考研数学一真题和答案及解析.docx

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考研数学一真题和答案及解析

2017年考研数学一真题及答案解析

跨考教育数学教研室

1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求

．．．指定位置上.

1cosx

1）若函数f（x）ax,x0在x0处连续，则（）

b,x0

11

（A）ab1Bab1

（C）ab0Dab2

A

1

1cosxx111

limlim2,f（x）在x0处连续bab.选A.

x0axx0ax2a2a2

2）设函数f（x）可导，且f（x）f'（x）0，则（）

（A）f

（1）f

（1）Bf

（1）f

（1）

（C）f

（1）f

（1）Df

（1）f

（1）

C

f（x）f'（x）0,f（x）0

（1）或f（x）0

（2），只有C选项满足

（1）且满足

（2），所以选C。

f'（x）0f'（x）0

3）函数f（x,y,z）x2yz2在点（1,2,0）处沿向量u1,2,2的方向导数为（）

（A）12（B）6（C）4（D）2

【答案】D

2fu122

【解析】gradf{2xy,x,2z},gradf（1,2,0）{4,1,0}gradf{4,1,0}{,,}2.

u|u|333

选D.

4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：

m）处，图中实线表示甲的速度曲线vv1（t）（单

位：

m/s），虚线表示乙的速度曲线vv2（t），三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追

上甲的时刻记为t0（单位：

s），则（）

5）设是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（）

（A）ET不可逆BET不可逆

（C）E2T不可逆DE2T不可逆

其它选项类似理解。

10100

20,C020,则（

01002

2002

6）设矩阵A021,B0

0010

（A）A与C相似,B与C相似BA与C相似,B与C不相似

（C）A与C不相似,B与C相似DA与C不相似,B与C不相似

【答案】B

2

（EA）0可知A的特征值为2,2,1

100

3r（2EA）1，∴A可相似对角化，且A~020

002

EB0可知B特征值为2,2,1.

3r（2EB）2，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化，

A~C，且B不相似于C

7）设A,B为随机概率，若0P（A）1,0P（B）1，则P（AB）P（AB）的充分必要条件是（）

（A）P（BA）P（BA）（B）P（BA）P（BA）

（C）P（BA）P（BA）（D）P（BA）P（BA）

A

1n

8）设X1,X2Xn（n2）为来自总体N（,1）的简单随机样本，记X1Xi，则下列结论中不正确

ni1

）

n

（A）（Xi）2服从2分布B2（XnX1）2服从2分布

i1

n

（C）（XiX）2服从2分布Dn（X）2服从2分布

i1

B

XN（,1）,XiN（0,1）

n（Xi）22（n）,A正确

i1

n

（n1）S2（XiX）22（n1），C正确，

i1

X~N（,1）,n（X）N（0,1）,n（X）2~2

（1）,D正确,

n

~N（0,2）,（XnX1）~2

（1）,故B错误.

B符合题意。

914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.

1

（9）已知函数f（x）2，则f（3）（0）=

1x

f（0）6

f'''（x）

（1）n2n（2n1）（2n2）x2n3f'''（0）0

n2

（10）微分方程y''2y'3y0的通解为y

【答案】yex（c1cos2xc2sin2x），（c1,c2为任意常数）

【解析】齐次特征方程为22301,212i

故通解为ex（c1cos2xc2sin2x）

（11）若曲线积分xd2xa2ydy在区域D（x,y）|x2y21内与路径无关，则

Lxy1

a

【答案】a1

【解析】P22x2y2,Q22ax2y2,由积分与路径无关知PQa1

y（xy1）x（xy1）yx

（12）

幂级数

（1）nnxn1在区间（1,1）内的和函数S（x）

n1

2

1,2,3线性无关，可知矩阵1,2,3可逆，故

123123

rA1,A2,A3rA1,2,3rA再由rA2得rA1,A2,A32

x4

14）设随机变量X的分布函数为

EX

F（x）0.5（x）0.5

（2），其中（x）为标准正态分布函数，则

2

05x405x4

F（x）0.5（x）（），故EX0.5x（x）dxx（）dx

2222

x4x4

x（x）dxEX0。

令t，则x（）dx=242t（t）dt814t（t）dt8

E（X）2.

三、解答题：

15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.

（15）（本题满分10分）

x0

yf（ex,cosx）y（0）f（1,1）

x

f1'exf2'sinxf1'（1,1）1f2'（1,1）0f1'（1,1）

x0

x0

f11ef12e（sinx）f21e（sinx）f22sinxf1ef2cosx

f11''（1,1）f1'（1,1）f2'（1,1）

x0

结论：

111212

xln（1x）dxln（1x）dx（ln（1x）x

17）（本题满分10分）

y（x）由方程x3y33x3y20确定，求y（x）的极值

【答案】极大值为y

（1）1，极小值为y

（1）0

【解析】

两边求导得：

22

3x3yy'33y'0

（1）

令y'0得x1

22

对

（1）式两边关于x求导得6x6yy'32yy''3y''0

（2）

x1x1

将x1代入原题给的等式中，得or，

y1y0

将x1,y1代入

（2）得y''

（1）10

将x1,y0代入

（2）得y''

（1）20

故x1为极大值点，y

（1）1；x1为极小值点，y

（1）0

（18）（本题满分10分）

设函数f（x）在区间[0,1]上具有2阶导数，且f

（1）0,limf（x）0，证明：

x0x

（）方程f（x）0在区间（0,1）内至少存在一个实根；

2

（）方程f（x）f（x）（f（x））20在区间（0,1）内至少存在两个不同实根。

【答案】

【解析】

（1）f（x）二阶导数，f

（1）0,limf（x）0

x0x

解：

1）由于limf（x）0，根据极限的保号性得

x0x

0,x（0,）有f（x）0，即f（x）0x

进而x0（0,）有f0

又由于f（x）二阶可导，所以f（x）在[0,1]上必连续

那么f（x）在[,1]上连续，由f（）0,f

（1）0根据零点定理得：

至少存在一点（,1），使f（）0，即得证

（II）由

（1）可知f（0）0，（0,1）,使f（）0，令F（x）f（x）f'（x），则f（0）f（）0

由罗尔定理（0,）,使f'（）0，则F（0）F（）F（）0，

对F（x）在（0,）,（,）分别使用罗尔定理：

1（0,）,2（,）且1,2（0,1）,12，使得F'

（1）F'

（2）0，即

2

F'（x）f（x）f''（x）f'（x）0在（0,1）至少有两个不同实根。

得证。

（19）（本题满分10分）

设薄片型物体S是圆锥面zx2y2被柱面z22x割下的有限部分，其上任一点的密度为

9x2y2z2。

记圆锥面与柱面的交线为C

（）求C在xOy平面上的投影曲线的方程；

（）求S的M质量。

【答案】64

【解析】

（1）由题设条件知，C的方程为zx2y2x2y22x

z22x

x2y22x

则C在xoy平面的方程为xy2x

z0

（2）

20）（本题满分11分）设3阶矩阵A1,2,3有3个不同的特征值，且3122。

（）证明r（A）2；

；

（）若123，求方程组Ax的通解。

11

（I）略；（II）通解为k21,kR

11

I）证明：

由3122可得12230，即1,2,3线性相关，

A1230，即A的特征值必有0。

又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0.

1

且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为2,120

0

r（A）r（）2

II）由

（1）r（A）2，知3r（A）1，即Ax0的基础解系只有1个解向量，

11

12230可得1,2,32A20，则Ax0的基础解系为

11

11

又123，即1,2,31A1，则Ax的一个特解为

11

（21）（本题满分11分）设二次型f（x1,x2,x3）2x1x22ax322x1x28x1x32x2x3

在正交变换XQY下的标准型1y122y22，求a的值及一个正交矩阵Q

214

f（x1,x2,x3）XTAX，其中A111

22

1y12y2，

41a

f（x1,x2,x3）XTAX经正交变换后，得到的标准形为

214

故r（A）2|A|01110a2，

41a

214

将a2代入，满足r（A）2，因此a2符合题意，此时A111，则

412

214

|EA|111013,20,36，

412

1

令P1,2,3，则PAP

由于1,2,3彼此正交，故只需单位化即可：

11,1,1,21,0,1

32

31,2,1,，

36

则Q123

xQy

f3y126y22

6

2

6

1

6

QTAQ

22）（本题满分11分）设随机变量

1

X,Y相互独立，且X的概率分布为P（X0）P（X2）1，Y的

2

2y，0y1

概率密度为f（y）

f（y）0,其他

（）求P（YEY）（）求ZXY的概率密度。

z,0z1

z2,2z3

4

（I）P{YEY};（II）fZ（z）

9

12

（）E（Y）0y2ydy

3

1）当z0,z20，而z0，则Fz（Z）0

（2）当z21,z1,即z3时，Fz（Z）1

12

（3）当0z1时，Fz（Z）z2

z2

1

（4）当1z2时，Fz（Z）

2

112

（5）当2z3时，Fz（Z）（z2）2

z22

0z0

1z2,0z1

2

1

所以综上Fz（Z）,1z2

2

112

（z2）2,2z3

22

1,z3

23）（本题满分11分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体

是已知的，设n次测量结果X1,X2Xn相互独立且均服从正态分布N（,2）。

该工程师记录

n次测量的绝对误差ZiXi（i1,2,n），利用Z1,Z2Zn估计。

（）求Zi的概率密度；

（）利用一阶矩求的矩估计量

（III）最大似然估计：

?

=1（Xi）2

ni1

对总体X的n个样本X1,X2,Xn，则相交的绝对误差的样本Z1,Z2,Zn,Zixiu,i1,2...n,令其样

n

Zi2

i1

e22,Z1,Z2,Zn0

本值为Z1,Z2,Zn,Zixiu

则对应的似然函数L（）

2

0,其他

两边取对数，当Z1,Z2,Zn0时

21n2

lnL（）nln2Zi

222i1

令dlnL（）n13nZi20

du3i1

1、发生以下情形，本协议即终止：

（1）、公司因客观原因未能设立;

（2）、公司营

所以，1nZi21n（Xiu）2为所求的最大似然估计。

ni1ni1

业执照被依法吊销;（3）、公司被依法宣告破产;（4）、甲乙丙三方一致同意解除本协议。

2、本协议解除后：

（1）甲乙丙三方共同进行清算，必要时可聘请中立方参与清算;

（2）若清算后有剩余，甲乙丙三方须在公司清偿全部

债务后，方可要求返还出资、按出资比例分配剩余财产。

（3）若清算后有亏损，各方以出资比例分担，遇有股东须对公司债务承担连带责任的，各方以出资比例偿还。

224

P（YEY）P（Y2）32ydy4

309

（）Fz（Z）P（Zz）P（XYz）

P（XYz,X0）P（XYz,X2）

P（Yz,X0）P（Yz2,X2）

11