解析几何常用的知识点.docx
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解析几何常用的知识点
“解析几何”一网打尽
(一)直线
1.
2.直线的方程
(1)点斜式(直线过点,且斜率为).
(2)斜截式(b为直线在y轴上的截距).
(3)一般式(其中A、B不同时为0).
特别的:
(1)已知直线纵截距,常设其方程为或;已知直线横截距,常设其方程为(直线斜率k存在时,为k的倒数)或.知直线过点,常设其方程为或
(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.
直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点;
直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点;
直线两截距绝对值相等直线的斜率为或直线过原点.
(3)在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.
3、几个距离公式
(1)两点间距离公式:
(2)到直线的距离为
特别地,当直线L:
时,点P()到L的距离;
当直线L:
时,点P()到L的距离.
(3).两平行线间的距离公式:
设
4.两直线的位置关系:
;
;重合
5.三角形的重心坐标公式:
△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.
(二)圆
1.圆的三种方程
(1)圆的标准方程.
(2)圆的一般方程(>0).
(3)圆的直径式方程(圆的直径的端点是、)
注意:
(1).圆心必在弦的中垂线上;两圆相切,两圆心连线必过切点;辅助线一般连圆心与切点或者连圆心与弦中点。
(2).处理直线与圆的位置关系有两种方法:
(1)求圆心到直线的距离与圆的半径比较;
(2)直线方程与圆的方程联立,看判别式。
2.点P()和圆的位置关系:
(1)当时,点P在圆外;
(2)当时,点P在圆上;
(3)当时,点P在圆内.
3.直线和圆的位置关系:
直线与圆相交>0d 直线与圆相切=0d=r 直线与圆相离<0d>r. 4.圆与圆的位置关系: 设圆的半径为,圆的半径为,两圆的圆心距为d, 当时,两圆相离;当时,两圆外切; 当时,两圆相交;当=d时,两圆内切; 当 注意: (1)若两圆相交时,把两圆的方程作差消去和就得到两圆的公共弦所在直线的方程。 (2)圆的弦长公式(d为圆心到直线的距离,r为圆的半径) (3)求圆外一点P到圆O上任一点距离的最小值为,最大值为(其中r为圆的半径) (三)圆锥曲线 1、椭圆: (1)定义: 平面内与两个定点,的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. (2)椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 图形 性质 范围 -a≤x≤a -b≤y≤b -b≤x≤b -a≤y≤a 对称性 对称轴: 坐标轴;对称中心: 原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0) 轴 长轴A1A2的长为2a;短轴B1B2的长为2b 焦距 |F1F2|=2c 离心率 e=∈(0,1) a,b,c的关系 c2=a2-b2 注意: (1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中,长轴端点到焦点的距离分别为最大值和最小值,且最大距离为,最小距离为。 (2)过焦点弦的所有弦长中,垂直于长轴的弦是最短的弦,而且它的长为.把这个弦叫椭圆的通经. (3)求椭圆离心率e时,只要求出a,b,c的一个齐次方程,在结合就可求出e(). 2、双曲线 (1).双曲线的定义: 平面内与两个定点,的距离之差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹称为双曲线.这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦距. 注: 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线. (2).双曲线的标准方程和几何性质: 标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0) 图 形 范围 x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a 对称性 对称轴: 坐标轴;对称中心: 原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e=,e∈(1,+∞) 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的半实轴长,b叫做双曲线的半虚轴长 a,b,c的关系 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0) 注意: (1)直线和双曲线交于一点时,不一定相切,例如,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点. (2)已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两渐近线方程,即就是双曲线的两条渐近线方程. (3)若利用弦长公式计算,在设直线斜率时要注意说明斜率不纯在的情况. 3、抛物线 (1)抛物线的定义: 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点称为抛物线的焦点,定直线称为抛物线的准线. (2)抛物线的标准方程和几何性质: 图形 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py (p>0) p的几何意义: 焦点F到准线l的距离 性质 顶点 O(0,0) 对称轴 y=0 x=0 焦点 F F F F 离心率 e=1 准线方程 x=- x= y=- y= 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 注意: (1)过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段,称为抛物线的“通径”,即. (2)焦半径公式: 若点在抛物线上,焦点为,则; 若点在抛物线上,焦点为,则; 若点在抛物线上,焦点为,则; 若点在抛物线上,焦点为,则. (3)焦点弦问题: 设AB是过抛物线焦点的弦. 则;; 4.在圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程,要注意其二次项系数是否为零? △≥0的限制。 (求交点,弦长,中点,斜率,对称存在性问题都在△≥0下进行。 ) 知识 赠送以下资料 英语万能作文(模板型) Alongwiththeadvanceofthesocietymoreandmoreproblemsarebroughttoourattention,oneofwhichisthat.... 随着社会的不断发展,出现了越来越多的问题,其中之一便是____________。 Astowhetheritisablessingoracurse,however,peopletakedifferentattitudes. 然而,对于此类问题,人们持不同的看法。 (Holddifferentattitudes持不同的看;Comeupwithdifferentattitudes有不同的看法) Associetydevelops,peopleareattachingmuchimportanceto.... 随着社会的发展,人们开始关注............ Peopleareattachingmoreandmoreimportancetotheinterviewduringjobhunting 求职的过程中,人们慢慢意识到面试的重要性。 Astowhetheritisworthwhile.....,thereisalong-runningcontroversialdebate.Itisquitenaturalthatpeoplefromdifferentbackgroundsmayhavedivergentattitudestowardsit. 关于是否值得___________的问题,一直以来争论不休。 当然,不同的人对此可能持不同的观点。 Intheprocessofmodernurbandevelopment,weoftenfindourselvesinadilemma. 在都市的发展中,我们往往会陷入困境。 Recentlythephenomenonhasarousedwideconcern,somepeopleareinalarmthat.... 最近,这种现象引起了人们的广泛关注,有人开始担心______________。 Thehumanracehasenteredacompletelynewstageinitshistory,withtheincreasinglyrapideconomicglobalizationandurbanization,moreproblemsarebroughttoourattention. 人类进入了一个历史的崭新的阶段,经济全球化、都市化的速度不断加快,随之给我们带来了很多问题。 ......playssuchanimportantrolethatitundeniablybecomesthebiggestconcernofthepresentworld,therecomesaquestion,isitablessingoracurse? " _______显得非常重要而成为当今世界所关注的最大的问题,这是无可厚非的。 不过,问题是: "我们该如何抉择? " Nowweareenteringanewera,fullofopportunitiesandchallenges, 现在我们正在进入一个充满机会和挑战的新时代。 Peoplefromdifferentbackgroundswouldputdifferentinterpretationsonthesamecase. 不同行业的人对同一种问题的解释不尽相同。 Thecontroversialissueisoftenbroughtintopublicfocus.Peoplefromdifferentbackgroundsholddifferentattitudestowardstheissue. 这中极具争议性的话题往往很受社会的关注。 不同的人对此问题的看法也不尽相同。 Whenasked...,somepeoplethink.....whilesomeprefer... 说到______,有人认为________,而另一些人则认为__________。 Justasthesayinggoes: "somanypeople,somanyminds".Itisquiteunderstandablethatviewsonthisissuevaryfrompersontoperson. 俗话说,""。 不同的人对此有不同的看法是可以理解的。 Tothisissue,differentpeoplecomeup
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