大学高数公式大全.docx
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大学高数公式大全
高等数学公式
(tgx)
sec2x
(arcsinx)
1
1x2
(ctgx)
(secx)
csc2secx
xtgx
(arccosx)
1
1x2
(cscx)
(ax)
cscxaxlna
ctgx
(arctgx)1
2
1x
(logax)
1
xlna
(arcctgx)
1
1x2
导数公式:
基本积分表:
tgxdx
lncosxC
dx
cos2x
sec2
xdx
tgxC
2
ctgxdx
lnsinxC
dxcsc2xdx
ctgxC
secxdx
cscxdx
lnsecxtgxC
lncscxctgxC
sinx
secxtgxdxsecxC
dx
a2x2
1x
arctgCaa
cscx
axdx
ctgxdxax
C
cscxC
dx
x2a2
dx
1lnxaC2axa
1ax
shxdx
lna
chxC
a2x2
lnC
2aax
chxdx
shxC
dx
a2x2
arcsinxCa
dx
x2a2
ln(x
x2a2)C
2
n
Isinn
0
xdx
2
cosn
0
xdx
n1I
nn2
x2a2dx
xx2a2
2
x
aln(x2
2
a2
x2a2)C
x2a2dx
x2a2
2
x
lnx
2
a2
x2a2C
x
a2x2dx
a2x2
2
arcsinC
2a
三角函数的有理式积分:
2u
1u2
x2du
sinx
1u2,cosx
1u2,
utg,
2
dx1u2
一些初等函数:
两个重要极限:
双曲正弦
:
shxee
lim
sinx1
x
x
2x0x
双曲余弦
:
chx
exex
2
xx
lim(1
x
1)x
x
e2.718281828459045...
双曲正切
:
thx
shx
chx
ee
exex
arshx
archx
ln(x
ln(x
x21)
x21)
精品资料
arthx
1ln1x
21x
三角函数公式:
·诱导公式:
sin(cos(
tg(
)sin
)costg
)
coscostg
cossin
sinsin
sin
sin
sin
sin
2sin
2
2cos
2
cos
2
sin
2
1tgtg
ctg(
)ctgctg
ctg1ctg
coscos
coscos
2cos
2
2sin
2
cos
2
sin
2
·和差角公式:
·和差化积公式:
·倍角公式:
sin2cos2
ctg2
2sin2cos2ctg2
2ctg
cos
1
1
12sin2
cos2
sin2
sin3cos3
3sin4cos3
3tg
4sin3
3cos
tg3
tg2
2tg
1tg2
tg3
13tg2
·半角公式:
sin
2
tg
1cos2
1cos
1cos
sin
cos
2
ctg
1cos2
1cos
1cos
sin
21cos
a
sin
b
1cos
c
21cos
222
sin
1cos
·正弦定理:
sinA
sinB
2R
sinC
·余弦定理:
c
ab2abcosC
·反三角函数性质:
arcsinx
arccosx
2
arctgx
arcctgx
2
高阶导数公式——莱布尼兹(Leibniz)公式:
(uv)(n)
n
n
Cku(n
k0
k)v(k)
u(n)v
nu(n
1)v
n(n
2!
1)
u(n
2)
v
n(n
1)nk!
k1)u(n
k)v(k)
uv(n)
中值定理与导数应用:
拉格朗日中值定理:
f(b)
f(a)
f()(ba)
柯西中值定理:
f(b)
f(a)
f()
F(b)
F(a)
F()
当F(x)
x时,柯西中值定理就是
拉格朗日中值定理。
曲率:
弧微分公式:
ds
1y2dx,其中ytg
平均曲率:
K
.:
从M点到M
s
点,切线斜率的倾角变
化量;
s:
MM
弧长。
M点的曲率:
K
limdy.
直线:
K0;
s0sds
(1y
2)3
半径为
a的圆:
K1.a
1
定积分的近似计算:
b
矩形法:
a
b
f(x)
ba(yyn
yn1)
梯形法:
a
f(x)
b
ba[n
1
0
(y0
2
yn)y1
yn1]
0
抛物线法:
f(x)ba[(y
yn)
2(y2y4
yn2)
4(y1y3
yn1)]
a3n
定积分应用相关公式:
功:
WFs
水压力:
FpA
引力:
F
km1m2
r2
k为引力系数
b
函数的平均值:
y
1
baa
f(x)dx
均方根:
b
1
baa
f2(t)dt
空间解析几何和向量代数:
空间2点的距离:
d
M1M2
(x2
x)2
(y2
y)2
(z2
z)2
1
1
1
向量在轴上的投影:
PrjuAB
ABcos
是AB与u轴的夹角。
Prju(a1
a2)
Prja1
Prja2
aba
bcos
axbx
ayby
azbz,是一个数量,
两向量之间的夹角:
cos
axbx
22
axay
ayby
2
az
azbz
222
bxbybz
cab
ij
axay
bxby
k
az,cbz
absin
.例:
线速度:
v
wr.
向量的混合积:
[abc]
代表平行六面体的体积
(ab)c
。
axayaz
bxbybz
cxcycz
abc
cos
为锐角时,
平面的方程:
1、点法式:
A(x
x0)
B(y
y0)
C(z
z0)
0,其中n
{A,B,C},
M0(x0,y0,z0)
2、一般方程:
Ax
ByCzD0
3、截距世方程:
xyz1
abc
平面外任意一点到该平
面的距离:
d
Ax0
By0Cz0D
A2B2C2
xx0mt
空间直线的方程:
xx0
m
y
y0
n
zz
z0
p
t,其中s
{m,n,p};参数方程:
y
y0nt
二次曲面:
2
1、椭球面:
x
a2
x2
y2z2
b2c21
y2
zz0pt
2、抛物面:
2p2q
z(,
p,q同号)
3、双曲面:
2
单叶双曲面:
x
a2
2
双叶双曲面:
x
a2
y2z2
b2c2
y2z2
b2c2
1
(1马鞍面)
多元函数微分法及应用
u
1
(F,G)
v
1
(F,G)
x
J
(x,v)
x
J
(u,x)
u
1
(F,G)
v
1
(F,G)
y
J
(y,v)
y
J
(u,y)
微分法在几何上的应用:
x
空间曲线yz
(t)
(t)在点M(x0(t)
y0
z0
)处的切线方程:
xx0(t0)
yy0
(t0)
zzz0(t0)
在点M处的法平面方程:
(t0)(x
x0)
(t0)(y
y0)
(t0)(z
z0)0
若空间曲线方程为:
F(x,
y,z)
0Fy
则切向量T{
FzFz
FxFxFy
}
G(x,y,z)0
GyGzGz
GxGxGy
曲面F(x,y,z)
0上一点
M(x0,y0,z0),则:
1、过此点的法向量:
n{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}
2、过此点的切平面方程
:
Fx(x0,y0,z0)(x
x0)
Fy(x0,y0,z0)(y
y0)
Fz(x0,y0,z0)(z
z0)0
3、过此点的法线方程:
x
x0
y
y0
zz
z0
Fx(x0,y0,z0)
Fy(x0,y0,z0)
Fz(x0,y0,z0)
方向导数与梯度:
函数z
其中
f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向
为x轴到方向l的转角。
l的方向导数为:
f
l
fcosx
fsiny
函数z
f(x,y)在一点p(x,y)的梯度:
gradf(x,y)fifj
xy
f
它与方向导数的关系是:
l
单位向量。
gradf(x,y)
e,其中e
cosi
sin
j,为l方向上的
f是gradf(x,y)在l上的投影。
l
多元函数的极值及其求法:
设fx(x0,y0)
fy(x0,y0)
0,令:
fxx(x0,y0)
A,fxy(x0,y0)B,
fyy(x0,y0)C
ACB2
A
0时,
A
0,(x0,y0)为极大值
0,(x0,y0)为极小值
则:
AC
B20时,无极值
2
ACB
0时,
不确定
重积分及其应用:
f(x,y)dxdyf(rcos
DD
rsin)rdrd
22
曲面zf(x,y)的面积A
1zz
Dxy
x(x,y)d
dxdy
y(x,y)d
平面薄片的重心:
xMx
M
D,
(x,y)d
D
yMyD
M
D
(x,y)d
平面薄片的转动惯量:
对于x轴Ix
y2(x,y)d,
D
对于y轴Iy
x2(x,y)d
D
平面薄片(位于
xoy平面)对
z轴上质点
M(0,0,a),(a
0)的引力:
F
{Fx,Fy,Fz},其中:
Fxf
(x,y)xd
,
3
Fyf
(x,y)yd
,
3
Fzfa
(x,y)xd
3
D(x2
y2a2)2
D(x2
y2a2)2
D(x2
y2a2)2
柱面坐标和球面坐标:
xrcos
柱面坐标:
y
rsin,zz
f(x,y,z)dxdydz
F(r,
z)rdrd
dz,
其中:
F(r,
z)
f(r
cos
rsin
z)
xrsincos
球面坐标:
y
rsin
sin,
dvrd
rsin
ddr
r2sin
drdd
zrcos
2r(,)
f(x,y,z)dxdydz
F(r,,
)r2sin
drdd
dd
000
F(r,
)r2sindr
重心:
x1M
xdv,
yyM
dv,
zzzM
dv,其中Mxdv
转动惯量:
Ix
(y2
z2)
dv,Iy
(x2
z2)
dv,Iz
(x2
y2)dv
曲线积分:
第一类曲线积分(对弧
长的曲线积分):
x
(t)
设f(x,y)在L上连续,
L的参数方程为:
y
(t
(t)
),则:
f(x,y)ds
L
f[(t),
(t)]
2(t)
2(t)dt(
x
)特殊情况:
y
t(t)
第二类曲线积分(对坐
x
标的曲线积分):
(t)
设L的参数方程为
,则:
y(t)
P(x,y)dxQ(x,y)dy
L
{P[
(t),
(t)]
(t)
Q[
(t),
(t)]
(t)}dt
两类曲线积分之间的关
系:
Pdx
Qdy
(P
cos
Qcos
)ds,其中和分别为
L
L
L上积分起止点处切向量的方向角。
格林公式:
(Q
Dx
P)dxdyy
Pdx
L
Qdy
格林公式:
(Q
Dx
P)dxdyy
Pdx
L
Qdy
当Py,Q
x,即:
Qx
P2时,得到y
D的面积:
A
dxdy
D
1
xdy
2L
ydx
·平面上曲线积分与路径
无关的条件:
1、G是一个单连通区域;
2、P(x,y),
Q(x,y)在
G内具有一阶连续偏导数
,且Q=
x
P。
注意奇点,如
y
(0,0),应
减去对此奇点的积分,
·二元函数的全微分求积
注意方向相反!
:
在Q=
x
P时,
y
Pdx
Qdy
才是二元函数
u(x,y)的全微分,其中:
u(x,y)
(x,y)
P(x,
(x0,y0)
y)dx
Q(x,
y)dy,通常设x0
y00。
曲面积分:
对面积的曲面积分:
f(x,y,z)ds
x
y
Dxy
f[x,y,z(x,y)]1
z2(x,y)
z2(x,y)dxdy
对坐标的曲面积分:
P(x,y,z)dydz
Q(x,y,z)dzdx
R(x,y,z)dxdy,其中:
R(x,y,z)dxdy
Dxy
R[x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正号;
P(x,y,z)dydz
Dyz
P[x(y,z),
y,z]dydz,取曲面的前侧时取正号;
Q(x,y,z)dzdx
Dzx
Q[x,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右侧时取正号。
两类曲面积分之间的关
系:
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
(Pcos
Qcos
Rcos
)ds
高斯公式:
(PQ
xy
R)dvz
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
(Pcos
Qcos
Rcos
)ds
高斯公式的物理意义——通量与散度:
散度:
div
PQR,即:
单位体积内所产生xyz
的流体质量,若
div
0,则为消失
...
通量:
Ands
Ands
(Pcos
Qcos
Rcos
)ds,
因此,高斯公式又可写
成:
divAdv
Ands
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系:
(RQ)dydz(Pyzz
R)dzdx(Qxx
P)dxdyy
Pdx
Qdy
Rdz
上式左端又可写成:
dydz
xP
dzdx
yQ
dxdy
zR
cos
xP
cos
yQ
cos
zR
空间曲线积分与路径无
关的条件:
R
y
Q,P
zzz
R,QP
xxy
旋度:
rotA
ijk
xyz
PQR
向量场
A沿有向闭曲线
的环流量:
Pdx
Qdy
Rdz
Atds
n
常数项级数:
2
等比数列:
1qq
qn11q
等差数列:
123
n(n
1q
1)n2
调和级数:
111
23
1是发散的
n
级数审敛法:
1、正项级数的审敛法
—
—根植审敛法(柯西判
1时,级数收敛
别法):
设:
lim
n
nun,则
1时,级数发散
1时,不确定
2、比值审敛法:
1时,级数收敛
设:
lim
n
Un1,则
Un
1时,级数发散
1时,不确定
3、定义法:
snu1u2
un;lim
n
sn存在,则收敛;否则发散。
交错级数u1u2
u3u4
un
(或
un1
u1u2u3
un
1)
的审敛法
—
—莱布尼兹定理:
如果交错级数满足
limunn
,那么级数收敛且其和s0
u1,其余项rn的绝对值rn
un1。
绝对收敛与条件收敛:
(1)u1u2un
(2)u1u2u3
,其中
un
un为任意实数;
如果
(2)收敛,则
(1)肯定收敛,且称为绝对
收敛级数;
如果
(2)发散,而
1
(1)
收敛,则称
(
(1)
为条件收敛级数。
2)n
调和级数:
发散,而
n
收敛;
n
级数:
1收敛;
n2
p级数:
1np
p1时发散
p1时收敛
幂级数:
1xx2x3xn
x1时,收敛于1
1x
2
x1时,发散
对于级数
(3)a0
a1x
ax2
axn
n
x
,如果它不是仅在原点
R时收敛
收敛,也不是在全
数轴上都收敛,则必存
在R,使
xR时发散
xR时不定
,其中
R称为收敛半径。
0时,R1
求收敛半径的方法:
设
lim
n
an1
a
,其中
an,an
1是(3)的系数,则
0时,R
n时,R0
函数展开成幂级数:
函数展开成泰勒级数:
f(x)
f
f(x0
)(x
x0)
f(x0)(x
x)2
(n)
(x0)(x
x)n
余项:
Rn
0
0
f(n1)(
)(x
n
x0)
2!
1
f(x)可以展开成泰勒级数的
n!
充要条件是:
limRn0
(n1)!
f(0)
n
f(n)(0)
x00时即为麦克劳林公式:
f(x)
f(0)
f(0)xx2xn
2!
n!
2
n
一些函数展开成幂级数:
m
(1x)
1mx
m(m
n
2!
1)x
m(m
1)(m
n!
n1)x
(1x1)
3
5
sinxxxx
3!
5!
(1)
1
x2n
(2n
1
1)!
(x)
欧拉公式:
eix
cosx
isinx
cosx
或
eix
eix
2
sinx
eix
eix
2
三角级数:
f(t)A0
Ansin(nt
n1
a0
n)
2n1
(an
cosnx
bnsin
nx)
其中,a0
aA0,an
Ansin
n,bn
Ancosn,tx。
正交性:
1,sin
x,cos
x,sin
2x,cos2x
sin
nx,cosnx
任意两个不同项的乘积
在[,]
上的积分=0。
傅立叶级数:
f(x)a0
2
(an
n1
cosnx
bnsin
nx),周期2
a
f
n
1(x)cos
其中
nxdx
(n0,1,2)
bn1
f(x)sin
nxdx
(n1,2,3)
11
13252
111
222
2111
81223242
2111
1222
2
(相加)
6
2
(相减)
2462423412
正弦级数:
an0,bn
2
f(x)sin
0
nxdx
n1,2,3
f(x)
bnsin
nx是奇函数
余弦级数:
bn0,an
2f(x)cos
0
nxdx
n0,1,2
f(x)a0
2
ancos
nx是偶函数
周期为
2l的周期函数的傅立叶级数:
f(x)a0
2
(an
n1
l
cosnxl
bnsin
nx),周期2ll
n
a1fll
l
其中
b
f
1
n
ll
(x)cosn
(x)sinn
l
xdx
l
xdx
(n0,1,2)
(n1,2,3)
微分方程的相关概念:
一阶微分方程:
yf(x,y)或
P(x,y)dx
Q(x,y)dy0
可分离变量的微分方程
:
一阶微分方程可以化
为g(y)dy
f(x)dx的形式,解法:
g(y)dy
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