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高等数学(上)重要知识点归纳
第1章函数、极限与连续
1、极限的定义与性质
1、定义(以数列为例)
当时,
2、性质
(1),其中为某一个无穷小。
(2)(保号性)若,则当时,。
(3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。
2、求极限的主要方法与工具
1、*两个重要极限公式
(1)
(2)
2、两个准则
(1)*夹逼准则
(2)单调有界准则
3、*等价无穷小替换法
常用替换:
当时
(1)
(2)
(3)(4)
(5)(6)
(7)(8)
4、分子或分母有理化法5、分解因式法6用定积分定义
3、无穷小阶的比较*高阶、同阶、等价
4、连续与间断点的分类
1、连续的定义*
在点连续
2、间断点的分类
3、曲线的渐近线*
5、闭区间连续函数性质
1、最大值与最小值定理
2、介值定理和零点定理
第2章导数与微分
1、导数的概念
1、导数的定义*
2、左右导数
左导数
右导数
3、导数的几何意义*
4、导数的物理意义
5、可导与连续的关系:
2、导数的运算
1、四则运算
2、复合函数求导设,一定条件下
3、反函数求导设互为反函数,一定条件下:
4、求导基本公式*(要熟记)
5、隐函数求导*方法:
在两端同时对求导,其中要注意到:
是中间变量,然后再解出
6、参数方程确定函数的求导*,一定条件下(可以不记)
7、常用的高阶导数公式
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)(莱布尼茨公式)
3、微分的概念与运算
1、微分定义*
若,则可微,记
2、公式:
3、可微与可导的关系*两者等价
4、近似计算当,
第3章导数的应用
1、微分中值定理*
1、柯西中值定理*
当取时,定理演变成:
2、拉格朗日中值定理*
当加上条件则演变成:
3、罗尔定理*
4、泰勒中值定理
在一定条件下:
其中介于之间.
当公式中n=0时,定理演变成拉格朗日定理.
当时,公式变成:
5、麦克劳林公式
6、常用麦克劳林展开式
(1)
(2)
(3)
(4)
2、罗比达法则*
记住:
法则仅能对型直接用,对于转化后用.幂指函数恒等式*
3、单调性判别*
1、
2、单调区间分界点:
驻点和不可导点.
4、极值求法*
1、极值点来自:
驻点或不可导点(可疑点).
2、求出可疑点后再加以判别.
3、第一判别法:
左右导数要异号,由正变负为极大,由负变正为极小.
4、第二判别法:
一阶导等于0,二阶导不为0时,是极值点.正为极小,负为极大.
5、闭区间最值求法*
找出区间内所有驻点、不可导点、区间端点,比较大小.
6、凹凸性与拐点*
1、
2、拐点:
曲线上凹凸分界点.
横坐标不外乎,找到后再加以判别附近的二阶导数是否变号.
7、曲率与曲率半径
1、曲率公式
2、曲率半径
第4章不定积分
1、不定积分的概念*
若在区间上,,
则称
称全体原函数F(x)+c为f(x)的不定积分,记为.
2、微分与积分的互逆关系
1、
2、
3、积分法*
1、凑微分法*
2、第二类换元法
3、分部积分法*
4、常用的基本积分公式(要熟记).
第5章定积分
1、定积分的定义
2、可积的必要条件有界.
3、可积的充分条件连续或只有有限个第一类间断点或单调.
4、几何意义定积分等于面积的代数和.
5、主要性质*
1、可加性
2、估值在[a,b]上,
3、积分中值定理*
当f(x)在[a,b]上连续时:
4、函数平均值:
6、变上限积分函数*
1、
2、
7、牛-莱公式*
8、定积分的积分法*
1、换元法牢记:
换元同时要换限
2、分部积分法
3、特殊积分
(1)
(2)当f(x)为周期为T的周期函数时:
(3)一定条件下:
(4)
(5)
9、反常积分*
1、无穷区间上
其他类似
2、p积分:
3、瑕积分:
若a为瑕点:
则其他类似处理
第六章定积分应用
1、几何应用
1、面积
(1)
(2)则
(3)
2、体积*
(1)旋转体体积*或
(2)截面面积为的立体体积为
3、弧长
(1)
(2)
(3)
二、物理应用
1、变力作功
一般地:
先求功元素:
,再积分
克服重力作功的功元素dw=体积位移
2、水压力
dP=水深面积
第七章微分方程
1、可分离变量的微分方程
形式:
二、一阶线性微分方程*
1、线性齐次:
通解公式*:
2、线性非齐次
通解公式*:
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