七年级数学专题四.docx
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七年级数学专题四
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专题四 规律探索题
类型一数式规律探索
(2017·安徽)【阅读理解】我们知道,1+2+3+…+n=
,那么12+22+32+…+n2结果等于多少呢?
在图1所示三角形数阵中,第1行圆圈中的数为1,即12,第2行两个圆圈中数的和为2+2,即22,…;第n行n个圆圈中数的和为n+n+…+nn个n,即n2.这样,该三角形数阵中共有
个圆圈,所有圆圈中数的和为12+22+32+…+n2.
图1
图2
【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵,观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数[如第(n-1)行的第一个圆圈中的数分别为n-1,2,n],发现每个位置上三个圆圈中数的和均为________,由此可得,这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3(12+22+32+…+n2)=________,因此,12+22+32+…+n2=________.
【解决问题】根据以上信息发现,计算:
的结果为________.
【分析】第一空只需将n-1,2,n相加即可,∵每个三角形数阵中共有
个圆圈,而每个位置上三个圆圈中数的和均为2n+1,∴三个三角形数阵中所有圆圈中数的总和为(2n+1)·
,从而第二空,第三、四空易求.
【自主解答】
【方法点拨】解决规律探究型问题的一般思路是通过对所给的具体结论进行全面、细致的观察、分析、比较,从中发现规律,并猜想出一般性结论,其中关于等式的规律探索:
用含字母的代数式进行归纳,注意字母往往还具有反映等式序号的作用.
1.(2019·合肥二模)观察下列等式:
第1个等式:
=3,第2个等式:
=6,第3个等式:
=9,第4个等式:
=12,按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第5个等式:
________;
(2)写出你猜想的第n个等式:
________(用含n的等式表示),并证明.
2.(2019·淮北市濉溪县二模)观察下列式子:
0×2+1=12……①
1×3+1=22……②
2×4+1=32……③
3×5+1=42……④
……
(1)第⑤个式子是________,第⑩个式子是________;
(2)请用含n(n为正整数)的式子表示上述规律,并证明.
3.(2019·合肥包河区一模)杨辉是我国南宋时期杰出的数学家和教育家,如图是杨辉在公元1261年的著作《详解九章算法》里面的一张图,即“杨辉三角”,该图中有很多规律,请仔细观察,解答下列问题:
(1)图中给出了七行数字,根据构成规律,第9行中从左边数第4个数是________;
(2)第n行中从左边数第2个数为________;第n行中所有数字之和为________.
4.(2019·安徽)观察以下等式:
第1个等式:
=
+
,
第2个等式:
=
+
,
第3个等式:
=
+
,
第4个等式:
=
+
,
第5个等式:
=
+
,
……
按照以上规律,解决下列问题:
(1)写出第6个等式:
________;
(2)写出你猜想的第n个等式:
________(用含n的等式表示),并证明.
5.(2019·全椒县一模)已知下列等式:
①(3+1)2-(3-1)2=4×3×1;
②(5+3)2-(5-3)2=4×5×3;
③(7+5)2-(7-5)2=4×7×5;
④(9+7)2-(9-7)2=4×9×7.
……
(1)请仔细观察,写出第5个式子;
(2)写出第n个式子,并运用所学知识说明第n个等式成立.
类型二图形规律探索
(2016·安徽)
(1)观察下列图形与等式的关系,并填空:
图1
(2)观察下图,根据
(1)中结论,计算图中黑球的个数,用含有n的代数式填空:
图2
1+3+5+…+(2n-1)+(________)+(2n-1)+…+5+3+1=________.
【分析】
(1)第一项和第二项的结果不难填空;
(2)先判断图中第(n+1)行的黑球的个数,然后运用倒序相加法求出1+3+…+(2n-1)+(2n+1)的和即可完成填空.
【自主解答】
【方法点拨】对于图形规律探索题常按以下步骤操作:
①写序号:
记每组图形的序数为“1,2,3,…,n”;②数图形的个数:
在图形数量变化时,要标记出每组图形表示的个数;③寻找图形数量与序号n的关系:
在寻找第n个图形表示的数量时,先将后一个图形表示的个数与前一个图形表示的个数进行比对,通过作差(商)来观察是否有恒定量的变化,然后按照定量变化推导出具体某个图形的个数;④验证:
代入序号验证所归纳的式子是否正确.
1.(2019·甘肃改编)如图,每一图中有若干个大小不同的菱形,第1幅图中有1个菱形,第2幅图中有3个菱形,第3幅图中有5个菱形,…….
(1)第5幅图中有________个菱形,第n幅图中有________个菱形;
(2)如果第n幅图中有2019个菱形,求n.
2.(2018·黔南州)“分块计数法”:
对有规律的图形进行计数时,有些题可以采用“分块计数”的方法.例如:
图1有6个点,图2有12个点,图3有18个点,…….按此规律,求图10、图n有多少个点.
我们将每个图形分成完全相同的6块,每块黑点的个数相同(如图),这样图1中黑点的个数是6×1=6个;图2中黑点的个数是6×2=12个;图3中黑点的个数是6×3=18个;……所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是________、________.
请你参考以上“分块计数法”,先将下面的点阵进行分块,再完成以下问题:
(1)第5个点阵中有________个圆圈;第n个点阵中有____________________个圆圈.
(2)小圆圈的个数会等于271吗?
如果会,请求出是第几个点阵.
3.(2019·瑶海区一模)下列每一幅图都是由白色小正方形和黑色小正方形组成.
(1)第10幅图中有________个白色小正方形,________个黑色小正方形;
(2)第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于________(用n表示,n是正整数).
4.(2019·合肥市长丰县模拟)用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片,按下图方式拼正方形.
第①个图形中有1个正方形;
第②个图形中有1+3=4个小正方形;
第③个图形中有1+3+5=9个小正方形;
第④个图形中有________个小正方形(直接写出结果);
(1)根据上面的发现我们可以猜想:
1+3+5+7+…+(2n-1)=________(用含n的代数式表示);
(2)请根据你的发现计算:
①1+3+5+7+…+99=________;
②101+103+105+…+199=________.
5.(2019·芜湖县二模)如图,正方形ABCD内部有若干个点,用这些点以及正方形ABCD的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形(互相不重叠):
(1)填写下表:
正方形ABCD内点的个数
1
2
3
4
…
n
分割成的三角形的个数
4
6
__
__
…
__
(2)原正方形能否被分割成2016个三角形?
若能,求此时正方形ABCD内部有多少个点;若不能,请说明理由.
6.(2019·芜湖二模)某广场用如图1所示的同一种地砖拼图案,第一次拼成图案如图2所示,共用地砖4块;第二次拼成的图案如图3所示,共用地砖4+2×4=12块;第三次拼成的图案如图4所示,共用地砖4+2×4+2×6=24块,……
(1)直接写出第四次拼成的图案共用地砖________块;
(2)按照这样的规律进行下去,求第n次拼成的图案共用地砖的数量(先用含n的式子表示,后化简).
7.(2019·南陵县一模)【问题背景】在△ABC内部,有点P1,可构成3个不重叠的小三角形(如图1).
【探究发现】当△ABC内点的个数增加时(如图1~3),探究三角形内互不重叠的小三角形的个数情况.
(1)填表:
三角形内点的个数n
1
2
3
4
…
不重叠三角形个数S
__
__
__
__
…
(2)当△ABC内部有n个点(P1,P2,…,Pn)时,三角形内不重叠的小三角形的个数S=2019,求n的值.
8.(2019·安徽模拟)如图,是由边长相等的小正方形组成的几何图形,Sn(n≥1)表示第n个图形中小正方形的个数.
(1)观察下列图形与等式的关系,并填空:
图1
图2
(2)根据
(1)中的两个结论填空:
S12=________,Sn=________(用含有n的代数式表示).
参考答案
【专题类型突破】
类型一
【例1】[规律探究]每个位置上三个圆圈中数的和均为n-1+2+n=2n+1,
∵每个三角形数阵中共有1+2+3+…+n=
个圆圈,
∴三个空依次填2n+1;
;
.
[解决问题] 1345
跟踪训练
1.解:
(1)
=15
(2)
=3n
证明:
等式左边=
=
=
=3n=等式右边.
2.解:
(1)4×6+1=52 9×11+1=102
(2)第n个式子为(n-1)(n+1)+1=n2,
证明:
∵左边=n2-1+1=n2,
右边=n2,
∴左边=右边,
即(n-1)(n+1)+1=n2.
3.解:
(1)56
(2)n-1 2n-1
[解法提示]设第n行第2个数为an(n≥2,且n为正整数),观察发现规律:
∵a2=1,a3=2,a4=3,a5=4,a6=5,∴an=n-1;∵第1行数字之和1=20,第2行数字之和2=21,第3行数字之和4=22,第4行数字之和8=23,∴第n行数字之和为2n-1.
4.解:
(1)第6个等式:
=
+
(2)
=
+
证明:
∵右边=
+
=
=
=左边,∴等式成立.
5.解:
(1)第5个式子为:
(11+9)2-(11-9)2=4×11×9.
(2)第n个式子:
[(2n+1)+(2n-1)]2-[(2n+1)-(2n-1)]2=4(2n+1)(2n-1),
证明:
左边=(4n)2-22=4[(2n)2-12]=4(2n+1)(2n-1)=右边,等式成立.
类型二
【例2】
(1)42 n2
(2)2n+1 2n2+2n+1
[解法提示]由
(1)可知题图中第(n+1)行的黑球个数为2n+1;1+3+5+…+(2n-1)+(2n+1)=(n+1)2=n2+2n+1,1+3+5+…+(2n-1)=n2,n2+2n+1+n2=2n2+2n+1.
跟踪训练
1.解:
(1)9 (2n-1)
(2)2n-1=2019,n=1010.
2.解:
60 6n
(1)61 3n2-3n+1
(2)依题意得3n2-3n+1=271,
解得n1=10,n2=-9(不合题意,舍去).
所以小圆圈的个数会等于271,是第10个点阵.
3.解:
(1)100 40
(2)n2+4n
[解法提示]第1个图形:
白色小正方形1个,黑色小正方形4×1=4个,共有1+4=5个;
第2个图形:
白色小正方形2×2=4个,黑色小正方形4×2=8个,共有4+8=12个;
第3个图形:
白色小正方形3×3=9个,黑色小正方形4×3=12个,共有9+12=21个;
……
第n个图形:
白色小正方形n2个,黑色小正方形4n个,共有n2+4n个.
4.解:
25
(1)n2
(2)①2500 ②7500
5.解:
(1)8 10 2(n+1)
(2)能
设点数为n,
则2(n+1)=2016,
解得n=1007.
答:
原正方形能被分割成2016个三角形,此时正方形ABCD内部有1007个点.
6.解:
(1)40
(2)第一次拼成如图1所示的图案共用4块地砖,4=2×(1×2),
第二拼成如图2所示的图案共用12块地砖,12=2×(2×3),
第三次拼成如图3所示的图案共用24块地砖,24=2×(3×4),
第四次拼成如图4所示的图案共用40块地砖,40=2×(4×5),
......
第n次拼成的图案共用2×n(n+1)=2(n2+n)块地砖.
7.解:
(1)3 5 7 9
(2)图1中,当△ABC内有1个点时,可分割成3个互不重叠的小三角形;
图2中,当△ABC内有2个点时,可分割成5个互不重叠的小三角形;
图3中,当△ABC内有3个点时,可分割成7个互不重叠的小三角形;
当△ABC内有4个点时,可分割成9个互不重叠的小三角形;
......
根据以上规律,当△ABC内有n个点(P1,P2,…,Pn)时,可以把△ABC分割成S=2n+1个互不重叠的小三角形,
当S=2019时,2n+1=2019,
∴n=1009.
8.解:
(1)n n2
(2)78
[解法提示]由Sn-Sn-1=n,Sn+Sn-1=n2,得
S12-S11=12,S12+S11=122,
2S12=12+122=156,
∴S12=78.
∵Sn-Sn-1=n,Sn+Sn-1=n2,
∴2Sn=n2+n,
∴Sn=
.
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