, 当m2=,即m=±∈(-,)时等号成立. ∴S△TABmax=. 1.由椭圆b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的顶点B(0,-b)引一条弦BP,当a≥b时,|BP|的最大值为( ) A.B. C.D. 答案 B 解析 设P(x,y),因为x2=a2-y2(-b 2.(2018·广西来宾高中模拟)已知椭圆C: +=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆C上,且直线PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1的斜率的取值范围是( ) A.[,]B.[,] C.[,1]D.[,2] 答案 A 解析 由题易知A1(-2,0),A2(2,0),设P(x,y),直线PA1,PA2的斜率分别为k1,k2,则k1k2=·===-,所以k1=-×.因为k2∈[-2,-1],所以k1∈[,],故选A. 3.已知椭圆具有如下性质: 若椭圆的方程为+=1(a>b>0),则椭圆在其上一点A(x0,y0)处的切线方程为+=1.试运用该性质解决以下问题,椭圆C1: +=1(a>b>0),其焦距为2,且过点(1,),点B为C1在第一象限中的任意一点,过B作C1的切线l,l分别与x轴和y轴的正半轴交于C,D两点,则△OCD面积的最小值为( ) A.B. C.D.2 答案 B 解析 由题意可得2c=2,即c=1,a2-b2=1,将点(1,)代入椭圆方程,可得+=1,解得a=,b=1,即椭圆的方程为+y2=1,设B(x2,y2),则椭圆C1在点B处的切线方程为x+y2y=1,令x=0,得yD=,令y=0,可得xC=,所以S△OCD=··=,又点B为椭圆在第一象限上的点,所以x2>0,y2>0,+y22=1,即有==+≥2=,即S△OCD≥,当且仅当=y22=,即点B的坐标为(1,)时,△OCD面积取得最小值,故选B. 4.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的一个顶点A(2,0),离心率为,直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N. (1)求椭圆C的方程; (2)当△AMN的面积为时,求实数k的值. 答案 (1)+=1 (2)k=±1 解析 (1)∵a=2,e==,∴c=,b=. 椭圆C: +=1. (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则由消y,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. ∵直线y=k(x-1)恒过椭圆内一点(1,0), ∴Δ>0恒成立. 由根与系数的关系,得x1+x2=,x1x2=. S△AMN=×1×|y1-y2|=×|kx1-kx2| ===. 即7k4-2k2-5=0,解得k=±1. 5.(2018·河北保定期末)已知椭圆C: +=1(a>b>0)的右焦点为(1,0),离心率为. (1)求椭圆C的标准方程; (2)过点P(0,3)的直线m与C交于A,B两点,若A是PB的中点,求直线m的方程. 答案 (1)+=1 (2)y=-x+3或y=x+3 解析 (1)椭圆C: +=1(a>b>0)的焦点在x轴上,右焦点为(1,0),则c=1, 由椭圆的离心率e==,得b2=a2-c2=3, ∴椭圆C的标准方程为+=1. (2)若直线m的斜率不存在,可得点A的坐标为(0,),点B的坐标为(0,-),显然不满足条件,故此时方程不存在.
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- 高考 数学 复习 作业 64 椭圆
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