锁定高考高考数学文一轮总复习训练手册29 函数模型及其应用.docx
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锁定高考高考数学文一轮总复习训练手册29 函数模型及其应用.docx
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锁定高考高考数学文一轮总复习训练手册29函数模型及其应用
高效达标
A组 基础达标
(时间:
30分钟 满分:
50分)
若时间有限,建议选讲5,7,9
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2013·济南模拟)设甲、乙两地的距离为a(a>0),小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20min,在乙地休息10min后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了30min,则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为(D)
解析:
注意到y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移.选D.
2.(2014·湖北三校联考)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税,税率为R%(即每销售100元征税R元),若年销售量为
万件,要使附加税不少于128万元,则R的取值范围是(A)
A.[4,8]B.[6,10]C.[4%,8%]D.[6%,10%]
解析:
根据题意得,要使附加税不少于128万元,需
×160×R%≥128,整理得R2-12R+32≤0,解得4≤R≤8,即R∈[4,8].
3.(2014·朝阳模拟)由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,若每隔5年计算机的价格降低
,现在价格为8100元的计算机经过15年价格应降为(B)
A.2000元B.2400元C.2800元D.3000元
解析:
设经过3个5年,产品价格为y元,则y=8100×
=2400.
4,(2013·宁波模拟)某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:
每位职工每月用水不超过10m3的,按每立方米m元的水费收费;用水超过10m3的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水为(A)
A.13m3B.14m3C.18m3D.26m3
解析:
设该职工用水xm3时,缴纳的水费为y元,由题意得y=
则10m+(x-10)·2m=16m,解得x=13.
5.(2014·揭阳调研)甲、乙两人同时从A地出发前往B地,甲在前一半时间以速度v1行驶,在后一半时间以速度v2行驶,乙在前一半路程以速度v1行驶,在后一半路程以速度v2行驶,v1≠v2.则下列说法正确的是(A)
A.甲先到达B地
B.乙先到达B地
C.甲、乙同时到达B地
D.无法确定谁先到达B地
解析:
将A,B两地间的距离看成1,设甲从A地出发到达B地所用的时间为t1,乙从A地出发到达B地所用的时间为t2,则t1=
,t2=
+
=
,∵t1-t2=
-
=
=-
<0,即t1<t2,故选A.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2013·本溪模拟)某电脑公司2012年的各项经营收入中,经营电脑配件的收入为400万元,占全年经营总收入的40%.该公司预计2014年经营总收入要达到1690万元,且计划从2012年到2014年,每年经营总收入的年增长率相同,2013年预计经营总收入为 1300 万元.
解析:
设年增长率为x,则有
×(1+x)2=1690,1+x=
,因此2013年预计经营总收入为
×
=1300(万元).
7.(2014·河南调研)为了在“十一”黄金周期间降价促销,某超市对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:
①如果不超过200元,则不予优惠;②如果超过200元,但不超过500元,则按标价给予9折优惠;③如果超过500元,其中500元按第②条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.辛云和她母亲两次去购物,分别付款168元和423元,假设她们一次性购买上述同样的商品,则应付款额为 546.6元
解析:
依题意,价值为x元商品和实际付款数f(x)之间的函数关系式为f(x)=
当f(x)=168时,由168÷0.9≈187<200,故此时x=168;当f(x)=423时,由423÷0.9=470∈(200,500],故此时x=470.∴两次共购得价值为470+168=638(元)的商品,∴500×0.9+(638-500)×0.7=546.6(元),故若一次性购买上述商品,应付款额为546.6元.
8.(2014·镇江模拟)如图,书的一页的面积为600cm2,设计要求书面上方空出2cm的边,下、左、右方都空出1cm的边,为使中间文字部分的面积最大,这页书的长、宽应分别为 30cm,20cm
解析:
设长为acm,宽为bcm,则ab=600,则中间文字部分的面积S=(a-3)(b-2)=606-(2a+3b)≤606-2
=486,当且仅当2a=3b,即a=30,b=20时,S最大=486.
三、解答题(共10分)
9.高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4500元/台.当笔记本电脑销售价为6000元/台时,月销售量为a台.市场分析的结果表明,如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x(0<x<1),那么月销售量减少的百分率为x2.记销售价提高的百分率为x时,电脑企业的月利润是y元.
(1)写出月利润y与x的函数关系式;
(2)如何确定这种笔记本电脑的销售价,使得该公司的月利润最大.
解析:
(1)依题意,销售价提高后变为6000(1+x)元/台,月销售量为a(1-x2)台,则y=a(1-x2)[6000(1+x)-4500].
即y=1500a(-4x3-x2+4x+1)(0<x<1).(4分)
(2)由
(1)知y′=1500a(-12x2-2x+4),
令y′=0,得6x2+x-2=0,
解得x=
或x=-
(舍去).(6分)
当0<x<
时,y′>0;当
<x<1时,y′<0.
故当x=
时,y取得最大值.
此时销售价为6000×
=9000(元).
故这种笔记本电脑的销售价为9000元时,该公司的月利润最大.(10分)
B组 提优演练
(时间:
30分钟 满分:
50分)
若时间有限,建议选讲4,6,8
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2014·揭阳模拟)某企业去年销售收入1000万元,年成本分为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分.若年利润必须按p%纳税,且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税,其他不纳税.已知该企业去年共纳税120万元.则税率p%为(C)
A.10%B.12%C.25%D.40%
解析:
利润300万元,纳税300·p%万元,年广告费超出年销售收入2%的部分为200-1000×2%=180(万元),纳税180·p%万元,共纳税300·p%+180·p%=120,解得p%=25%.
2.(2013·滨州模拟)某地2011年底人口为500万,人均住房面积为6m2,如果该城市人口平均每年增长率为1%.为使2021年底该城市人均住房面积增加到7m2,平均每年新增住房面积至少为(1.0110≈1.1046)(B)
A.90万m2B.87万m2C.85万m2D.80万m2
解析:
由题意知
≈87(万m2).
3.(2014·海口模拟)某商店已按每件80元的成本购进某商品1000件,根据市场预测,销售价为每件100元时可全部售完,定价每提高1元时销售量就减少5件,若要获得最大利润,销售价应定为每件(D)
A.100元B.110元C.150元D.190元
解析:
设售价提高x元,则依题意销售收入y=(1000-5x)×(20+x)=-5x2+900x+20000=-5(x-90)2+60500.
故当x=90时,ymax=60500,此时售价为每件190元.
4.(2013·盐城模拟)已知A,B两地相距150km,某人开汽车以60km/h的速度从A地到达B地,在B地停留1h后再以50km/h的速度返回A地,汽车离开A地的距离x(km)与时间t(h)之间的函数表达式是(D)
A.x=60t
B.x=60t+50t
C.x=
D.x=
解析:
到达B地需要
=2.5(h),∴当0≤t≤2.5时,x=60t;当2.5<t≤3.5时,x=150;当3.5<t≤6.5时,x=150-50(t-3.5).
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2013·莆田模拟)一高为H,满缸水量为V的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为v,则函数v=f(h)的大致图像可能是图中的 ②
解析:
当h=0时,v=0,可排除①,③;由于鱼缸中间粗两头细,∴h小于
时,增加越来越快;h大于
时,增加越来越慢.故可能是②.
6.(2013·泰安模拟)某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7000万元,则x的最小值是 20
解析:
七月份的销售额为500(1+x%)万元,八月份的销售额为500(1+x%)2万元,则一月份到十月份的销售总额是3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]万元,根据题意有3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,
即25(1+x%)+25(1+x%)2≥66,令t=1+x%,
则25t2+25t-66≥0,解得t≥
或t≤-
(舍去),
故1+x%≥
,解得x≥20.
三、解答题(共20分)
7.(10分)(2013·大连模拟)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:
R(x)=
其中x是仪器的月产量.
(1)将利润表示为月产量的函数f(x);
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?
最大利润为多少元?
(总收益=总成本+利润)
解析:
(1)设每月产量为x台,则总成本为20000+100x,
从而f(x)=
(4分)
(2)当0≤x≤400时,f(x)=-
(x-300)2+25000,
∴当x=300时,f(x)有最大值25000;
当x>400时,f(x)=60000-100x是减函数,
f(x)<60000-100×400<25000.(8分)
综上,当x=300时,f(x)的最大值为25000.
∴每月生产300台仪器时,利润最大,最大利润为25000元.(10分)
8.(10分)(2014·德州模拟)当前环境问题已成为世界关注的焦点,2009年哥本哈根世界气候大会召开后,为减少汽车尾气对城市空气的污染,某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程,原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体,对大气无污染,或者说污染非常小.现有以下数据:
①当前汽油价格为2.8元/L,市内出租车耗油情况是1L汽油大约跑12km;②当前液化气价格为3元/kg,1kg液化气平均可跑15~16km;③一辆出租车日平均行程为200km.
请根据以上数据回答问题:
(1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱);
(2)假设出租车改装液化气设备需花费5000元,请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱?
解析:
(1)设出租车行驶的时间为t天,所耗费的汽油费为W元,耗费的液化气费为W′元,由题意可知,W=
×2.8=
(t≥0,t∈N*),
×3≤W′≤
×3,即37.5t≤W′≤40t(t≥0,t∈N*),
又
>40t,即W>W′,∴使用液化气比使用汽油省钱.(4分)
(2)①设37.5t+5000=
,解得t≈545.5,
又t≥0,t∈N*,
∴t=546.(6分)
②设40t+5000=
,解得t=750.
∴若改装液化气设备,则当行驶天数t∈[546,750]且t∈N*时,省出的钱可以等于改装设备花费的钱.(10分)
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