江苏省中考数学真题分类汇编 专题12 图形的性质之解答题原卷版.docx
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江苏省中考数学真题分类汇编专题12图形的性质之解答题原卷版
专题12图形的性质之解答题
一.解答题(共31小题)
1.(2019•南京)如图,D是△ABC的边AB的中点,DE∥BC,CE∥AB,AC与DE相交于点F.求证:
△ADF≌△CEF.
2.(2019•无锡)如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E分别在AB、AC上,BD=CE,BE、CD相交于点O.
(1)求证:
△DBC≌△ECB;
(2)求证:
OB=OC.
3.(2019•镇江)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,点E、F分别在AD、BC上,AE=CF,过点A、C分别作EF的垂线,垂足为G、H.
(1)求证:
△AGE≌△CHF;
(2)连接AC,线段GH与AC是否互相平分?
请说明理由.
4.(2019•扬州)如图,平面内的两条直线l1、l2,点A,B在直线l1上,点C、D在直线l2上,过A、B两点分别作直线l2的垂线,垂足分別为A1,B1,我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影,其长度可记作T(AB,CD)或T
,特别地线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C.
请依据上述定义解决如下问题:
(1)如图1,在锐角△ABC中,AB=5,T(AC,AB)=3,则T(BC,AB)= ;
(2)如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,T(AC,AB)=4,T(BC,AB)═9,求△ABC的面积;
(3)如图3,在钝角△ABC中,∠A=60°,点D在AB边上,∠ACD=90°,T(AD,AC)=2,T(BC,AB)=6,求T(BC,CD),
5.(2019•淮安)已知:
如图,在▱ABCD中,点E、F分别是边AD、BC的中点.求证:
BE=DF.
6.(2019•宿迁)如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点E、F分别在AB、CD上,且BE=DF
.
(1)求证:
四边形AECF是菱形;
(2)求线段EF的长.
7.(2019•扬州)如图,在平行四边形ABCD中,AE平分∠DAB,已知CE=6,BE=8,DE=10.
(1)求证:
∠BEC=90°;
(2)求cos∠DAE.
8.(2019•连云港)如图,在△ABC中,AB=AC.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF,其中点E在边BC上,DE与AC相交于点O.
(1)求证:
△OEC为等腰三角形;
(2)连接AE、DC、AD,当点E在什么位置时,四边形AECD为矩形,并说明理由.
9.(2019•连云港)问题情境:
如图1,在正方形ABCD中,E为边BC上一点(不与点B、C重合),垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N.判断线段DN、MB、EC之间的数量关系,并说明理由.
问题探究:
在“问题情境”的基础上.
(1)如图2,若垂足P恰好为AE的中点,连接BD,交MN于点Q,连接EQ,并延长交边AD于点F.求∠AEF的度数;
(2)如图3,当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时,连接AN,将△APN沿着AN翻折,点P落在点P'处,若正方形ABCD的边长为4,AD的中点为S,求P'S的最小值.
问题拓展:
如图4,在边长为4的正方形ABCD中,点M、N分别为边AB、CD上的点,将正方形ABCD沿着MN翻折,使得BC的对应边B'C'恰好经过点A,C'N交AD于点F.分别过点A、F作AG⊥MN,FH⊥MN,垂足分别为G、H.若AG
,请直接写出FH的长.
10.(2019•无锡)如图1,在矩形ABCD中,BC=3,动点P从B出发,以每秒1个单位的速度,沿射线BC方向移动,作△PAB关于直线PA的对称△PAB′,设点P的运动时间为t(s).
(1)若AB=2
.
①如图2,当点B′落在AC上时,显然△PAB′是直角三角形,求此时t的值;
②是否存在异于图2的时刻,使得△PCB′是直角三角形?
若存在,请直接写出所有符合题意的t的值?
若不存在,请说明理由.
(2)当P点不与C点重合时,若直线PB′与直线CD相交于点M,且当t<3时存在某一时刻有结论∠PAM=45°成立,试探究:
对于t>3的任意时刻,结论“∠PAM=45°”是否总是成立?
请说明理由.
11.(2019•盐城)如图①是一张矩形纸片,按以下步骤进行操作:
(Ⅰ)将矩形纸片沿DF折叠,使点A落在CD边上点E处,如图②;
(Ⅱ)在第一次折叠的基础上,过点C再次折叠,使得点B落在边CD上点B′处,如图③,两次折痕交于点O;
(Ⅲ)展开纸片,分别连接OB、OE、OC、FD,如图④.
【探究】
(1)证明:
△OBC≌△OED;
(2)若AB=8,设BC为x,OB2为y,求y关于x的关系式.
12.(2019•苏州)已知矩形ABCD中,AB=5cm,点P为对角线AC上的一点,且AP=2
cm.如图①,动点M从点A出发,在矩形边上沿着A→B→C的方向匀速运动(不包含点C).设动点M的运动时间为t(s),△APM的面积为S(cm2),S与t的函数关系如图②所示.
(1)直接写出动点M的运动速度为 cm/s,BC的长度为 cm;
(2)如图③,动点M重新从点A出发,在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动,同时,另一个动点N从点D出发,在矩形边上沿着D→C→B的方向匀速运动,设动点N的运动速度为v(cm/s).已知两动点M,N经过时间x(s)在线段BC上相遇(不包含点C),动点M,N相遇后立即同时停止运动,记此时△APM与△DPN的面积分别为S1(cm2),S2(cm2)
①求动点N运动速度v(cm/s)的取值范围;
②试探究S1•S2是否存在最大值,若存在,求出S1•S2的最大值并确定运动时间x的值;若不存在,请说明理由
.
13.(2019•扬州)如图,四边形ABCD是矩形,AB=20,BC=10,以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC,∠G=90°.点M在线段AB上,且AM=a,点P沿折线AD﹣DG运动,点Q沿折线BC﹣CG运动(与点G不重合),在运动过程中始终保持线段PQ∥AB.设PQ与AB之间的距离为x.
(1)若a=12.
①如图1,当点P在线段AD上时,若四边形AMQP的面积为48,则x的值为 ;
②在运动过程中,求四边形AMQP的最大面积;
(2)如图2,若点P在线段DG上时,要使四边形AMQP的面积始终不小于50,求a的取值范围.
14.(2019•泰州)如图,线段AB=8,射线BG⊥AB,P为射线BG上一点,以AP为边作正方形APCD,且点C、D与点B在AP两侧,在线段DP上取一点E,使∠EAP=∠BAP,直线CE与线段AB相交于点F(点F与点A、B不重合).
(1)求证:
△AEP≌△CEP;
(2)判断CF与AB的位置关系,并说明理由;
(3)求△AEF的周长.
15.(2019•常州)【阅读】
数学中,常对同一个量(图形的面积、点的个数、三角形的内角和等)用两种不同的方法计算,从而建立相等关系,我们把这一思想称为“算两次”.“算两次”也称做富比尼原理,是一种重要的数学思想.
【理解】
(1)如图1,两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形.用两种不同的方法计算梯形的面积,并写出你发现的结论;
(2)如图2,n行n列的棋子排成一个正方形,用两种不同的方法计算棋子的个数,可得等式:
n2= ;
【运用】
(3)n边形有n个顶点,在它的内部再画m个点,以(m+n)个点为顶点,把n边形剪成若干个三角形,设最多可以剪得y个这样的三角形.当n=3,m=3时,如图3,最多可以剪得7个这样的三角形,所以y=7.
①当n=4,m=2时,如图4,y= ;当n=5,m= 时,y=9;
②对于一般的情形,在n边形内画m个点,通过归纳猜想,可得y= (用含m、n的代数式表示).请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立.
16.(2019•徐州)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,D为
的中点.过点D作直线AC的垂线,垂足为E,连接OD.
(1)求证:
∠A=∠DOB;
(2)DE与⊙O有怎样的位置关系?
请说明理由.
17.(2019•镇江)在三角形纸片ABC(如图1)中,∠BAC=78°,AC=10.小霞用5张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形(如图2).
(1)∠ABC= °;
(2)求正五边形GHMNC的边GC的长.
参考值:
sin78°≈0.98,cos78°=0.21,tan78°≈4.7.
18.(2019•南京)如图,⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P,且AB=CD.求证:
PA=PC.
19.(2019•镇江)如图,在△ABC中,AB=AC,过AC延长线上的点O作OD⊥AO,交BC的延长线于点D,以O为圆心,OD长为半径的圆过点B.
(1)求证:
直线AB与⊙O相切;
(2)若AB=5,⊙O的半径为12,则tan∠BDO= .
20.(2019•淮安)如图,AB是⊙O的直径,AC与⊙O交于点F,弦AD平分∠BAC,DE⊥AC,垂足为E.
(1)试判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若⊙O的半径为2,∠BAC=60°,求线段EF的长.
21.(2019•苏州)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,D是弧BC的中点,BC与AD、OD分别交于点E、F.
(1)求证:
DO∥AC;
(2)求证:
DE•DA=DC2;
(3)若tan∠CAD
,求sin∠CDA的值.
22.(2019•泰州)如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC为⊙O的直径,D为
的中点,过点D作DE∥AC,交BC的延长线于点E.
(1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若⊙O的半径为5,AB=8,求CE的长.
23.(2019•扬州)如图,AB是⊙O的弦,过点O作OC⊥OA,OC交AB于P,CP=BC.
(1)求证:
BC是⊙O的切线;
(2)已知∠BAO=25°,点Q是
上的一点.
①求∠AQB的度数;
②若OA=18,求
的长.
24.(2019•盐城)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N,过点N作NE⊥AB,垂足为E.
(1)若⊙O的半径为
,AC=6,求BN的长;
(2)求证:
NE与⊙O相切.
25.(2019•宿迁)在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)如图①,点O在斜边AB上,以点O为圆心,OB长为半径的圆交AB于点D,交BC于点E,与边AC相切于点F.求证:
∠1=∠2;
(2)在图②中作⊙M,使它满足以下条件:
①圆心在边AB上;②经过点B;③与边AC相切.
(尺规作图,只保留作图痕迹,不要求写出作法)
26.(2019•镇江)【材料阅读】
地球是一个球体,任意两条相对的子午线都组成一个经线圈(如图1中的⊙O).人们在北半球可观测到北极星,我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺(古人称它为“复矩”),尺的两边互相垂直,角顶系有一段棉线,棉线末端系一个铜锤,这样棉线就与地平线垂直.站在不同的观测点,当工具尺的长边指向北极星时,短边与棉线的夹角α的大小是变化的.
【实际应用】
观测点A在图1所示的⊙O上,现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°,在点A所在子午线往北的另一个观测点B,用同样的工具尺测得α为67°.PQ是⊙O的直径,PQ⊥ON.
(1)求∠POB的度数;
(2)已知OP=6400km,求这两个观测点之间的距离即⊙O上
的长.(π取3.1)
27.(2019•常州)已知平面图形S,点P、Q是S上任意两点,我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”.例如,正方形的宽距等于它的对角线的长度.
(1)写出下列图形的宽距:
①半径为1的圆:
;
②如图1,上方是半径为1的半圆,下方是正方形的三条边的“窗户形“:
;
(2)如图2,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣1,0)、B(1,0),C是坐标平面内的点,连接AB、BC、CA所形成的图形为S,记S的宽距为d.
①若d=2,用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积(所在区域用阴影表示);
②若点C在⊙M上运动,⊙M的半径为1,圆心M在过点(0,2)且与y轴垂直的直线上.对于⊙M上任意点C,都有5≤d≤8,直接写出圆心M的横坐标x的取值范围.
28.(2019•徐州)【阅读理解】
用10cm×20cm的矩形瓷砖,可拼得一些长度不同但宽度均为20cm的图案.已知长度为10cm、20cm、30cm的所有图案如下:
【尝试操作】
如图,将小方格的边长看作10cm,请在方格纸中画出长度为40cm的所有图案.
【归纳发现】
观察以上结果,探究图案个数与图案长度之间的关系,将下表补充完整.
图案的长度
10cm
20cm
30cm
40cm
50cm
60cm
所有不同图案的个数
1
2
3
29.(2019•盐城)如图,AD是△ABC的角平分线.
(1)作线段AD的垂直平分线EF,分别交AB、AC于点E、F;(用直尺和圆规作图,标明字母,保留作图痕迹,不写作法.)
(2)连接DE、DF,四边形AEDF是 形.(直接写出答案)
30.(2019•泰州)如图,△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=8.
(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线;(保留作图痕迹,不要求写作法)
(2)若
(1)中所作的垂直平分线交BC于点D,求BD的长.
31.(2019•无锡)按要求作图,不要求写作法,但要保留作图痕迹.
(1)如图1,A为⊙O上一点,请用直尺(不带刻度)和圆规作出⊙O的内接正方形;
(2)我们知道,三角形具有性质:
三边的垂直平分线相交于同一点,三条角平分线相交于一点,三条中线相交于一点,事实上,三角形还具有性质:
三条高所在直线相交于一点.
请运用上述性质,只用直尺(不带刻度)作图.
①如图2,在▱ABCD中,E为CD的中点,作BC的中点F.
②如图3,在由小正方形组成的4×3的网格中,△ABC的顶点都在小正方形的顶点上,作△ABC的高AH.
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