学生第3讲年七下第3章 全等三角形 提高训练题 2.docx
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学生第3讲年七下第3章 全等三角形 提高训练题 2.docx
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学生第3讲年七下第3章全等三角形提高训练题2
第2讲全等三角形()
(满分:
150分;考试时间:
120分钟)
一、精心选一选:
本大题共小题,每小题分,共分.
1、如图,给出下列四组条件:
①
;
②
;
③
;
④
.
其中,能使
的条件共有()
A.1组B.2组C.3组D.4组
分析:
根据全等三角形的判定方法依次分析各小题即可判断.
①符合SSS,②符合SAS,③符合ASA,均能判定
④是SSA,无法判定
故选C.
3.小华在电话中问小明:
“已知一个三角形三边长分别是4,9,12,如何求这个三角形的面积?
”小明提示说:
“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是(C)
A.B.C.D.
3.某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块,现在要到玻璃店去
配一块完全一样的玻璃,那么最省事方法是()
A.①②③都带去B.带①去C.带②去D.带③去
二、细心填一填:
本大题共小题,每小题分,共分.
1、如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离,先在AB的垂线BF上取两点C、D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,并使点A、C、E三点在同一条直线上,因此只要测得ED的长就知道AB的长.请
说明这样测量正确性的理由.
证明:
∵BF⊥AB,DE⊥BD,
∴∠ABC=∠CDE=90°,
在△ABC和△EDC中:
∠ABC=∠EDC=90°
CB=CD
∠ACB=∠ECD
∴△ABC≌△EDC(ASA)
∴AB=DE(全等三角形,对应边相等).
2、如图,将
沿
折叠,使点
与
边的中点
重合,下列结论中:
①
且
;②
;③
;④
,正确的个数有2个。
3.完成下面的证明.
已知,如图所示,BCE,AFE是直线,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4.
求证:
AD∥BE
证明:
∵ AB∥CD (已知)
∴ ∠4=∠ ( )
∵ ∠3=∠4 (已知)
∴ ∠3=∠ ( )
∵∠1=∠2 (已知)
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF ( )
即:
∠ =∠ .
∴ ∠3=∠ ( )
∴AD∥BE ( )
分析:
因为AB∥CD,由此得到∠4=∠BAF,它们是同位角,由此得到根据两直线平行,同位角相等;
由∠4=∠BAF,∠3=∠4得到∠3=∠BAF的根据是等量代换;
由∠BAF=∠CAD和已知结论得到∠3=∠CAD的根据是等量代换;
由∠3=∠CAD得到AD∥BE的根据是内错角相等,两直线平行.
∵AB∥CD(已知),
∴∠4=∠BAF(两直线平行,同位角相等).
∵∠3=∠4(已知),
∴∠3=∠BAF(等量代换).
∵∠1=∠2(已知),
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF(等式的性质),
即∠BAF=∠CAD.
∴∠3=∠CAD(等量代换).
∴AD∥BE(内错角相等,两直线平行).
4、如图,对面积为1的△ABC逐次进行以下操作:
第一次操作,分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1,使得A1B=2AB,B1C=2BC,C1A=2CA,顺次连接A1、B1、C1,得到△A1B1C1,记其面积为S1;第二次操作,分别延长A1B1、B1C1、C1A1至点A2、B2、C2,使得A2B1=2A1B1,B2C1=2B1C1,C2A1=2C1A1,顺次连接A2、B2、C2,得到△A2B2C2,记其面积为S2;…;按此规律继续下去,可得到△A5B5C5,则其面积S5=______.
答案:
连接A1C,根据A1B=2AB,得到:
AB:
A1A=1:
3,
因而若过点B,A1作△ABC与△AA1C的AC边上的高,则高线的比是1:
3,
因而面积的比是1:
3,则△A1BC的面积是△ABC的面积的2倍,
设△ABC的面积是a,则△A1BC的面积是2a,
同理可以得到△A1B1C的面积是△A1BC面积的2倍,是4a,
则△A1B1B的面积是6a,
同理△B1C1C和△A1C1A的面积都是6a,
△A1B1C1的面积是19a,
即△A1B1C1的面积是△ABC的面积的19倍,
同理△A2B2C2的面积是△A1B1C1的面积的19倍,
即△A1B1C1的面积是19,△A2B2C2的面积192,
依此类推,△A5B5C5的面积是S5=195=2476099.
故答案为:
2476099.
5.如图已知△ABC中,AB=AC=10厘米,∠B=∠C,BC=6厘米,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过______秒后,△BPD与△CQP全等.
设经过t秒后,△BPD与△CQP全等,
∵AB=AC=10厘米,点D为AB的中点,
∴BD=5厘米,
∵∠B=∠C,BP=CQ=t,
∴要使△BPD和△CQP全等,只有BD=CP=5厘米,
则5=6-t,
解得:
t=1,
1÷1=1(秒),
故答案为:
1.
6.如图,已知△ABC≌△ADE,且∠CAD=10°,∠B=∠D=25°,∠EAB=120°,则∠EGF=( )
A.120°
B.135°
C.115°
D.125°
:
解:
∵△ABC≌△ADE,∠CAD=10°,∠EAB=120°,
∴∠EAD=∠CAB=
(∠EAB-∠CAD)=55°,
∵∠FAB=∠CAD+∠CAB,
∴∠FAB=65°,
∵∠AFB+∠FAB+∠B=180°,
∴∠AFB=180°-65°-25°=90°,
∵∠GFD=∠AFB,
∴∠GFD=90°,
∵∠EGF=∠D+∠GFD,
∴∠EGF=90°+25°=115°.
故选C.
三、解答题(本大题共小题,共分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
1.
在数学综合实践活动课上,老师只给各活动小组教学用直角三角板一个、皮尺一条(皮尺长度不够直接测河宽),测量如下图所示小河的宽度(A为河岸边一棵柳树)。
(1)简要说明你的测量方法,并在右图中画出图形。
(2)说明你作法的合理性。
解:
(1)测量方法:
①在不同于A点的对岸作直线MN;
②用三角板作AB⊥MN垂足为B;
③在直线MN取两点C、D,使BC=CD;
④过D作DE⊥MN交AC的延长线于E,则DE的长度即为河宽。
(2)在Rt△ABC和Rt△EDC中
∠ABC=∠EDC=Rt∠,BC=CD,∠ACB=∠ECD
所以Rt△ABC≌Rt△EDC
所以AB=ED
2.已知△ABC中,∠A=60°.
(1)如图①,∠ABC、∠ACB的角平分线交于点D,则∠BOC=120°.
(2)如图②,∠ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于O1、O2,则∠BO2C=100°.
(3)如图③,∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On-1(内部有n-1个点),
求∠BOn-1C(用n的代数式表示).
(4)如图③,已知∠ABC、∠ACB的n等分线分别对应交于O1、O2…On-1,若∠BOn-1C=90°,
求n的值.
分析:
(1)先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB,再根据角平分线的定义求得∠OBC+∠OCB,即可求出∠BOC.
(2)先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB,再根据三等分线的定义求得∠O2BC+∠O2CB,即可求出∠BO2C.
(3)先根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB,再根据n等分线的定义求得∠On-1BC+∠On-1CB,即可求出∠BOn-1C.
(4)依据(3)的结论即可求出n的值.
解:
∵∠BAC=60°,
∴∠ABC+∠ACB=120°,
(1)∵点O是∠ABC与∠ACB的角平分线的交点,
∴∠OBC+∠OCB=1/2(∠ABC+∠ACB)=60°,
∴∠BOC=120°;
(2)∵点O2是∠ABC与∠ACB的三等分线的交点,
∴∠O2BC+∠O2CB=2/3(∠ABC+∠ACB)=80°,
∴∠BO2C=100°;
(3)∵点On-1是∠ABC与∠ACB的n等分线的交点,
∴∠On-1BC+∠On-1CB=(n-1)/n(∠ABC+∠ACB)=(n-1)/n×120°,
∴∠BOn-1C=180°-(n-1)/n×120°=(1+2/n)×60°;
(4)由(3)得:
(1+2/n)×60°=90°,
解得:
n=4.
点评:
此题练习角的等分线的性质以及三角形内角和定理.根据题意找出规律是解题的关键.
3、如图,已知∠BDC+∠EFC=180°,∠DEF=∠B.
(1)求证:
∠AED=∠ACB(说明:
写出每一步推理的依据);
(2)若D、E、F分别是AB、AC、CD边上的中点,S四边形ADFE=6,求S△ABC.
(1)由BDC+∠EFC=180°和∠EFC+∠DFE=180°得到∠BDC=∠DFE,根据平行线的判定得AB∥EF,则∠ADE=∠DEF,而∠DEF=∠B,所以∠ADE=∠B,于是可判断DE∥BC,然后根据平行线的性质得到∠AED=∠ACB;
(2)由E为AC的中点,根据三角形面积公式得到S△ADE=S△CDE=
S△ADC,再由F为DC的中点得S△DEF=S△CEF=
S△DEC,而S四边形ADFE=6,则S△ADE+
S△EDC=6,可计算出S△ADE=4,则S△ADC=8,然后利用D为AB的中点,根据S△ABC=2S△ADC进行计算即可.
(1)证明:
∵∠BDC+∠EFC=180°(已知),
而∠EFC+∠DFE=180°(邻补角的定义),
∴∠BDC=∠DFE(等角的补角相等),
∴AB∥EF(内错角相等,两直线平行),
∴∠ADE=∠DEF(两直线平行,内错角相等),
∵∠DEF=∠B(已知),
∴∠ADE=∠B(等量代换),
∴DE∥BC(同位角相等,两直线平行),
∴∠AED=∠ACB(两直线平行,同位角相等);
(2)解:
∵E为AC的中点,
∴S△ADE=S△CDE=
S△ADC,
∵F为DC的中点,
∴S△DEF=S△CEF=
S△DEC,
∵S四边形ADFE=6,
∴S△ADE+
S△EDC=6,
∴
S△ADE=6,
∴S△ADE=4,
∴S△ADC=2×4=8,
∵D为AB的中点,
∴S△ABC=2S△ADC=2×8=16.
4、已知∠MAN,AC平分∠MAN.
(1)在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=∠ADC=90°,求证:
AB+AD=AC;
(2)在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(1)证明:
∵∠MAN=120°,AC平分∠MAN,
∴∠CAD=∠CAB=60°.
又∠ABC=∠ADC=90°,
∴AD=
AC,AB=
AC,
∴AB+AD=AC.
(2)结论仍成立.理由如下:
作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F.则∠CED=∠CFB=90°,
∵AC平分∠MAN,
∴CE=CF.
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADC+∠CDE=180°
∴∠CDE=∠ABC,
在△CDE和△CBF中,
∠CDE=∠CBF
∠CED=∠CFB
CE=CF
∴△CDE≌△CBF(AAS),
∴DE=BF.
∵∠MAN=120°,AC平分∠MAN,
∴∠MAC=∠NAC=60°,∴∠ECA=∠FCA=30°,
在Rt△ACE与Rt△ACF中,则有AE=
AC,AF=
AC,
则AD+AB=AD+AF+BF=AD+AF+DE=AE+AF=
AC+
AC=AC.
∴AD+AB=AC.
5、如图甲,在△ABC中,∠ACB为锐角,点D为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.解答下列问题:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°,
①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图乙,线段CF、BD之间的位置关系为垂直 ,数量关系为相等 .
②当点D在线段BC的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么?
(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°点D在线段BC上运动.试探究:
当△ABC满足一个什么条件时,CF⊥BC(点C、F重合除外)?
并说明理由.
分析:
当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立.由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC,所以CF=BD,∠ACF=∠ABD.结合∠BAC=90°,AB=AC,得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度.即CF⊥BD.
(2)当∠ACB=45°时,过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G,则∠GAC=90°,可推出∠ACB=∠AGC,所以AC=AG,由
(1)①可知CF⊥BD.
解:
(1)①CF⊥BD,CF=BD
故答案为:
垂直、相等.
②成立,理由如下:
∵∠FAD=∠BAC=90°
∴∠BAD=∠CAF
在△BAD与△CAF中,
∵
{
BA=CA
∠BAD=∠CAF
AD=AF
∴△BAD≌△CAF(SAS)
∴CF=BD,∠ACF=∠ACB=45°,
∴∠BCF=90°
∴CF⊥BD
(2)当∠ACB=45°时可得CF⊥BC,理由如下:
…(8分)
过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G …(9分)
则∵∠ACB=45°
∴AG=AC,∠AGC=∠ACG=45°
∵AG=AC,AD=AF,
∵∠GAD=∠GAC-∠DAC=90°-∠DAC,∠FAC=∠FAD-∠DAC=90°-∠DAC,
∴∠GAD=∠FAC,
∴△GAD≌△CAF(SAS) …(10分)
∴∠ACF=∠AGD=45°
∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°
∴CF⊥BC …(12分)
6.
(1)观察图1,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系,并说明理由;
(2)请你直接利用以上结论,解决以下三个问题:
①如图2,把一块三角尺XYZ放置在△ABC上,使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C,若∠A=50°,则∠ABX+∠ACX=___________.
②如图3,DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°,∠DBE=130°,
求∠DCE的度数;
③如图4,∠ABD,∠ACD的10等分线相交于点G1、G2、…、G9,若∠BDC=140°,∠BG1C=77°,直接写出∠A的度数为___________.
(1)∠BDC=∠A+∠B+∠C
理由如下:
证明:
连接AD并延长到E点
∵∠BDE=∠BAE+∠B
∠EDC=∠EAC+∠C
∴∠BDE+∠EDC=∠BAE+∠EAC+∠B+∠C
∵∠BDC=∠BDE+∠EDC
∠BAC=∠BAE+∠EAC
∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C(方法不唯一,其余方法酌情给分)
(2)①∠ABX+∠ACX=____40°____.
②∠DCE=90°
∵DC平分∠ADB
∴∠ADC=∠BDC
∵EC平分∠AEB
∴∠AEC=∠BEC
∵∠DCE=∠A+∠ADC+∠AEC
∠DBE=∠DCE+∠BDC+∠BEC
∴∠DCE-∠DBE=∠A-∠DCE
∵∠DAE=50°,∠DBE=130°
∴∠DCE=90°
③如图4,∠ABD,∠ACD的10等分线相交于点G1、G2、…、G9,若∠BDC=140°,∠BG1C=77°,直接写出∠A的度数为___70°___.
7.如图,已知∠MON=α,点A、B分别在射线ON、OM上移动(不与点O重合),AC平分∠OAB,BD平分∠ABM,直线AC、BD交于点C.试问:
随着A、B点的移动变化,∠ABM,直线AC、BD交于点C.试问:
随着A、B点的移动变化,∠ACB的大小是否也随之变化?
若改变,说明理由;若不改变,求出其值.
分析:
先根据三角形外角的性质∠MON+∠OAB=∠ABM,再由角平分线的性质及三角形内角和定理即可得出结论.
解答:
解:
∠ACB=
α为一定值.
理由:
∵∠ABM是△AOB的外角,
∴∠MNO+∠OAB=∠ABM,∠MON=α,
∴∠ABM-∠OAB=∠MON=α.
∵AC平分∠OAB,BD平分∠ABM,
∴∠BAC=
∠OAB,∠ABD=
∠ABM=
(∠MNO+∠OAB),
∵∠ABD是△ABC的外角,
∴∠ABD=∠C+∠BAC,即∠C=∠ABD-∠BAC=
(∠ABM-∠OAB)=
α.
8.(7分)如图,在△ABC中,AD是中线,分别过点B、C作AD的垂线段BE、CF,垂足分别为点E、F.求证:
BE=CF.
证明∵在△ABC中,AD是中线,
∴BD=CD,
∵CF⊥AD,BE⊥AD,
∴∠CFD=∠BED=90°,
在△BED与△CFD中,
∵
∴△BED≌△CFD(AAS)
∴BE=CF.
8.(10分)如图,A,B,C,D,E,F,M,N是某公园里的8个独立的景点,D,E,B三个景点之间的距离相等;A,B,C三个景点距离相等.其中D,B,C在一条直线上,E,F,N,C在同一直线上,D,M,F,A也在同一条直线上.游客甲从E点出发,沿E→F→N→C→A→B→M游览,同时,游客乙从D点出发,沿D→M→F→A→C→B→N游览.若两人的速度相同且在各景点游览的时间相同,甲、乙两人谁最先游览完?
请说明理由.
答:
甲、乙两人同时浏览完.
理由如下:
∵D,E,B三个景点之间距离相等,
∴BD=BE=DE.
∴△BDE是等边三角形.
∴∠DBE=60°.
同理,△ABC也是等边三角形,∠ABC=60°.
∴∠ABE=180°-∠DBE-∠ABC=60°.
∴∠DBE=∠ABC=∠ABE.
∴∠ABD=∠ABE+∠DBE,∠CBE=∠ABE+∠ABC.
∴∠ABD=∠CBE.
∴△ABD≌△CBE(SAS).
∴CE=AD,∠BDA=∠BEC.
∵BD=BE,∠BDA=∠BEC,∠DBE=∠ABE,
∴△MBD≌△NBE(ASA).
∴BM=BN.
∴EC+AC+AB+BM=AD+AC+BC+BN.
∴沿E→F→N→C→A→B→M,D→M→F→A→C→B→N的距离相等,
所以甲、乙两人同时浏览完
9.已知:
如图,在△ABC中,∠B=∠C,∠BAD=40°,且∠ADE=∠AED,
求:
∠CDE的度数.
解:
∵∠EDC+∠C=∠AED,∠ADE=∠AED,
∴∠C+∠EDC=∠ADE,
又∵∠B+∠BAD=∠ADC,
∴∠B+40°=∠C+∠EDC+∠EDC,
∵∠B=∠C.
∴2∠EDC=40°,
∴∠EDC=20°.
10.(本小题7分)已知∠MON,点A,B分别在射线ON,OM上移动(不与点O重合),AD平分∠BAN,BC平分∠ABM,直线AD,BC相交于点C.
(1)如图1,若∠MON=90°,试猜想∠ACB的度数,并直接写出结果;
(2)如图2,若∠MON=α,问:
当点A,B在射线ON,OM上运动的过程中,∠ACB的度数是否改变?
若不改变,求出其值(用含α的式子表示);若改变,请说明理由;
(3)如图3,若∠MON=α,BC平分∠ABO,其他条件不改变,问:
(2)中的结论是否仍然成立,请直接写出你得结论.
解:
(1)∠ACB=45°
(2)∠ACB的度数不改变.
∵AD平分∠BAN,BC平分∠ABM,
∴∠1=∠2=
∠BAN,∠3=∠4=
∠ABM.
∵∠BAN=∠O+∠6,∠ABM=∠O+∠5,
∴∠2+∠4=
(∠BAN+∠ABM)
=
(∠O+∠5+∠O+∠6)=90°+
∠O.
∴∠ACB=180°-(∠2+∠4)=90°-
∠O=90°-
α.
(3)∠ACB的度数不改变,∠ACB=
α.
11.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E是DC的中点,BE⊥DC,点F在线段BE上,且满足BF=AB,FC=AD。
求证:
(1)∠A=∠BFC。
(2)∠FBC=∠BCF。
解:
(1)连接BD
∵点E是DC的中点,BE⊥DC
∴BE垂直平分DC
在△ABD与△FBC中,
∴
∴∠A=∠BFC。
(2)由
(1)知△ABD≌△FBC
∴∠1=∠2
∵AD∥BC
∴∠1=∠DBC
∵BD=BC且BE⊥DC
∴∠3=
∠DBC
∴∠3=
∠2
即∠FBC=
∠BCF。
12.如图,已知∠MON=90°,点A、B分别在射线ON、OM上运动,∠OAB的角平分线与△OBA的外角∠ABM的平分线交于点C,试问:
∠ACB的大小是否变动?
说明你的结论。
解:
不变,
理由:
13.(10分)如图,在△ABC中,∠B=∠C,D、E、F分别在AB、BC、AC上,且BD=CE,
∠DEF=∠B,问:
DE和EF是否相等?
并说明理由.
解:
∵∠B=∠C,∠DEF=∠B,∠DEC=∠B+∠BDE(三角形的外角定理),∴∠BDE=∠FEC,
在△BDE与△CEF中,
,∴△BDE≌△CEF(ASA),∴DE=EF.
14.已知:
如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AM平分∠DAB,DM平分∠ADC,点M恰在BC上.
(1)求证:
AM⊥DM;
(2)若∠C=90°,求证:
BM=CM.
(3)若M是BC的中点,猜想AD、AB、CD之间有何数量关系?
请证明你的结论.
.解:
(1)略
(2)证明:
过M作ME⊥AD,交AD于E.∵DM平分∠ADC,∠C=90°.
MC=ME.同理可得MB=ME.∴BM=CM.
(3)延长DM、AB相交于点F,则△DCM≌△FBM,∴BF=CD
又∠ADM=∠CDM=∠AFM,∠DAM=∠FAM,AM=AM∴△ADM≌△AFM,∴AD=AF=AB+BF=AB+CD
15.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,BC=16.点P从A点出发沿A-C-B路径向终点运动,终点为B点;点Q从B点出发沿B-C-A路径向终点运动,终点为A点.点P和Q分别以2和6的运动速度同时开始运动,两点都要到相应的终点时才能停止运动,在某时刻,分别过P和Q作PE⊥l于E,QF⊥l于F.
问:
点P运动多少时间时,△PEC与QFC全等?
请说明理由.
解:
∵△PEC≌△QFC,∴斜边CP=CQ,有四种情况:
①P在AC上,Q在BC上,CP=12-2t,CQ=16-6t,∴12-2t=16-6t,∴t=1;
②P、Q都在AC上,此时P、Q重合,∴CP=12-2t=6t-16,∴t=3.5;
③P到BC上,Q在AC时,此时不存在;
理由是:
16÷6×2<12,Q到AC上时,P点也在AC上;
④当Q到A点(和A重合),P在BC上时,
∵CP=CQ=AC=12.CP=12-2t∴2t-12=12∴t=12符合题意
答:
点P运动1或3.5或12时,△PEC与△QFC全等.
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- 学生第3讲 年七下第3章 全等三角形 提高训练题 学生 下第 全等 三角形 提高 训练