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第三章刚体力学习题答案3-1如图3-1示,一轻杆长度为,两端各固定一小球,A球质量为,B球质量为m,2l2m

杆可绕过中心的水平轴O在铅垂面内自由转动,求杆与竖直方

向成角时的角加速度.,

解：

系统受外力有三个，即A，B受到的重力和轴的支撑作用力，轴的作用力对轴的力图3-1臂为零，故力矩为零，系统只受两个重力矩作用.以顺时针方向作为运动的正方向，则A球受力矩为正，B球受力矩为负，两个重力的力臂相等为，故合力矩为dl,sin,Mmglmglmgl,,,2sinsinsin,,,

系统的转动惯量为两个小球（可视为质点）的转动惯量之和

222Jmlmlml,，,23

应用转动定律MJ,,

2有：

mglmlsin3,,,

gsin,解得,,3l

3-2计算题3-2图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量均匀分布的圆柱体,其质量为

r,半径为,在绳与轮边缘的摩擦力作用下旋转,忽略桌面M

与物体间的摩擦,设rmm＝50kg,＝200kg,M＝15kg,＝12

0.1m.

图3-2

解:

分别以mmmm,滑轮为研究对象，受力图如图（b）所示．对,运用牛顿定律，1212

有

mg,T,ma?

222

T,ma?

11

对滑轮运用转动定律，有

12?

Tr,Tr,（Mr）,212又，?

a,r,联立以上4个方程，得

mg200，9.8,22a,,,7.6m,sM15m，m，5，200，1222

3-3飞轮质量为60kg,半径为0.25m,当转速为1000r/min时,要在5s内令其制动,求制动

力

设闸瓦与飞轮间摩擦系数＝0.4,飞轮的转动惯量可F,

按匀质圆盘计算,闸杆尺寸如图所示.

图3-3

1解：

以飞轮为研究对象，飞轮的转动惯量2，制动前角速度JmR,2

1000,,为F,,,，2rad/s，制动时角加速度为,,-制动时闸瓦对飞轮的压力为，闸N60t瓦与飞轮间的摩擦力FF,,，运用转动定律，得fN

12,,,FRJmR,,f2

mR,则F,N2,t

以闸杆为研究对象，在制动力,F和飞轮对闸瓦的压力的力矩作用下闸杆保持平衡，两FN力矩的作用力臂分别为ll,，（0.500.75）m和＝0-50m，则有1FlFl,,0N1

llmR,,0.50600.2521000，，，11FF,,,，,157NNllt20.500.7520.4560,，，，，

m,半径为,可绕过盘中心的光滑竖直轴在水平桌面上转R

动.圆盘与桌面间的滑动摩擦系数为,,若用外力推动它使其角速度达到时,撤去,03-4设有一均匀圆盘,质量为

外力,求：

（1）此后圆盘还能继续转动多少时间？

（2）上述过程中摩擦力矩所做的功.

m解：

（1）撤去外力后，盘在摩擦力矩M作用下停止转动-设盘质量密度为，则,,f2,R

有

R22MgrdrmgR,,,,,,2f,03

M1,4,gf2根据转动定律,,,,JmR,,J23R

,,3R00t,,,,4g

（2）根据动能定理有

11222摩擦力的功WJmR,,,,0,,f0024

3-5如题3-6图所示,一匀质细杆质量为m,长为,可绕过一端的水平轴自由转动,杆Ol

于水平位置由静止开始摆下．求：

（1）初始时刻的角加速度；

（2）杆转过角时的角速度.,

图3-6

解:

（1）由转动定律，有

112mg,（ml）,23

3g?

,2l

（2）由机械能守恒定律，有

l1122mgsin,,（ml）,223

3sin,g?

,l3-6固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴,转动．设大小圆柱OO

体的半径分别为rm和,质量分别为和．绕在两柱体上的细绳分别与物体m和m相RM12

连,rmm和m则挂在圆柱体的两侧,如3-8图所示．设＝0.20m,＝0.10m,＝4kg,＝RM12

10kg,m＝m＝2kg,且开始时m,m离地均为＝h1212

2m．求：

（1）柱体转动时的角加速度；

（2）两侧细绳的张力．

解:

设aamm,和β分别为,和柱体的加速度及角加速度，方向如图（如图b）．1212

（a）图（b）图

（1）

mm,和柱体的运动方程如下：

12

T,mg,ma?

2222

mg,T,ma?

1111

,?

TR,Tr,I,12

式中,,T,T,T,T,a,r,,a,R,112221

1122I,MR，mr22

由上式求得

而Rm,rm12,,g22I，mR，mr12

0.2，2,0.1，2,，9.8112222，10，0.20，，4，0.10，2，0.20，2，0.1022

2,6.13rad,s

（2）由?

式

T,m,r，mg,2，0.10，6.13，2，9.8,20.8N222

由?

式

T,mg,mR,,2，9.8,2，0.2.，6.13,17.1N111

3-7一风扇转速为900r/min,当马达关闭后,风扇均匀减速,止动前它转过了75转,在此过

程中制动力做的功为44.4J,求风扇的转动惯量和摩擦力矩.

解：

设制动摩擦力矩为，风扇转动惯量为，止动前风扇的角位移，摩擦MJ,,,2N

力矩所做的功为

AMMN,,,,,,2

摩擦力所做的功应等于风扇转动动能的增量，即

12AJ,,0,2

22（44.4）A，,2J,,,,,0.01,kgm22,,（9002/60），

A,44.4,M,,,,,0.0942Nm2275,,N，

3-8一质量为r、半径为的圆柱体,在倾斜角的粗糙斜面上从距地面高处只滚不滑M,h

而下,试求圆柱体滚止地面时的瞬时角速度,.

解：

在滚动过程中，圆柱体受重力Mg和斜面的摩

擦力作用，设圆柱体滚止地面时，质心在瞬时速F

12率为v,，则此时质心的平动动能为Mv，与此同时，圆柱体以角速度绕几何中心轴转2

12动，其转动动能为MghJ,.将势能零点取在地面上，初始时刻圆柱体的势能为，由于2

圆柱体只滚不滑而下，摩擦力为静摩擦力，对物体不做功，只有重力做功，机械能守恒，

1122MghMvJ,，,22

12式中，代入上式得JMrvr,,,,于是有2

11222MghMrMr,，（）,22

2gh即,,r3

3-9一个轻质弹簧的倔强系数N/m,它的一端固定,另一端通过一条细绳绕过一个k,2.0

定滑轮和一个质量为m＝80g的物体相连,如图所示.定滑轮可看作均匀圆盘,它的质

量为rm＝100g,半径＝0.05m.先用手托住物体,使弹簧处于其自然长度,然后松M

手.求物体m下降＝0.5m时的速度为多大？

忽略滑轮h

轴上的摩擦,并认为绳在滑轮边缘上不打滑.

图3-11

解：

由于只有保守力（弹性力、重力）做功，所以由弹簧、滑轮和物体m组成的系统机

械能守恒，故有

111222mghkhImv,，，,222

12vrIMr,,,,2

22mghkh,所以m/sv,,1.481Mm，2

3-10有一质量为m、长为的均匀细棒,静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上,它,l1

可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动.另有一水平运动的质量为m的小滑块,从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞,设2

碰撞时间极短.已知小滑块在碰撞前后的速度分别为VV和,如图示,12求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间（已知棒绕O

12点的转动惯量Jml,）.1图3-123

解：

对棒和滑块组成的系统，因为碰撞时间极短，所以棒和滑块所受的摩擦力矩远小于相

互间的冲量矩，故可认为合外力矩为零，所以系统的角动量守恒，且碰撞阶段棒的角位移

忽略不计，由角动量守恒得

12mvlmvlml,,，,212213

碰撞后在在转动过程中棒受到的摩擦力矩为

tm11Mgdxmgl,,,,,,1f,0l2

由角动量定理得转动过程中

t12Mdtml,,0,1f,03

，VV12联立以上三式解得：

tm22mg,1

103-11哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆．它离太阳最近距离为r＝8.75×10m时的速1

4-12-1率是vv＝5.46×10m?

s,它离太阳最远时的速率是＝9.08×10m?

s，这时它离太阳12

的距离r为多少?

（太阳位于椭圆的一个焦点.）2

解:

哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于

哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有

rmv,rmv1122

104rv8.75，10，5.46，101211?

r,,,5.26，10m22v9.08，102

3-12平板中央开一小孔,质量为mM的小球用细线系住,细线穿过小孔后挂一质量为的重1

物．小球做匀速圆周运动,当半径为rMM时重物达到平衡．今在的下方再挂一质量为012

,的物体,如3-14图．试问这时小球做匀速圆周运动的角速度和半径为多少?

r,

图3-14

，小球作圆周运动的向心力为，即MMg11

2解:

在只挂重物时?

Mg,mr,100挂上M后，则有2

2,,（M，M）g,mr,?

12

重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒．即,,rmv,rmv00

22,,,r,,r,?

00

联立?

、?

、?

得

Mg1,,0mr0

21123，MgMM,,,（）01mrM

12130MMM，2,12,,,rgr,mMM,，

3-13如图示,长为m的轻杆,两端各固定质量分别为和的小球,杆可绕水平光滑轴2ml

在竖直平面内转动,转轴O距两端的距离分别为或.原来静止在竖直位置.今l/32/3l

有一质量为mvm的小球,以水平速度与杆下端的小球做对心碰0

撞,碰后以v/2,的速度返回,试求碰撞后轻杆所获得的角速度.0

图3-13

解：

将杆与两端的小球视为一刚体，水平飞来的小球m与刚体视为一系统，在碰撞过程中，外力包括轴O处的作用力和重力，均不产生力矩，故合外力矩为零，系统角动量守恒-选

逆时针转动为正方向，则由角动量守恒得

v22ll0mvmJ,,，,0323

2ll22Jmm,，（）2（）33

3v0,,2l

解得3-14圆盘形飞轮A质量为r,m,半径为,最初以角速度转动,与A共轴的圆盘形飞轮B0

质量为,,,半径为,最初静止,如图所示,两飞轮啮合后,以同一速度转动,求2r4m

及啮合过程中机械能的损失.

图3-14解：

以两飞轮组成的系统为研究对象，由于运动过程中系统无外力矩作用，角动量守恒，有

111222mrmrmr,,,,，4

（2）0222

1得,,,017

1112222初始机械能为Wmrmr,,,,100224

111111222222啮合后机械能为Wmrmrmr,，,,,,4

（2）202222174

1611622则机械能损失为,,,,,WWWmrW,12017417

3-15如图示,一匀质圆盘半径为rm,质量为,可绕过中心的垂轴O转动.初时盘静止,一质1

:

量为,,60mv的子弹一速度沿与盘半径成的方向击中盘边缘后以速度沿与半径v/212

:

方向成,30,的方向反弹,求盘获得的角速度.2

图3-15

解：

对于盘和子弹组成的系统，撞击过程中轴O的支撑力的力臂为零，不提供力矩，其他外力矩的冲量矩可忽略不计，故系统对轴O的角动量守恒，即LL,，初时盘的角动量为零，只有子弹有角动量，故12

:

Lmvr,sin6012

末态中盘和