向量在代数中的应用.docx
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向量在代数中的应用
向量在代数中的应用
向量作为工具性知识已列入中学教材之中,其应用价值已被广大师生认可。
用向量知识解题,方法新颖、运算简捷,是启迪学生思维的有效途径之一。
但向量是以几何的形式出现的,给人的感觉是在几何中应用广泛,其实用向量来解决代数中的一些问题也很方便。
下面就介绍这方面的应用。
1.等式证明
证明等式一般说来都要进行繁杂的运算,如果等式具有向量代数某些特征时,应用向量知识较为简单。
例1.已知,且x,y,z,a,b,c为非零实数,求证。
分析:
由实数x,y,z与实数a,b,c对应成比例,联想到向量平行,进而联想到向量坐标。
解:
构造向量
m与n的夹角为θ,,则
由此得θ=0或θ=π
所以m//n
因此
例2.已知,求证。
分析:
题设与结论都与1有关,由题设联想到向量。
解:
设
n与m的夹角为θ,
则
又
所以cosθ=1,θ=0
所以m//n
因此
移项两边平方,经整理可得
2.不等式证明
证明不等式主要依据有关向量的不等式
例3.已知a,b,c,且,求证。
解:
构造向量
所以
由向量不等式得
即
3.解有关三角问题
例4.求函数的最值。
解:
原式可化为
令
构造向量
则
所以
例5.已知,且,求α,β的值。
解:
原条件可化为
构造向量
则
由α,β的地位相同知
4.求解无理函数的最值
求无理函数最值问题,按常规方法求解具有一定的难度,若能用向量知识解答将会使求解变得容易。
首先我们来看几个向量的性质:
性质1若,则
当且仅当时等式成立
性质2,当且仅当a,同向平行时右边等式成立,a,反向平行时左边等式成立。
性质3,当且仅当方向相同且两两平行时等式成立。
(1)型(同号)
例6.求函数的最大值。
解:
构造向量
由性质1,得
当且仅当,即时,
(2)型
例7.求函数的最大值。
解:
原函数可变为
取且
构造向量
由性质1,得
从而
当且仅当,即时,
(3)型()
例8.求函数的最小值。
解:
构造向量
由性质2,得
当且仅当a与b同向平行时等式成立
所以(此时)
(4)其它类型
例9.设(i=1,2,……,2003)为正实数,且,试求的最小值。
解:
构造向量
由性质3,得
即
例10.已知,求的最小值。
解:
构造向量
从而
由性质3,得
所以
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- 向量 代数 中的 应用
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