14常见问题解答6超静定结构内力计算 静定结构的内力与材料的性质无关.docx

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14常见问题解答6超静定结构内力计算静定结构的内力与材料的性质无关

14.常见问题解答6超静定结构内力计算静定结构的内力与材料的性质无关

　　建筑力学常见问题解答

　　6超静定结构內力计算

　　1．什么是超静定结构？

它和静定结构有何区别？

　　答：

单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。

　　从几何组成的角度看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系。

若去掉其中任何一个约束，静定结构即成为几何可变体系。

也就是说，静定结构的任何一个约束，对维持其几何不变性都是必要的，称为必要约束。

对于超静定结构，若去掉其中一个甚至多个约束后，结构仍可能是几何不变的。

　　2．什么是超静定结构的超静定次数？

　　答：

超静定结构多余约束的数目，或者多余约束力的数目，称为结构的超静定次数。

　　3．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构？

　　答：

超静定结构的基本结构必须是静定结构。

　　4．如何确定超静定结构的超静定次数？

　　答：

确定结构超静定次数的方法是：

去掉超静定结构的多余约束，使之变为静定结构，则去掉多余约束的个数，即为结构的超静定次数。

　　5．撤除多余约束的方法有哪几种？

　　答：

撤除多余约束常用方法如下：

　　去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束。

　　去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰，等于去掉两个约束。

　　去掉一个固定端支座或把刚性连接切开，等于去掉三个约束。

　　6．用力法计算超静定结构的基本思路是什么？

　　答：

用力法计算超静定结构的基本思路是：

　　去掉超静定结构的多于约束，代之以多余未知力，形成静定的基本结构；取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程，利用这一变形条件求解多余约束力；将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加，即为原超静定结构在荷载作用下产生的内力。

　　7．什么是力法的基本结构和基本未知量？

　　答：

力法的基本结构是：

超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。

力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。

　　8．简述n次超静定结构的力法方程，及求原结构的全部反力和內力的方法。

答：

n次超静定结构的力法方程

　　对于n次超静定结构，撤去n个多余约束后可得到静定的基本结构，在去掉的n个多

　　余约束处代以相应的多余未知力。

当原结构在去掉的多余约束处的位移为零时，相应地也就有n个已知的位移谐调条件：

Δi=0。

由此可以建立n个关于求解多余未知力的方程：

　　δ11X1+δ12X2++δ1nXn+∆1P=0

　　δ21X1+δ22X2++δ2nXn+∆2P=0

　　δn1X1+δ2nX2++δnnXn+∆nP=0

　　式中：

　　δii称为主系数，表示当Xi=1作用在基本结构上时，Xi作用点沿Xi方向的位移。

由于δii是Xi=1引起的自身方向上的位移，故恒大于零。

可由Mi自身图乘得出。

　　δij称为副系数，表示当Xj=1作用在基本结构上时，Xi作用点沿Xi方向的位移。

可正可负也可等于零。

由位移计算公式：

　　δij=∑⎰

　　很容易得出：

δij=δjiMiMjdsEI

　　δij可由Mi和Mj图乘得出。

　　ΔiP为自由项，表示荷载单独作用在基本结构上时，沿Xi方向的位移，可正可负也可等于零。

可由Mi和MP图乘得出。

　　求原结构的全部反力和內力

　　1）由图乘法求得主系数、副系数和自由项后，即可解得n个多余未知力Xi。

按照静定结构的分析方法可求原结构的全部反力和內力。

　　2）绘制原结构的弯矩图时，也可以利用已经绘出的基本结构的MP图和Mi图用叠加原理计算，即：

　　M=M1X1+M2X2++MnXn+MP

　　最后，根据平衡条件可求剪力和轴力。

　　9．在力法典型方程中，其主系数为什么恒大于零？

而副系数和自由项则可能为正值、负值或为零？

　　答：

δii称为主系数，表示当Xi=1作用在基本结构上时，Xi作用点沿Xi方向的位移。

由于δii是Xi=1引起的自身方向上的位移，故恒大于零。

可由Mi自身图乘得出。

　　δij称为副系数，表示当单位力Xj=1单独作用在基本结构上时，力Xi作用点沿Xi方向的位移。

可正可负也可等于零。

由位移计算公式：

　　δij=∑⎰

　　ΔMiMjdsEIXi方向的位移，可正可负也可iP为自由项，表示荷载单独作用在基本结构上时，沿

　　等于零。

可由Mi和MP图乘得出。

　　10．力法方程的物理意义是什么？

　　答：

力法方程的物理意义是：

基本结构在多余未知力和荷载的作用下，在去掉多余约束处的位移与原结构中相应的位移相等，即基本结构与原结构的位移协调条件。

　　11．试列出用力法求解超静定结构的基本步骤。

　　答：

用力法计算超静定结构的步骤是：

　　选择基本结构

　　确定结构的超静定次数，撤去多余约束，代以相应的多余未知力，得到基本结构。

　　建立力法典型方程

　　根据所撤去的多余约束数，建立力法典型方程

　　计算系数和自由项

　　首先作基本结构在荷载和Xi=1单独作用时的各弯矩图，然后用图乘法分别计算。

　　求多余未知力

　　将计算出的系数和自由项代入力法典型方程，解出多余未知力。

　　作內力图

　　按静定结构，用平衡条件或叠加法计算基本结构內力，画出內力图。

　　12．简述位移法的基本假定。

　　答：

为了简化计算，用位移法讨论多跨超静定梁和刚架时，作如下基本假定：

　　刚性结点假定：

各杆不是铰结合，而是牢固结合，假定这种结点是刚性的，即假定变形时在该结点相交各杆端的截面有相同的转角。

　　杆端联线长度不变假定：

对于受弯杆件，通常可略去轴向变形和剪切变形的影响，并认为弯曲变形是微小的，因而可假定各杆端之间的联线长度在变形后仍保持不变。

　　小变形假定：

即结点线位移的弧线可用垂直于杆件的切线来代替。

　　13．位移法与力法的主要区别是什么？

　　答：

位移法与力法的主要区别是它们所选取的基本未知量不同。

力法是以结构中的多余未知力为基本未知量，求出多余未知力后，再据此算得其它未知力和位移。

而位移法是取结点位移为基本未知量，根据求得的结点位移再计算结构的未知内力和其它未知位移。

　　14．什么是位移法的基本体系？

　　答：

对于超静定结构，可用在结点上加约束的方法，将组成结构的各个杆件都变成单跨超静定梁，将这些单跨超静定梁的组合称作位移法的基本体系。

　　15．试述位移法的基本原理。

　　答：

位移法的基本原理是：

根据结构及其在荷载作用下的变形情况，确定结点位移为基本未知量；进而将整体结构划分成若干根单元杆件，每根杆件均可看作单跨超静定梁，从而建立这些杆件的杆端弯矩与结点位移以及荷载之间的关系；然后利用平衡条件建立求解结点位移的关系式；求出结点位移的数值后，便可进一步求出各杆的杆端弯矩；最后根据杆端弯矩和荷载便可画出弯矩图。

　　16．用位移法分析超静定刚架的基本过程如何？

　　答：

用位移法分析超静定刚架的基本过程是：

　　根据杆端弯矩和荷载画出弯矩图。

　　17．用位移法计算超静定结构时，有哪两类基本未知量？

　　答：

用位移法计算超静定结构时，是以刚结点的角位移和独立的结点线位移作为基本未知量的。

　　18．如何确定位移法的基本未知量？

　　答：

确定位移法的基本未知量

　　结点角位移：

独立的结点角位移未知量的数目就等于结构刚结点的数目。

　　独立的结点线位移：

在确定独立的结点线位移数目时，首先可把原结构的所有刚结点和固定端支座假设改为铰，这就得到一个铰结体系。

若此铰结体系是几何不变体系，则由此可以知道原结构所有结点均无线位移。

如这个铰结体系是几何可变或瞬变的，则可线位移数目。

　　19．如何建立位移法的基本体系？

位移法的基本体系与力法的基本体系由何不同？

答：

建立位移法的基本体系，可在刚架的每个刚性结点上假想地加上一个附加刚臂，以阻止刚结点的转动，但不能阻止刚结点的移动；对产生线位移的结点加上附加链杆，以阻止其线位移，而不阻止结点的转动。

这样一来，就得到了单跨超静定梁的组合体。

这就是位移法的基本体系。

　　位移法的基本体系是通过增加刚臂和链杆得到，一般情况下其基本体系是唯一的。

这与力法不同，力法的基本结构是通过减少约束，用多余未知力来代替多余约束，采用静定结构作为基本结构，因此它的基本结构可有多种形式。

　　20．位移法分析等截面直杆时的关键是什么？

如何表示超静定梁杆端弯矩和杆端剪力？

杆端力的符号如何规定？

　　答：

位移法分析等截面直杆时，关键是要用杆端位移表示杆端力。

　　两端固定的杆端弯矩和杆端剪力

　　其两端产生的位移为：

A端和B端分别产生顺时针转角θA和θB，B点产生垂直于AB的线位移△，它绕AB也是顺时针转动。

杆端位移的符号规定为：

杆端转角θ以顺时针方向转向为正，反之为负；杆端相对线位移△以使杆件顺时针转向为正，反之为负。

由力法算得的杆端弯矩和杆端剪力为：

⎧⎪MAB

　　⎪⎪M⎪BA

　　⎨⎪FQAB⎪⎪F⎪FQBA⎩∆F+MABl∆F=2iθA+4iθB-6i+MBAl6i6i12iF=-θA-θB+2∆+FQABlll6i6i12iF=-θA-θB+2∆+FQBAlll=4iθ

　　A+2iθB-6i

　　图6-19式中i=EI为杆件的线刚度。

l

　　一端固定、一端铰支的杆端弯矩和杆端剪力

　　3i⎧FM=3iθ

　　-∆+MABAAB⎪⎪l⎨⎪F=-3iθ+3i∆+FF

　　QABAQAB⎪ll2⎩MBA=0FQBA3i3iF=-θA+2∆+FQBAll

　　图6-20

　　杆端力的符号规定

　　杆端弯矩绕杆端顺时针转动为正，反之为负；杆端剪力绕着其所作用的隔离体内侧附近一点顺时针转动为正。

　　反时针转动为负。

　　21．形常数和载常数分别指的是什么？

　　答：

当杆端位移为单位值时，所得的杆端力通常称为等截面直杆的刚度系数。

刚度系数是只与杆件的长度、截面的几何形状、材料性质有关的常数，所以也叫形常数。

　　对于两端固定梁，其上作用有其它形式荷载，或对其它形式支座的单跨超静梁，其作用有某种形式的荷载，同样均可用力法算出其固端弯矩和固端剪力。

因为它们是只与荷载形式有关的常数，所以又叫做载常数。

　　22．什么叫固端弯矩？

　　答：

力矩分配法中，约束状态下的杆端弯矩称为固端弯矩。

　　23．如何计算附加刚臂上的约束力矩？

　　答：

在附加刚臂上必有约束力矩MB，约束力矩等于各杆固端弯矩之和。

以顺时针转向为正，反之为负。

　　24．力矩分配法中杆端弯矩正、负号是如何规定的？

　　答：

在力矩分配法中杆端弯矩正、负号的规定都与位移法相同，即杆端弯矩以顺时针转向为正，作用于结点的弯矩以逆时针转向为正；结点上的外力偶仍以顺时针转向为正等。

　　25．力矩分配法的三个要素是什么？

分别是如何确定的？

　　答：

力矩分配法的三要素为：

转动刚度、分配系数和传递系数。

　　转动刚度：

使杆端产生单位转角以θA=1时，所需施加的力矩称为转动刚度，用SAB表示。

转动刚度不仅与该梁的线刚度i有关，而且与远端的支承情况有关。

l

　　分配系数：

相交于A点的各杆的分配系数，等于该杆A端的转动刚度SAj，除以汇交于A点的各杆A端转动刚度之和。

　　传递系数：

各杆远端弯矩与近端弯矩的比值称为传递系数，用C表示。

对于等截面直杆来说，传递系数C的大小与杆件远端的支承情况有关。

　　支撑情况与转动刚度、传递系数的关系

　　26．试述力矩分配法的基本原理。

　　答：

力矩分配法可归结为单个结点的力矩分配与传递。

为了能在结点上进行力矩分配，首先设想于结点处附加约束，形成位移法基本结构，求得荷载作用下各杆固端力矩及约束力矩，即求得了固定状态的力矩；然后，放松约束使结构恢复其自然状态，以消除基本结构与原结构的差别，此时应在结点加上一个与约束力矩相反的力矩，并对此力矩进行分配、传递，即求得了放松状态的力矩；最后，与位移法相似叠加这两种状态的力矩，即各杆端力矩，并据此汇出弯矩图。

　　27．列出力矩分配法的基本步骤。

　　答：

力矩分配法的基本步骤：

　　将结点固定，求荷载作用下的杆端弯矩，即固端弯矩；

　　求各杆固端弯矩的代数和，得出结点的约束力矩。

　　求各杆端的分配系数，将约束力矩冠以负号，分别乘以各杆的分配系数，得到分配弯矩。

　　将分配弯矩乘以传递系数，得到远端的传递弯矩。

　　将各杆的固端弯矩、分配弯矩及传递弯矩相加，就得到结构在荷载作用下的杆端弯矩。

　　以上过程中的第一步是求约束状态下的杆端弯矩。

第二、三步是求放松状态下的杆端弯矩，第四部是叠加约束状态和放松状态的杆端弯矩，求得结构在自然状态下的杆端弯矩。