完整版代数基本定理的几种证明.docx
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完整版代数基本定理的几种证明
2014—3050-021
本科毕业论文(设计)
代数基本定理的几种证明
学生姓名
:
黄容
学号
:
1050501021
系院
:
数学系
专业
:
数学与应用数学
指导教师
:
覃跃海讲师
提交日期
:
2014年4月27日
毕业论文基本要求
1.毕业论文的撰写应结合专业学习,选取具有创新价值和实践意义的论题.
2.论文篇幅一般为理科以3000至5000字为宜.
3.论文应观点明确,中心突出,论据充分,数据可靠,层次分明,逻辑清楚,文字流畅,结构严谨.
4.论文字体规范按《广东第二师范学院本科生毕业论文管理办法(试行)》和“论文样板”执行.
5.论文应书写工整,标点正确,用微机打印后,装订成册。
本科毕业论文(设计)诚信声明
本人郑重声明:
所呈交的本科毕业论文(设计),是本人在指导老师的指导下,独立进行研究工作所取得的成果,成果不存在知识产权争议,除文中已经注明引用的内容外,本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。
本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。
学生签名:
时间:
年月日
关于论文(设计)使用授权的说明
本人完全了解广东第二师范学院关于收集、保存、使用学位论文的规定,即:
1.按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本;
2。
学校有权保存学位论文的印刷本和电子版,并提供目录检索与阅览服务,在校园网上提供服务;
3。
学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文;
本人同意上述规定。
学生签名:
时间:
年月
摘要
代数基本定理是代数学上一个重要的定理,甚至在整个数学上都起着基础作用。
最早在1629年由荷兰数学家吉拉尔在他的论著《代数新发现》提出,然而没有给出证明。
1637年迪卡儿也都提出这个定理,但同样没有给出证明.一直到一百年多后,于1746年达朗贝尔才给出第一个证明。
到十八世纪后半叶,欧拉等人也给出一些证明,然而这些证明都不够严格,都先是假设了一些条件,然后才得出证明。
直到1799年高斯才给出了第一个实质的证明。
在二十世纪以前该定理对于代数学都是起着核心的作用,因为代数学所研究的对象都是建立在复数域上的,因此也就之称为代数基本定理。
然而直到现在该定理却还是没有纯代数证法,用纯代数证明该定理却是十分困难的,很多人相信根本不存在纯代数的证法.不过后来随着复变理论的发展,该定理已成为其他一些定理的推论了,用复函数理论可以很完美的证明了。
现在据说也已经有了两百多种证法。
虽然前人已做了很多研究,但从多方面知识总结这些证明还是很有意义的。
本论文基于多项式、柯西积分定理、儒歇定理、刘维尔定理、最大模定理和最小模定理这几个方面介绍了代数基本定理的几种证法。
[关键词]:
代数基本定理;多项式;柯西积分定理;儒歇定理;刘维尔定理
Abstract
FundamentalTheoremofAlgebraisoneoftheimportanttheoremofalgebra,andeveninthewholeofmathematicsplaysafundamentalrole.Firstin1629bytheDutchmathematicianGirardinhistreatise"Algebranewlydiscovered"putforward,buthedidnotgiveproof。
In1637,Descartesarealsoraisedthistheoremwithoutproof。
Beentomorethanahundredyearslater,JeanleRondd'Alembertwasgiventhefirstproofin1746。
Until1799Gausswasgiventhefirstrealproofinthetwentiethcenturybeforethetheoremofalgebraforallplaysacentralrole,becausetheobjectbeingstudiedalgebraarebuiltoncomplexfield,soit’scalledthefundamentalTheoremofAlgebra.However,untilnowthetheoremisnopurelyalgebraicproofs,manypeoplebelievethatitdoesnotexist.Withthedevelopmentofcomplexvariabletheory,thistheoremhasbecomeacorollaryofsomeothertheorem,andwithacomplexfunctiontheorycanbeprovedperfectly。
Nowsaidtohavealreadyhadmorethantwohundredkindsofproofs。
Althoughthefundamentaltheoremofalgebrapredecessorshavedonealotofresearch.Summarizethesemethodsstillmakessense.Thispaperbasedonpolynomial,Cauchyintegraltheorem,Roche’stheorem,LowvilleTheorem,themaximummodulustheoremandtheminimummodulustheorem。
[KeyWords]:
FundamentalTheoremofAlgebra;Polynomial;Cauchyintegraltheorem;Roche’stheorem;LowvilleTheorem
致谢……………………………………………………………………………….—12—
代数基本定理的几种证明
1.引言
一元一次方程只有一个实数根,而在复数域内有两个根,那么一元N次方程在复数域上会不会有N个根?
另外,在积分运算中部分分式法也有与这样的问题,所有实系数多项式是不是都可以分解成一次因式的乘积或者分解成实系数的一次因式和二次因式的乘积?
上述这些问题关键在于证明代数基本定理。
根据钟玉泉编写的《复变函数论》,代数基本定理的具体描述为:
任何n次多项式方程在复数域中至少有一个根。
根据该定理我们可以直接得到一个结果,在复数域内对于所有n次多项式方程有且只有n个根[].可见证明代数基本定理意义十分重要。
这个定理最早在1629年由荷兰数学家吉拉德在他的论著《代数新发现》中提出,但没有得到证明。
后来笛卡儿,欧拉和麦克劳林也提到了这个定理,但没有证明.直到1746年,达朗贝尔第一个证明了这个定理,但还是有缺点。
拉格朗日于1772年再一次证明了这个定理。
但这些证明都不够严格,都是假定了一个先决条件是给定才证明的。
人们通常认为这个定理最早是由高斯给出的,其基本思路如下:
设
为n次实系数多项式,记
(x,y为实数),
因为
,
即
与
,
与
分别表示
坐标平面上两条曲线
与
,通过对曲线作定性研究,这两条曲线必然有一个交点
从而有
,
即
,
所以
便是代数方程的一个根,得证.通常认为这是代数基本定理第一个严格的证明。
不过就现代的标准来看其证明仍然是不够严格的。
而现在,据说已有两百多种证法。
接下来,我们讨论的是代数基本定理的证明。
2.代数基本定理的证明
2.1.利用多项式证明
2.1.1.引理
在这里先介绍一条引理。
设
是实系数多项式,(
且
C为复数域),则
的充要条件是:
.[]
引理显然成立,下面证明代数基本定理.
2.1.2.利用多项式证明代数基本定理
设
是实数域上的n次多项式,则f(x)在复数域上至少有一根.
证明:
如果x=0是f(x)的根,则定理得证.如果x=0不是f(x)的根,则必有
≠0,因此只需要证明方程
(1)
关于x有非零解。
由引理可得,当x≠0时,方程
(1)与
(2)
等价。
对方程
(2)中分别另
m=0,1,2,···,n—1,
可得如下方程组:
(3)
当x≠0时,方程组(3)和方程
(1)同解,又方程组(3)可写成:
(4)
这是关于变量
的齐次线性方程组,其系数行列式是(2n)*(2n)阶行列式。
因为
故(4)有非零解,又1,0,···,0不是(4)的解,所以(4)有异于1,0,···,0的解,因此方程
(1)有非零解.即f(x)在C上至少有一非零根.定理得证。
2.2.利用柯西积分定理证明
2.2.1.柯西积分定理
设C是z平面上单连通区域D内的任意一条周线,函数f(z)在D内解析,则
。
这便是柯西积分定理。
[]
在附加假设“
D内连续”的条件下黎曼得到了一个简单的证明:
令
则
,
而
在D内连续,导致ux,uy,vx,vy在D内连续,并适合C。
-R.方程:
ux=vy,uy=-vx.
由格林定理,
,
故得
。
2.2.2.利用柯西积分定理证明代数基本定理
任何次数n〉=1的复系数多项式
在复系数域中至少有一个根。
证明:
(反证法)设多项式
若f(z)没有零点,则
在整个复平面上解析.所以对任意充分大的R〉0,
.
由柯西积分定理得:
,
从而
(*)
而
其中
为整个复平面上的解析函数.
因此当
时,
.
又
所以
与(*)比较得:
n=0,这与已知条件
矛盾.定理得证.
2.3.利用刘维尔定理证明
2.3.1.刘维尔定理
定义:
在整个复平面上解析的函数称为整函数.如多项式,ez,cosz及sinz都是整函数。
而刘伟尔定理便是:
有界函数f(z)必为常数.[]
这是一个非局部性命题,也是模有界定理,其逆也真,即:
常数是有界整函数;此定理的逆否定理为:
非常数的整函数必无界.
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- 完整版 代数 基本 定理 证明