全国版版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第3讲三角函数的图象和性质学案.docx
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全国版版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第3讲三角函数的图象和性质学案
第3讲 三角函数的图象和性质
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
[必会结论]
1.函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T=,函数y=tan(ωx+φ)的最小正周期为T=.
2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期.而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.
3.三角函数中奇函数一般可化为y=Asinωx或y=Atanωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acosωx+b的形式.
[考点自测]
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)y=cosx在第一、二象限内是减函数.( )
(2)函数y=sin是偶函数,最小正周期为π.( )
(3)函数y=sinx的对称轴方程为x=2kπ+(k∈Z).( )
(4)函数y=tanx在整个定义域上是增函数.( )
答案
(1)×
(2)√ (3)× (4)×
2.[课本改编]若函数f(x)=-cos2x,则f(x)的一个递增区间为( )
A.B.
C.D.
答案 B
解析 由f(x)=-cos2x知递增区间为,k∈Z,故只有B项满足.
3.[2018·福建模拟]函数f(x)=sin的图象的一条对称轴是( )
A.x=B.x=
C.x=-D.x=-
答案 C
解析 由x-=+kπ,得x=kπ+,当k=-1时,x=-.
4.[2018·厦门模拟]函数y=sin+1的图象的一个对称中心的坐标是( )
A.B.
C.D.
答案 B
解析 对称中心的横坐标满足2x+=kπ,解得x=-+,k∈Z.当k=1时,x=,y=1.故选B.
5.[课本改编]函数y=tan的定义域是( )
A.{xB.{x
C.{xD.{x
答案 D
解析 y=tan=-tan,由x-≠+kπ,k∈Z,得x≠kπ+,k∈Z.故选D.
6.函数y=3-2cos的最大值为________,此时x=________.
答案 5 +2kπ(k∈Z)
解析 函数y=3-2cos的最大值为3+2=5,此时x+=π+2kπ(k∈Z),即x=+2kπ(k∈Z).
板块二 典例探究·考向突破
考向 三角函数的定义域、值域
例 1
(1)[2018·烟台模拟]函数y=的定义域为( )
A.
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.R
答案 C
解析 ∵cosx-≥0,得cosx≥,∴2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.
(2)函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为________.
答案 2-
解析 ∵0≤x≤9,∴-≤x-≤,
∴-≤sin≤1,
故-≤2sin≤2.
即函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值为2,最小值为-.所以最大值与最小值的和为2-.
本例
(2)中的函数换为“y=3-sinx-2cos2x,x∈”,如何解答?
解 ∵x∈,∴sinx∈.
又y=3-sinx-2cos2x=3-sinx-2(1-sin2x)
=22+,
∴当sinx=时,ymin=;
当sinx=-或sinx=1时,ymax=2.
故函数的最大值与最小值的和为2+=.
本例
(2)中的函数换为“y=sinx-cosx+sinxcosx,x∈[0,π]”,又该如何解答?
解 令t=sinx-cosx,又x∈[0,π],
∴t=sin,t∈[-1,].
由t=sinx-cosx,得t2=1-2sinxcosx,
即sinxcosx=.
∴原函数变为y=t+,t∈[-1,].
即y=-t2+t+.
∴当t=1时,ymax=-+1+=1;
当t=-1时,ymin=--1+=-1.
故函数的最大值与最小值的和为1-1=0.
触类旁通
三角函数定义域、值域的求解策略
(1)求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),也可借助三角函数线或三角函数图象来求解.
(2)求解三角函数的值域(最值),首先把三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求最值(值域),或用换元法(令t=sinx,或t=sinx±cosx)化为关于t的二次函数求值域(最值).
(3)换元法的应用:
把sinx或cosx看作一个整体,转化为二次函数,求给定区间上的值域(最值)问题.此时注意所换元的取值范围.
【变式训练1】
(1)函数y=的定义域为( )
A.
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 B
解析 由2sinx-1≥0,得sinx≥,所以2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z).
(2)函数y=cos,x∈的值域是________.
答案
解析 x∈,x+∈,
∴y∈.
考向 三角函数的单调性
例 2 已知函数f(x)=2sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)讨论f(x)在区间上的单调性.
解
(1)因为f(x)=2sin的最小正周期为π,且ω>0.从而有=π,故ω=1.
(2)因为f(x)=2sin.
若0≤x≤,则≤2x+≤.
当≤2x+≤,即0≤x≤时,
f(x)单调递增;
当<2x+≤,即<x≤时,f(x)单调递减.
综上可知,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.
触类旁通
三角函数单调性问题的解题策略
(1)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中,ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.
(2)已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.
【变式训练2】
(1)设ω是正实数,函数f(x)=2cosωx在x∈上是减函数,那么ω的值可以是( )
A.B.2
C.3D.4
答案 A
解析 因为函数f(x)=2cosωx在上单调递减,所以要使函数f(x)=2cosωx(ω>0)在区间上单调递减,则有≤,即T≥,所以T=≥,解得ω≤.所以ω的值可以是.故选A.
(2)函数y=sin的递增区间是________.
答案 (k∈Z)
解析 ∵y=-sin,
∴2kπ+≤2x-≤2kπ+
∴kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).
考向 三角函数的奇偶性、周期性及对称性
命题角度1 三角函数的周期性与奇偶性
例 3 [2018·长沙模拟]设函数f(x)=sin的最小正周期为π,且是偶函数,则( )
A.f(x)在内单调递减
B.f(x)在内单调递减
C.f(x)在内单调递增
D.f(x)在内单调递增
答案 A
解析 由条件,知ω=2.
因为f(x)是偶函数,且|φ|<,所以φ=,
这时f(x)=sin=cos2x.
因为当x∈时,2x∈(0,π),
所以f(x)在内单调递减.
命题角度2 三角函数的周期性与对称性
例 4 已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ等于( )
A.B.
C.D.
答案 A
解析 由题意得=2,
∴ω=1,∴f(x)=sin(x+φ),
∴+φ=+kπ(k∈Z),
∴φ=+kπ(k∈Z).
又∵0<φ<π,∴φ=.故选A.
命题角度3 三角函数的奇偶性与对称性
例 5 [2018·揭阳模拟]当x=时,函数f(x)=sin(x+φ)取得最小值,则函数y=f( )
A.是奇函数且图象关于点对称
B.是偶函数且图象关于点(π,0)对称
C.是奇函数且图象关于直线x=对称
D.是偶函数且图象关于直线x=π对称
答案 C
解析 ∵当x=时,函数f(x)取得最小值,
∴sin=-1,∴φ=2kπ-(k∈Z),
∴f(x)=sin=sin,
∴y=f=sin(-x)=-sinx,
∴y=f是奇函数,且图象关于直线x=对称.
触类旁通
函数f(x)=Asin(ωx+φ)的奇偶性和对称性
(1)若f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则有φ=kπ+(k∈Z);若f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则有φ=kπ(k∈Z).
(2)对于函数y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.
核心规律
1.讨论三角函数性质,应先把函数式化成y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式.
2.函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为.
3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t=ωx+φ,将其转化为研究y=sint的性质.
满分策略
1.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性,含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响.
2.要注意求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时ω的符号,尽量化成ω>0时的情况.
3.三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得,直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的.
板块三 启智培优·破译高考
数学思想系列4——三角函数中的分类讨论思想
[2018·龙岩模拟]已知函数f(x)=2asin+a+b的定义域是,值域是[-5,1],求a,b的值.
解题视点 ①先求出2x+的范围,再求出sin的值域;②系数a的正、负影响着f(x)的值,因而要分a>0,a<0两种情况讨论;③根据a>0或a<0求f(x)的最值,列方程组求解.
解 因为0≤x≤,所以≤2x+≤,
-≤sin≤1.
所以当a>0时,解得
当a<0时,解得
因此a=2,b=-5或a=-2,b=1.
答题启示 1对此类问题的解决,首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y=Asinωx+φ或y=Acosωx+φ的最值,但要注意对A的正负进行讨论,以便确定是最大值还是最小值;
2再由已知列方程求解;
3本题的易错点是忽视对参数a>0或a<0的分类讨论,导致漏解.
跟踪训练
已知a是实数,则函数f(x)=1+asinax的图象不可能是( )
答案 D
解析 当a=0时,f(x)=1,即图象C;当02π,即图象A;当a>1时,三角函数的最大值为a+1>2,且最小正周期为T=<2π,即图象B.
板块四 模拟演练·提能增分
[A级 基础达标]
1.[2018·石家庄模拟]函数f(x)=tan的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 B
解析 由kπ-<2x-<kπ+(k∈Z)得,-<x<+(k∈Z),所以函数f(x)=tan的单调递增区间为(k∈Z).故选B.
2.[2018·桂林模拟]若函数f(x)=sin(φ∈[0,2π])是偶函数,则φ=( )
A.B.
C.D.
答案 C
解析 ∵f(x)为偶函数,关于y轴对称,x=0为其对称轴.∴=+kπ,令x=0,φ=3kπ+,当k=0时,φ=.选C项.
3.[2018·福州模拟]下列函数中,周期为π,且在上为减函数的是( )
A.y=sinB.y=cos
C.y=sinD.y=cos
答案 A
解析 对于选项A,注意到y=sin=cos2x的周期为π,且在上是减函数.故选A.
4.函数f(x)=ta
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