学年最新苏科版八年级数学上册《全等三角形》单元综合测试解析版精品试题.docx
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学年最新苏科版八年级数学上册《全等三角形》单元综合测试解析版精品试题
《第1章全等三角形》
一、选择题
1.如图,OA=OB,OC=OD,∠O=50°,∠D=35°,则∠AEC等于( )
A.60°B.50°C.45°D.30°
2.如图,小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离,如果△PQO≌△NMO,则只需测出其长度的线段是( )
A.POB.PQC.MOD.MQ
3.已知△A1B1C1,△A2B2C2的周长相等,现有两个判断:
①若A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,则△A1B1C1≌△A2B2C2;
②若∠A1=∠A2,∠B1=∠B2,则△A1B1C1≌△A2B2C2,
对于上述的两个判断,下列说法正确的是( )
A.①正确,②错误B.①错误,②正确C.①,②都错误D.①,②都正确
4.如图,已知点A、D、C、F在同一条直线上,AB=DE,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需要添加一个条件是( )
A.∠BCA=∠FB.∠B=∠EC.BC∥EFD.∠A=∠EDF
5.如图,已知∠1=∠2,AC=AD,增加下列条件:
①AB=AE;②BC=ED;③∠C=∠D;④∠B=∠E.其中能使△ABC≌△AED的条件有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
6.如图,△ABD与△ACE均为正三角形,且AB<AC,则BE与CD之间的大小关系是( )
A.BE=CDB.BE>CD
C.BE<CDD.大小关系不确定
7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC、∠ACB的平分线BD,CE相交于O点,且BD交AC于点D,CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论:
①△BCD≌△CBE;②△BAD≌△BCD;③△BDA≌△CEA;④△BOE≌△COD;⑤△ACE≌△BCE;上述结论一定正确的是( )
A.①②③B.②③④C.①③⑤D.①③④
8.如图所示,已知△ABC和△DCE均是等边三角形,点B,C,E在同一条直线上,AE与BD与BD交于点O,AE与CD交于点G,AC与BD交于点F,连接OC,FG,其中正确结论的个数是( )
①AE=BD;②AG=BF;③FG∥BE;④∠BOC=∠EOC.
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题
9.如图,为了使一扇旧木门不变形,木工师傅在木门的背后加钉了一根木条,这样做的道理是 .
10.如图,OA=OB,OC=OD,∠O=60°,∠C=25°,则∠BED等于 .
11.如图,已知点C是∠AOB平分线上的点,点P、P′分别在OA、OB上,如果要得到OP=OP′,需要添加以下条件中的某一个即可:
①∠OCP=∠OCP′;②∠OPC=∠OP′C;③PC=P′C;④PP′⊥OC.请你写出所有可能的结果的序号:
.
12.如图所示,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.给出下列结论:
①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN.其中正确的结论是 .(将你认为正确的结论的序号都填上)
13.如图:
在四边形ABCD中,AD=DC,∠ADC=∠ABC=90°,DE⊥AB于E,若四边形ABCD的面积为16,则DE的长为 .
14.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,已知EH=EB=3,AE=4,则CH的长是 .
15.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2cm,CD⊥AB,在AC上取一点E,使EC=BC,过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F,若EF=5cm,则AE= cm.
16.如图,小明为了测量河的宽度,他站在河边的点C,头顶为点D,面向河对岸,压低帽檐使目光正好落在河对岸的岸边点A,然后他姿势不变,在原地方转了180°,正好看见了他所在的岸上的一块石头点B,他测出BC=30m,你能猜出河有多宽吗?
说说理由.答:
m.
17.如图,高速公路上有A、B两点相距25km,C、D为两村庄.已知DA=10km,CB=15km.DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,现要在AB上建一个服务站E,使得C,D两村庄到E站的距离相等,则AE的长是 km.
18.已知三角形的两边长分别为5和7,则第三边上的中线长x的取值范围是 .
三、解答题
19.如图,把大小为4×4的正方形方格图形分别分割成两个全等图形,例如图①,请在下图中,沿着虚线画出四种不同的分法,把4×4的正方形分割成两个全等图形.
20.已知:
AD∥BC,AD=CB,AE=CF,请问∠B=∠D吗?
为什么?
21.如图,已知:
CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,且BD=CE,BE交CD于点O.求证:
AO平分∠BAC.
22.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,E为AC上的一动点(不与A重合),在E移动过程中BE和DE是否相等?
若相等,请写出证明过程;若不相等,请说明理由.
23.如图,在四边形ABCD中,AB=BC,BF是∠ABC的平分线,AF∥DC,连接AC,CF.求证:
CA是∠DCF的平分线.
24.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=90°,B,C,E在同一条直线上,连接DC.
(1)请找出图2中与△ABE全等的三角形,并给予证明(说明:
结论中不得含有未标识的字母);
(2)证明:
DC⊥BE.
25.如图1,△ABC的边BC在直线l上,AC⊥BC,且AC=BC;△EFP的边FP也在直线l,边EF与边AC重合,且EF=FP.
(1)在图1中,请你通过观察、测量,猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系;
(2)将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时,EP交AC于点Q,连接AP,BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想;
(3)将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连接AP,BQ.你认为
(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?
若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.
《第1章全等三角形》
参考答案与试题解析
一、选择题
1.如图,OA=OB,OC=OD,∠O=50°,∠D=35°,则∠AEC等于( )
A.60°B.50°C.45°D.30°
【考点】全等三角形的判定与性质;多边形内角与外角.
【分析】首先由已知可求得∠OAD的度数,通过三角形全等及四边形的知识求出∠AEB的度数,然后其邻补角就可求出了.
【解答】解:
∵在△AOD中,∠O=50°,∠D=35°,
∴∠OAD=180°﹣50°﹣35°=95°,
∵在△AOD与△BOC中,OA=OB,OC=OD,∠O=∠O,
∴△AOD≌△BOC,
故∠OBC=∠OAD=95°,
在四边形OBEA中,∠AEB=360°﹣∠OBC﹣∠OAD﹣∠O,
=360°﹣95°﹣95°﹣50°,
=120°,
又∵∠AEB+∠AEC=180°,
∴∠AEC=180°﹣120°=60°.
故选:
A.
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质;解题过程中用到了三角形、四边形的内角和的知识,要根据题目的要求及已知条件的位置综合运用这些知识.
2.如图,小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离,如果△PQO≌△NMO,则只需测出其长度的线段是( )
A.POB.PQC.MOD.MQ
【考点】全等三角形的应用.
【分析】利用全等三角形对应边相等可知要想求得MN的长,只需求得其对应边PQ的长,据此可以得到答案.
【解答】解:
要想利用△PQO≌△NMO求得MN的长,只需求得线段PQ的长,
故选:
B.
【点评】本题考查了全等三角形的应用,解题的关键是如何将实际问题与数学知识有机的结合在一起.
3.已知△A1B1C1,△A2B2C2的周长相等,现有两个判断:
①若A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,则△A1B1C1≌△A2B2C2;
②若∠A1=∠A2,∠B1=∠B2,则△A1B1C1≌△A2B2C2,
对于上述的两个判断,下列说法正确的是( )
A.①正确,②错误B.①错误,②正确C.①,②都错误D.①,②都正确
【考点】全等三角形的判定.
【专题】压轴题.
【分析】根据SSS即可推出△A1B1C1≌△A2B2C2,判断①正确;根据“两角法”推知两个三角形相似,然后结合两个三角形的周长相等推出两三角形全等,即可判断②.
【解答】解:
∵△A1B1C1,△A2B2C2的周长相等,A1B1=A2B2,A1C1=A2C2,
∴B1C1=B2C2,
∴△A1B1C1≌△A2B2C2(SSS),∴①正确;
∵∠A1=∠A2,∠B1=∠B2,
∴△A1B1C1∽△A2B2C2
∵△A1B1C1,△A2B2C2的周长相等,
∴△A1B1C1≌△A2B2C2
∴②正确;
故选:
D.
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用,注意:
全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,而AAA和SSA不能判断两三角形全等.
4.如图,已知点A、D、C、F在同一条直线上,AB=DE,BC=EF,要使△ABC≌△DEF,还需要添加一个条件是( )
A.∠BCA=∠FB.∠B=∠EC.BC∥EFD.∠A=∠EDF
【考点】全等三角形的判定.
【分析】全等三角形的判定方法SAS是指有两边对应相等,且这两边的夹角相等的两三角形全等,已知AB=DE,BC=EF,其两边的夹角是∠B和∠E,只要求出∠B=∠E即可.
【解答】解:
A、根据AB=DE,BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF,故本选项错误;
B、∵在△ABC和△DEF中
,
∴△ABC≌△DEF(SAS),故本选项正确;
C、∵BC∥EF,
∴∠F=∠BCA,根据AB=DE,BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF,故本选项错误;
D、根据AB=DE,BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF,故本选项错误.
故选B.
【点评】本题考查了对平行线的性质和全等三角形的判定的应用,注意:
有两边对应相等,且这两边的夹角相等的两三角形才全等,题目比较典型,但是一道比较容易出错的题目.
5.如图,已知∠1=∠2,AC=AD,增加下列条件:
①AB=AE;②BC=ED;③∠C=∠D;④∠B=∠E.其中能使△ABC≌△AED的条件有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
【考点】全等三角形的判定.
【分析】∠1=∠2,∠BAC=∠EAD,AC=AD,根据三角形全等的判定方法,可加一角或已知角的另一边.
【解答】解:
已知∠1=∠2,AC=AD,由∠1=∠2可知∠BAC=∠EAD,
加①AB=AE,就可以用SAS判定△ABC≌△AED;
加③∠C=∠D,就可以用ASA判定△ABC≌△AED;
加④∠B=∠E,就可以用AAS判定△ABC≌△AED;
加②BC=ED只是具备SSA,不能判定三角形全等.
其中能使△ABC≌△AED的条件有:
①③④
故选:
B.
【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、SSA、HL.做题时要根据已知条件在图形上的位置,结合判定方法,进行添加.
6.如图,△ABD与△ACE均为正三角形,且AB<AC,则BE与CD之间的大小关系是( )
A.BE=CDB.BE>CD
C.BE<CDD.大小关系不确定
【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.
【分析】由全等三角形的判定可证明△BAE≌△DAC,从而得出BE=CD.
【解答】解:
∵△ABD与△ACE均为正三角形
∴BA=DA,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°
∴∠BAE=∠DAC
∴△BAE≌△DAC
∴BE=CD
故选A.
【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、SAS、HL.
注意:
AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC、∠ACB的平分线BD,CE相交于O点,且BD交AC于点D,CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论:
①△BCD≌△CBE;②△BAD≌△BCD;③△BDA≌△CEA;④△BOE≌△COD;⑤△ACE≌△BCE;上述结论一定正确的是( )
A.①②③B.②③④C.①③⑤D.①③④
【考点】全等三角形的判定;等腰三角形的性质.
【分析】根据等腰三角形的性质及角平分线定义可得有关角之间的相等关系.运用三角形全等的判定方法AAS或ASA判定全等的三角形.
【解答】解:
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE.
∴①△BCD≌△CBE(ASA);
③△BDA≌△CEA(ASA);
④△BOE≌△COD(AAS或ASA).
故选D.
【点评】此题考查等腰三角形的性质和全等三角形的判定,难度不大.
8.如图所示,已知△ABC和△DCE均是等边三角形,点B,C,E在同一条直线上,AE与BD与BD交于点O,AE与CD交于点G,AC与BD交于点F,连接OC,FG,其中正确结论的个数是( )
①AE=BD;②AG=BF;③FG∥BE;④∠BOC=∠EOC.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;平行线分线段成比例.
【专题】几何综合题;压轴题.
【分析】根据题意,结合图形,对选项一一求证,判定正确选项.
【解答】解:
(1)△ABC和△DCE均是等边三角形,点B,C,E在同一条直线上,
∴AC=BC,EC=DC,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACE=∠BCD=120°,
在△BCD和△ACE中
∵
,
∴△BCD≌△ACE
∴AE=BD,故结论①正确;
(2)∵△BCD≌△ECA,
∴∠GAC=∠FBC,
又∵∠ACG=∠BCF=60°,AC=BC
∴△ACG≌△BCF,
∴AG=BF,故结论②正确;
(3)∠DCE=∠ABC=60°,∴DC∥AB,∴
,
∵∠ACB=∠DEC=60°,∴DE∥AC,∴
=
,
∴
,∴FG∥BE,故结论③正确;
(4)
过C作CN⊥AE于N,CZ⊥BD于Z,
则∠CNE=∠CZD=90°,
∵△ACE≌△BCD,
∴∠CDZ=∠CEN,
在△CDZ和△CEN中
∵
,
∴△CDZ≌△CEN,
∴CZ=CN,
∵CN⊥AE,CZ⊥BD,
∴∠BOC=∠EOC,故结论④正确.
综上所述,四个结论均正确,故本题选D.
【点评】本题综合考查了全等、圆、相似、特殊三角形等重要几何知识点,有一定难度,需要学生将相关知识点融会贯通,综合运用.
二、填空题
9.如图,为了使一扇旧木门不变形,木工师傅在木门的背后加钉了一根木条,这样做的道理是 利用三角形的稳定性 .
【考点】三角形的稳定性.
【分析】三角形具有稳定性,其它多边形不具有稳定性,把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变.
【解答】解:
这样做的道理是利用三角形的稳定性.
【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用,三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用,如钢架桥、房屋架梁等,因此要使一些图形具有稳定的结构,往往通过连接辅助线转化为三角形而获得.
10.如图,OA=OB,OC=OD,∠O=60°,∠C=25°,则∠BED等于 70° .
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】在△BCO中利用外角和定理求得∠DBE的度数,然后证明△ADO≌△BCO,求得∠D的度数,在△BED中利用内角和定理求解.
【解答】解:
∠DBE=∠O+∠C=60°+25°=85°,
∵在△ADO和△BCO,
,
∴△ADO≌△BCO,
∴∠D=∠C=25°,
∴∠BED=180°﹣∠D﹣∠DBE=180°﹣25°﹣85°=70°.
故答案是:
70°.
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质,以及三角形的外角的性质以及三角形内角和定理,正确证明△ADO≌△BCO是关键.
11.如图,已知点C是∠AOB平分线上的点,点P、P′分别在OA、OB上,如果要得到OP=OP′,需要添加以下条件中的某一个即可:
①∠OCP=∠OCP′;②∠OPC=∠OP′C;③PC=P′C;④PP′⊥OC.请你写出所有可能的结果的序号:
①②④ .
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】要得到OP=OP′就要证明两三角形全等,现有的条件为有一对角相等,一条公共边,缺少角,于是答案可得.
【解答】解:
①OCP=∠OCP′,符合ASA,可得二三角形全等,从而得到OP=OP′;
②∠OPC=∠OP′C;符合AAS,可得二三角形全等,从而得到OP=OP′;
④PP′⊥OC,符合ASA,可得二三角形全等,从而得到OP=OP′;
③中给的条件是边边角,全等三角形判定中没有这个定理.
故填①②④.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质;转化为添加条件使三角形全等是正确解答本题的关键.
12.如图所示,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.给出下列结论:
①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN.其中正确的结论是 ①②③ .(将你认为正确的结论的序号都填上)
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】此题考查的是全等三角形的判定和性质的应用,只要先找出图中的全等三角形就可判断题中结论是否正确.
【解答】解:
∵∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,
∴△ABE≌△ACF,
∴AC=AB,BE=CF,即结论②正确;
∵AC=AB,∠B=∠C,∠CAN=∠BAM,
∴ACN≌△ABM,即结论③正确;
∵∠BAE=∠CAF,
∵∠1=∠BAE﹣∠BAC,∠2=∠CAF﹣∠BAC,
∴∠1=∠2,即结论①正确;
∴△AEM≌△AFN,
∴AM=AN,∴CM=BN,
∴△CDM≌△BDN,∴CD=BD,
∴题中正确的结论应该是①②③.
故答案为:
①②③.
【点评】此题考查了三角形全等的判定和性质;对图中的全等三角形作出正确判断是正确解答本题的关键.
13.如图:
在四边形ABCD中,AD=DC,∠ADC=∠ABC=90°,DE⊥AB于E,若四边形ABCD的面积为16,则DE的长为 4 .
【考点】全等三角形的判定与性质;三角形的面积.
【专题】计算题.
【分析】可过点C作CF⊥DE,得出Rt△ADE≌Rt△DCF,得出线段之间的关系,进而将四边形的面积转化为矩形BCFE的面积与2个△CDF的面积,通过线段之间的转化,即可得出结论.
【解答】解:
过点C作CF⊥DE交DE于F,
∵AD=CD,∠ADE=90°﹣∠CDF=∠DCF,∠AED=∠DFC=90°,
∴△ADE≌△DCF(AAS),
∴DE=CF=BE,
又四边形ABCD的面积为16,即S矩形BCFE+2S△CDF=16,
即BE•EF+2×
CF•DF=16,
BE•DE=BE•BE=16,解得DE=4.
故此题答案为4.
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形、矩形面积的计算,能够熟练掌握.
14.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,已知EH=EB=3,AE=4,则CH的长是 1 .
【考点】全等三角形的判定与性质.
【专题】几何图形问题.
【分析】根据AD⊥BC,CE⊥AB,得出∠ADB=∠AEH=90°,再根据∠BAD=∠BCE,利用AAS得到△HEA≌△BEC,由全等三角形的对应边相等得到AE=EC,由HC=EC﹣EH代入计算即可.
【解答】解:
∵AD⊥BC,CE⊥AB,
∴∠ADB=∠AEH=90°,
∵∠AHE=∠CHD,
∴∠BAD=∠BCE,
∵在△HEA和△BEC中,
,
∴△HEA≌△BEC(AAS),
∴AE=EC=4,
则CH=EC﹣EH=AE﹣EH=4﹣3=1.
故答案为:
1.
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质,用到的知识点是全等三角形的判定与性质,解题的关键是找出图中的全等三角形,并进行证明.
15.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2cm,CD⊥AB,在AC上取一点E,使EC=BC,过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F,若EF=5cm,则AE= 3 cm.
【考点】全等三角形的判定与性质.
【分析】根据直角三角形的两锐角互余的性质求出∠ECF=∠B,然后利用“角边角”证明△ABC和△FCE全等,根据全等三角形对应边相等可得AC=EF,再根据AE=AC﹣CE,代入数据计算即可得解.
【解答】解:
∵∠ACB=90°,
∴∠ECF+∠BCD=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠BCD+∠B=90°,
∴∠ECF=∠B(等角的余角相等),
在△FCE和△ABC中,
,
∴△ABC≌△FEC(ASA),
∴AC=EF,
∵AE=AC﹣CE,BC=2cm,EF=5cm,
∴AE=5﹣2=3cm.
故答案为:
3.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,根据直角三角形的性质证明得到∠ECF=∠B是解题的关键.
16.如图,小明为了测量河的宽度,他站在河边的点C,头顶为点D,面向河对岸,压低帽檐使目光正好落在河对岸的岸边点A,然后他姿势不变,在原地方转了180°,正好看见了他所在的岸上的一块石头点B,他测出BC=30m,你能猜出河有多宽吗?
说说理由.答:
30 m.
【考点】全等三角形的应用.
【专题】应用题.
【分析】要转化为数学问题,须仔细读题,找出有用的已知条件,其中∠BDC=∠ADC是不易被发现的.
【解答】解:
由题意知∠BCD=∠ACD=90°,CD=CD,∠BDC=∠ADC,
∴△BCD≌△ACD,
∴AC=BC=30m.
故答案为:
30.
【点评】解决本题的关键是条件∠BDC=∠ADC的找出,做题时要认真读题,理解题意,这是正确解题的保证.
17.如图,高速公路上有A、B两点相距25km,C、D为两村庄.已知DA=10km,CB=15km.DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,现要在AB上建一个服务站E,使得C,D两村庄到E站的距离相等,则AE的长是 15 km.
【考点】全等三角形的应用.
【分析】根据题意设出AE的长为x,再由勾股定理列出方程求解即可.
【解答】解:
设AE=x,则BE=25﹣x,
由勾股定理得:
在Rt△ADE中,
DE2=AD2+AE2=102+x2,
在Rt△BCE中,
CE2=BC2+BE2=152+(25﹣x)2,
由题意可知:
DE=CE,
所以:
102+x2=152+(25﹣x)2,
解得:
x=15km.
所以,E应建在距A点15km处.
故答案为:
15
【点评】本题考查正确运用勾股定理,善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.
18.已知三角形的两边长分别为5和7,则第三边上的中线长x的取值范围是 1<x<6 .
【考点】三角形三边关系;全等三角形的判定与性质.
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边
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