中考数学高频考点剖析专题15 平面几何之位置关系问题解析卷.docx
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中考数学高频考点剖析专题15平面几何之位置关系问题解析卷
备考2019中考数学高频考点剖析
专题十五平面几何之位置关系问题
考点扫描☆聚焦中考
位置关系,是每年中考的必考内容之一,考查的知识点包括直线相交和直线平行两方面,总体来看,难度系数低,以选择填空为主。
也有少量的解析题。
解析题主要以几何图形的综合为主。
结合近几年来全国各地中考的实例,我们从三方面进行平面几何位置问题的探讨:
(1)直线相交;
(2)直线平行;
(3)相交与平行的综合考查.
考点剖析☆典型例题
例1如图,直线a、b被直线c所截,下列条件能使a∥b的是( )
A.∠1=∠6B.∠2=∠6C.∠1=∠3D.∠5=∠7
【解答】解:
∵∠2=∠6(已知),
∴a∥b(同位角相等,两直线平行),
则能使a∥b的条件是∠2=∠6,
故选:
B.
例2如图,小明从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处,又沿北偏西20°方向行走至C处,此时需把方向调整到与出发时一致,则方向的调整应是( )
A.右转80°B.左转80°C.右转100°D.左转100°
【解答】解:
60°+20°=80°.
由北偏西20°转向北偏东60°,需要向右转.
故选:
A.
例3(2017•新疆)如图,AB∥CD,∠A=50°,∠C=30°,则∠AEC等于( )
A.20°B.50°C.80°D.100°
【考点】JA:
平行线的性质.
【分析】先根据平行线的性质,得到∠ADC=∠A=50°,再根据三角形外角性质,即可得到∠AEC的度数.
【解答】解:
∵AB∥CD,∠A=50°,
∴∠ADC=∠A=50°,
∵∠AEC是△CDE的外角,∠C=30°,
∴∠AEC=∠C+∠D=30°+50°=80°,
故选:
C.
【点评】本题主要考查了平行线的性质,解题时注意:
两直线平行,内错角相等.
例4若∠A与∠B的两边分别垂直,请判断这两个角的等量关系.
(1)如图1,∠A与∠B的关系是 ∠A=∠B ;如图2,∠A与∠B的关系是 ∠A+∠B=180° ;
(2)若∠A与∠B的两边分别平行,试探索这两个角的等量关系,画图并证明你的结论.
【解答】
(1)如图1,∠A=∠B,
∵∠ADE=∠BCE=90°,∠AED=∠BEC,
∴∠A=180°﹣∠ADE﹣∠AED,
∠B=180°﹣∠BCE﹣∠BEC,
∴∠A=∠B,
如图2,∠A+∠B=180°;
∴∠A+∠B=360°﹣90°﹣90°=180°.
∴∠A与∠B的等量关系是互补;
故答案为:
∠A=∠B,∠A+∠B=180°;
(2)如图3,∠A=∠B,
∵AD∥BF,∴∠A=∠1,
∵AE∥BG,∴∠1=∠B,
∴∠A=∠B;
如图4,∠A+∠B=180°,
∵AD∥BG,
∴∠A=∠2,
∵AE∥BF,
∴∠2+∠B=180°,
∴∠A+∠B=180°.
例5如图1,CE平分∠ACD,AE平分∠BAC,∠EAC+∠ACE=90°
(1)请判断AB与CD的位置关系并说明理由;
(2)如图2,在
(1)的结论下,当∠E=90°保持不变,移动直角顶点E,使∠MCE=∠ECD,当直角顶点E点移动时,问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系?
(3)如图3,在
(1)的结论下,P为线段AC上一定点,点Q为直线CD上一动点,当点Q在射线CD上运动时(点C除外)∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系?
(2、3小题只需选一题说明理由)
【考点】JB:
平行线的判定与性质.
【分析】
(1)先根据CE平分∠ACD,AE平分∠BAC得出∠BAC=2∠EAC,∠ACD=2∠ACE,再由∠EAC+∠ACE=90°可知∠BAC+∠ACD=180,故可得出结论;
(2)过E作EF∥AB,根据平行线的性质可知EF∥AB∥CD,∠BAE=∠AEF,∠FEC=∠DCE,故∠BAE+∠ECD=90°,再由∠MCE=∠ECD即可得出结论;
(3)根据AB∥CD可知∠BAC+∠ACD=180°,∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°,故∠BAC=∠PQC+∠QPC.
【解答】解:
(1)∵CE平分∠ACD,AE平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠EAC,∠ACD=2∠ACE,
∵∠EAC+∠ACE=90°,
∴∠BAC+∠ACD=180°,
∴AB∥CD;
(2)∠BAE+
∠MCD=90°;
过E作EF∥AB,
∵AB∥CD,
∴EF∥AB∥CD,
∴∠BAE=∠AEF,∠FEC=∠DCE,
∵∠E=90°,
∴∠BAE+∠ECD=90°,
∵∠MCE=∠ECD,
∴∠BAE+
∠MCD=90°;
(3)∵AB∥CD,
∴∠BAC+∠ACD=180°,
∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°,
∴∠BAC=∠PQC+∠QPC.
考点过关☆专项突破
类型一相交线问题
1.(2018·浙江衢州·3分)如图,直线a,b被直线c所截,那么∠1的同位角是( )
A.∠2B.∠3C.∠4D.∠5
【考点】同位角
【分析】根据同位角就是:
两个角都在截线的同旁,又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角解答即可.
【解答】解:
由同位角的定义可知,∠1的同位角是∠4.
故选C.
【点评】本题考查了同位角问题,解答此类题确定三线八角是关键,可直接从截线入手.对平面几何中概念的理解,一定要紧扣概念中的关键词语,要做到对它们正确理解.
2.把一副直角三角板ABC(含30°、60°角)和CDE(含45°、45°角)如图放置,使直角顶点C重合,若DE∥BC,则∠1的度数是( )
A.75°B.105°C.110°D.120°
【解答】解:
∵DE∥BC,
∴∠E=∠ECB=45°,
∴∠1=∠ECB+∠B=45°+60°=105°,
故选:
B.
3.(2018·广东广州·3分)如图,直线AD,BE被直线BF和AC所截,则∠1的同位角和∠5的内错角分别是( )
A.∠4,∠2B.∠2,∠6C.∠5,∠4D.∠2,∠4
【答案】B
【考点】同位角、内错角、同旁内角
【解析】【解答】解:
∵直线AD,BE被直线BF和AC所截,
∴∠1与∠2是同位角,∠5与∠6是内错角,
故答案为:
B.
【分析】同位角:
两条直线a,b被第三条直线c所截(或说a,b相交c),在截线c的同旁,被截两直线a,b的同一侧的角,我们把这样的两个角称为同位角。
内错角:
两条直线被第三条直线所截,两个角分别在截线的两侧,且夹在两条被截直线之间,具有这样位置关系的一对角叫做内错角。
根据此定义即可得出答案.
4.(2018·广西贺州·3分)如图,下列各个角中,互为对顶角的是.
【解答】解:
互为对顶角的是:
∠1和∠2.
5..如图,直线AB、CD相交于点O,OA平分∠EOC,∠EOC=70°,则∠BOD的度数等于( )
A.20°B.30°C.35°D.40°
【考点】J2:
对顶角、邻补角;IJ:
角平分线的定义.
【分析】根据角平分线定义求出∠AOC=
∠EOC=35°,根据对顶角的定义即可求出∠BOD的度数.
【解答】解:
∵OA平分∠EOC,∠EOC=70°,
∴∠AOC=
∠EOC=35°,
∴∠BOD=∠AOC=35°.
故选:
C.
6.如图,直线AB、CD相交于点O,OF⊥CO,∠AOF与∠BOD的度数之比为3:
2,则∠AOC的度数是( )
A.18°B.45°C.36°D.30°
【考点】垂线;对顶角、邻补角.
【分析】根据垂直定义可得∠FOC=90°,再根据∠AOF与∠BOD的度数之比为3:
2可得∠AOF:
∠AOC=3:
2,然后可得答案.
【解答】解:
∵OF⊥CO,
∴∠FOC=90°,
∵∠AOF与∠BOD的度数之比为3:
2,
∴∠AOF:
∠AOC=3:
2,
∴∠AOC=90°×
=36°,
故选:
C.
7.如图,直线AB、CD相交于点O,OE把∠BOD分成两部分.
(1)直接写出图中∠AOC的对顶角:
∠BOD ,∠EOB的邻补角:
∠AOE
(2)若∠AOC=70°且∠BOE:
∠EOD=2:
3,求∠AOE的度数.
【考点】J2:
对顶角、邻补角.
【分析】
(1)根据对顶角和邻补角的定义直接写出即可;
(2)根据对顶角相等求出∠BOD的度数,再根据∠BOE:
∠EOD=2:
3求出∠BOE的度数,然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数.
【解答】解:
(1)∠AOC的对顶角是∠BOD,∠EOB的邻补角是∠AOE,
故答案为:
∠BOD,∠AOE;
(2)∵∠AOC=70°,
∴∠BOD=∠AOC=70°,
∵∠BOE:
∠EOD=2:
3,
∴∠BOE=
×70°=28°,
∴∠AOE=180°﹣28°=152°.
∴∠AOE的度数为152°.
类型二平行线问题
1.(2018•山东枣庄•3分)已知直线m∥n,将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置(∠ABC=30°),其中A,B两点分别落在直线m,n上,若∠1=20°,则∠2的度数为( )
A.20°B.30°C.45°D.50°
【分析】根据平行线的性质即可得到结论.
【解答】解:
∵直线m∥n,
∴∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=50°,
故选:
D.
【点评】本题考查了平行线的性质,熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
2.(2018•山东淄博•4分)如图,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,若AN=1,则BC的长为( )
A.4B.6C.
D.8
【考点】KO:
含30度角的直角三角形;JA:
平行线的性质;KJ:
等腰三角形的判定与性质.
【分析】根据题意,可以求得∠B的度数,然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长,从而可以求得BC的长.
【解答】解:
∵在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC,
∴∠AMB=∠NMC=∠B,∠NCM=∠BCM=∠NMC,
∴∠ACB=2∠B,NM=NC,
∴∠B=30°,
∵AN=1,
∴MN=2,
∴AC=AN+NC=3,
∴BC=6,
故选:
B.
【点评】本题考查30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.
3.(2018•山东菏泽•3分)如图,直线a∥b,等腰直角三角板的两个顶点分别落在直线a、b上,若∠1=30°,则∠2的度数是( )
A.45°B.30°C.15°D.10°
【考点】KW:
等腰直角三角形;JA:
平行线的性质.
【分析】根据a∥b,得到∠1+∠3+∠4+∠2=180°,将∠1=30°,∠3=45°,∠4=90°代入即可求出∠2的度数.
【解答】解:
如图.
∵a∥b,
∴∠1+∠3+∠4+∠2=180°,
∵∠1=30°,∠3=45°,∠4=90°,
∴∠2=15°,
故选:
C.
【点评】本题考查了平行线的性质,熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
4.(2018·山东潍坊·3分)把一副三角板放在同一水平桌面上,摆放成如图所示的形状,使两个直角顶点重合,两条斜边平行,则∠1的度数是( )
A.45°B.60°C.75°D.82.5°
【分析】直接利用平行线的性质结合已知角得出答案.
【解答】解:
作直线l平行于直角三角板的斜边,
可得:
∠2=∠3=45°,∠3=∠4=30°,
故∠1的度数是:
45°+30°=75°.
故选:
C.
【点评】此题主要考查了平行线的性质,正确作出辅助线是解题关键.
5.如图1,一张四边形纸片ABCD,∠A=50°,∠C=150°.若将其按照图2所示方式折叠后,恰好MD′∥AB,ND′∥BC,则∠D的度数为 80° .
【解答】解:
∵△MND′由△MND翻折而成,
∴∠1=∠D′MN,∠2=∠D′NM,
∵MD′∥AB,ND′∥BC,∠A=50°,∠C=150°
∴∠1+∠D′MN=∠A=50°,∠2+∠D′NM=∠C=150°,
∴∠1=∠D′MN=
∠A=
=25°,∠2=∠D′NM=
∠C=
=75°,
∴∠D=180°﹣∠1﹣∠2=180°﹣25°﹣75°=80°.
故答案是:
80°.
6.如图,AB∥CD,以点B为圆心,小于DB长为半径作圆弧,分别交BA、BD于点E、F,再分别以点E、F为圆心,大于
EF长为半径作圆弧,两弧交于点G,作射线BG交CD于点H.若∠D=116°,则∠DHB的大小为 32 度.
【解答】解:
∵AB∥CD,
∴∠D+∠ABD=180°,
又∵∠D=116°,
∴∠ABD=64°,
由作法知,BH是∠ABD的平分线,
∴∠DHB=
∠ABD=32°;
故答案为:
32.
7.(2018·湖南省衡阳·3分)将一副三角板如图放置,使点A落在DE上,若BC∥DE,则∠AFC的度数为 75° .
【解答】解:
∵BC∥DE,△ABC为等腰直角三角形,
∴∠FBC=∠EAB=
(180°﹣90°)=45°,
∵∠AFC是△AEF的外角,
∴∠AFC=∠FAE+∠E=45°+30°=75°.
故答案为:
75°.
8如图,EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70°,求∠AGD的度数.请将解题过程填写完整.
解:
∵EF∥AD(已知)
∴∠2= ∠3 ( )
又∵∠1=∠2(已知)
∴∠1=∠3( )
∴AB∥ DG ( )
∴∠BAC+ ∠AGD =180°( )
∵∠BAC=70°(已知)
∴∠AGD= 110° .
【解答】解:
∵EF∥AD(已知),
∴∠2=∠3(两直线平行,同位角相等),
又∵∠1=∠2(已知),
∴∠1=∠3(等量代换),
∴AB∥DG(内错角相等,两直线平行),
∴∠BAC+∠AGD=180°(两直线平行,同旁内角互补).
∵∠BAC=70°(已知),
∴∠AGD=110°.
故答案为:
∠3;两直线平行,同位角相等;等量代换;DG,内错角相等,两直线平行;∠AGD;两直线平行,同旁内角互补;110°.
类型三相交与平行综合问题
1.(2017张家界)如图,a∥b,PA⊥PB,∠1=35°,则∠2的度数是 55° .
【考点】JA:
平行线的性质;J3:
垂线.
【分析】先延长AP交直线b于C,再根据平行线的性质以及三角形的外角性质进行计算即可.
【解答】解:
如图所示,延长AP交直线b于C,
∵a∥b,
∴∠C=∠1=35°,
∵∠APB是△BCP的外角,PA⊥PB,
∴∠2=∠APB﹣∠C=90°﹣35°=55°,
故答案为:
55°.
2.(2018•广安•3分)一大门栏杆的平面示意图如图所示,BA垂直地面AE于点A,CD平行于地面AE,若∠BCD=150°,则∠ABC= 120 度.
【分析】先过点B作BF∥CD,由CD∥AE,可得CD∥BF∥AE,继而证得∠1+∠BCD=180°,∠2+∠BAE=180°,又由BA垂直于地面AE于A,∠BCD=150°,求得答案.
【解答】解:
如图,过点B作BF∥CD,
∵CD∥AE,
∴CD∥BF∥AE,
∴∠1+∠BCD=180°,∠2+∠BAE=180°,
∵∠BCD=150°,∠BAE=90°,
∴∠1=30°,∠2=90°,
∴∠ABC=∠1+∠2=120°.
故答案为:
120.
【点评】此题考查了平行线的性质.注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想的应用.
3.(2018·辽宁省阜新市)如图,已知AB∥CD,点E,F在直线AB,CD上,EG平分∠BEF交CD于点G,∠EGF=64°,那么∠AEF的度数为 52° .
【解答】解:
∵AB∥CD,∠EGF=64°,∴∠BEG=∠EGF=64°.
又∵EG平分∠BEF,∴∠BEF=2∠BEG=128°,∴∠AEF=180°﹣128°=52°.
故答案为:
52°.
4.(2018·重庆市B卷)(8.00分)如图,AB∥CD,△EFG的顶点F,G分别落在直线AB,CD上,GE交AB于点H,GE平分∠FGD.若∠EFG=90°,∠E=35°,求∠EFB的度数.
【分析】依据三角形内角和定理可得∠FGH=55°,再根据GE平分∠FGD,AB∥CD,即可得到∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°,再根据∠FHG是△EFH的外角,即可得出∠EFB=55°﹣35°=20°.
【解答】解:
∵∠EFG=90°,∠E=35°,
∴∠FGH=55°,
∵GE平分∠FGD,AB∥CD,
∴∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°,
∵∠FHG是△EFH的外角,
∴∠EFB=55°﹣35°=20°.
【点评】考查了平行线的性质,两直线平行时,应该想到它们的性质,由两直线平行的关系得到角之间的数量关系,从而达到解决问题的目的.
5.(2015•六盘水)如图,已知,l1∥l2,C1在l1上,并且C1A⊥l2,A为垂足,C2,C3是l1上任意两点,点B在l2上.设△ABC1的面积为S1,△ABC2的面积为S2,△ABC3的面积为S3,小颖认为S1=S2=S3,请帮小颖说明理由.
【分析】根据两平行线间的距离相等,即可解答.
【解答】解:
∵直线l1∥l2,
∴△ABC1,△ABC2,△ABC3的底边AB上的高相等,
∴△ABC1,△ABC2,△ABC3这3个三角形同底,等高,
∴△ABC1,△ABC2,△ABC3这些三角形的面积相等.
即S1=S2=S3.
6.(2018•重庆)如图,AB∥CD,△EFG的顶点F,G分别落在直线AB,CD上,GE交AB于点H,GE平分∠FGD.若∠EFG=90°,∠E=35°,求∠EFB的度数.
【分析】依据三角形内角和定理可得∠FGH=55°,再根据GE平分∠FGD,AB∥CD,即可得到∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°,再根据∠FHG是△EFH的外角,即可得出∠EFB=55°﹣35°=20°.
【解答】解:
∵∠EFG=90°,∠E=35°,
∴∠FGH=55°,
∵GE平分∠FGD,AB∥CD,
∴∠FHG=∠HGD=∠FGH=55°,
∵∠FHG是△EFH的外角,
∴∠EFB=55°﹣35°=20°.
7.如图,已知直线l1∥l2,且l3和l1、l2分别交于A、B两点,点P在AB上.
(1)试找出∠1、∠2、∠3之间的关系并说出理由;
(2)如果点P在A、B两点之间运动时,问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化?
(3)如果点P在A、B两点外侧运动时,试探究∠1、∠2、∠3之间的关系(点P和A、B不重合)
【考点】平行线的性质.
【分析】
(1)过点P作l1的平行线,根据平行线的性质进行解题.
(2)(3)都是同样的道理.
【解答】解:
(1)∠1+∠2=∠3;
理由:
过点P作l1的平行线,
∵l1∥l2,
∴l1∥l2∥PQ,
∴∠1=∠4,∠2=∠5,(两直线平行,内错角相等)
∵∠4+∠5=∠3,
∴∠1+∠2=∠3;
(2)同
(1)可证:
∠1+∠2=∠3;
(3)∠1﹣∠2=∠3或∠2﹣∠1=∠3
理由:
当点P在下侧时,过点P作l1的平行线PQ,
∵l1∥l2,
∴l1∥l2∥PQ,
∴∠2=∠4,∠1=∠3+∠4,(两直线平行,内错角相等)
∴∠1﹣∠2=∠3;
当点P在上侧时,同理可得:
∠2﹣∠1=∠3.
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