高三数学 第五篇 第四节 垂直关系自主复习课件理 北师大版.docx
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高三数学第五篇第四节垂直关系自主复习课件理北师大版
xx年龙门高三数学第五篇第四节垂直关系自主复习课件(理)北师大版
2019-2020年高三数学第五篇第四节垂直关系自主复习课件(理)北师大版
一、选择题
1.若m、n是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是( )
A.若m⊂β,α⊥β,则m⊥α
B.若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n,则α∥β
C.若m⊥β,m∥α,则α∥β
D.若α⊥γ,α⊥β,则β⊥γ
【解析】 A中只有当m垂直于α、β的交线时,才有m⊥α;
B中α、β可能相交,如三棱柱的两个侧面;
C中m∥α⇒α内有一直线
D中,β与γ可能平行,也可能相交(不一定垂直).
【答案】 C
2.(xx年柳州模拟)设a、b是不同的直线,α、β是不同的平面,则下列四个命题中正确的是( )
A.若a⊥b,a⊥α,则b∥α
B.若a∥α,α⊥β,则a⊥β
C.若a⊥β,α⊥β,则a∥α
D.若a⊥b,a⊥α,b⊥β,则α⊥β
【解析】 A中,b可能在α内;B中,a可能在β内,也可能与β平行或相交(不垂直);C中,a可能在α内;D中,a⊥b,a⊥α,则b⊂α或b∥α,又b⊥β,∴α⊥β.
【答案】 D
3.
如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在( )
A.直线AB上
B.直线BC上
C.直线AC上
D.△ABC内部
【解析】∵BA⊥AC,BC1⊥AC,BA∩BC1=B,
∴AC⊥平面ABC1.
∵AC⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面ABC1,且交线是AB.故平面ABC1上一点C1在底面ABC的射影H必在交线AB上.
【答案】 A
4.如果一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面互相垂直,则这两个二面角的大小是( )
A.相等B.互补
C.相等或互补D.无法确定
【解析】 如图,α—l—β为直二面角,γ—a—δ为另一个二面角,使γ⊥α,δ⊥β,a⊥β.
把γ平面固定不动,使δ平面绕a转动时,满足条件,但γ—a—δ的度数不能确定,∴应选D.
【答案】 D
5.(xx年浙江模拟)下面四个命题:
①“直线a∥直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”;
②“直线l⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l⊥平面α”;
③“直线a、b为异面直线”的充分不必要条件是“直线a、b不相交”;
④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”.
其中正确命题的序号是( )
A.①②B.②③
C.②④D.③④
【解析】 a∥b推不出a平行于b所在平面,反之也不成立.
∴①不正确.由线面垂直的定义知②正确.a、b不相交时,a、b可能平行,此时a、b共面.③不正确.当α∥β时,α内一定有三个不共线的点到平面β的距离相等.反之,设A、B、C是α内三个不共线的点,当β过△ABC的中位线时,A、B、C三点到β的距离相等,但此时α、β相交,④正确.
【答案】 C
二、填空题
6.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使平面ABD⊥平面CBD,E是CD的中点,则异面直线AE、BC所成角的正切值是____.
【解析】 如图,取BD中点O,连接AO、OE,
则AO⊥BD.
∵平面ABD⊥平面CBD,∴AO⊥平面BCD,OE∥BC,
∴∠AEO即为AE、BC所成的角.
设正方形的边长为2,
【答案】
7.正四棱锥S—ABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在表面上运动,并且总保持PE⊥AC,则动点P的轨迹的周长为______.
【解析】
由题意知;点P的轨迹为
如图所示的三角形EFG,其中G、
F为中点,
【答案】
8.设P是60°的二面角α—l—β内一点,PA⊥α,PB⊥β,A、B分别为垂足,PA=2,PB=4,则AB的长是________.
【解析】
设平面PAB与棱l交于点O,连接AO、BO,则∠AOB为二面角的平面角,
∴∠AOB=60°,
∴∠APB=120°.
∴AB2=AP2+BP2-2AP·BP·cos120°
【答案】
三、解答题
9.
(xx年年苏北模拟)在四棱锥S—ABCD中,已知AB∥CD,SA=SB,SC=SD,E、F分别为AB、CD的中点.
(1)求证:
平面SEF⊥平面ABCD;
(2)若平面SAB∩平面SCD=l,求证:
AB∥l.
【证明】
(1)由SA=SB,E为AB中点得SE⊥AB.
由SC=SD,F为CD中点得SF⊥DC.
又AB∥DC,∴SB⊥SF.
又SF∩SE=S,∴AB⊥平面SEF.
又∵AB⊂平面ABCD,∴平面SEF⊥平面ABCD.
(2)∵AB∥CD,CD⊂平面SCD,
∴AB∥平面SCD.
又∵平面SAB∩平面SCD=l,
根据直线与平面平行的性质定理得:
AB∥l.
10.
(xx年九江模拟)如图,四棱锥S—ABCD的底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,E是SC上一动点.
(1)求证:
平面EBD⊥平面SAC;
(2)当的值为多少时,二面角B—SC—D的大小为120°?
(3)在
(2)的条件下,设AB=1,当E位于何处时,恰为四棱锥S—ABCD的外接球的球心.并求该球的体积.
【解析】
(1)
⇒⇒平面EBD⊥平面SAC.
(2)由题设易知,Rt△SBC≌Rt△SDC.
设BE⊥SC,则DE⊥SC.
∴∠BED为二面角B—SC—D的平面角.
∴∠BED=120°.
设AB=a,SA=b,计算可得,BE=DE=
而BD=a,代入余弦定理:
BD2=BE2+DE2-2BE·DE·cos120°⇒a=b,
从而=1.
(3)当E为SC的中点时,恰为四棱锥S—ABCD的外接球球心,利用补形法可把四棱锥补成一个正方体,则E点为对角线交点,即正方体中心,可得结论.
∴外接球的半径为R=,V球=π.
2019-2020年高三数学简易逻辑教案同步教案新人教A版
一、教学进度
高考总复习之二-------简易逻辑
命题,四种命题的关系,充要条件
二、复习指导
逻辑是正确解题的基础,逻辑错误会导致全功尽弃
是否命题的关键是看它能否判定真假,是否复合命题的标准在于该命题是否含有逻辑联结词:
或、且、非,如果……,那么……
原命题:
若p,则q:
逆命题:
若q,则p:
否命题:
若非p,则非q,逆否命题:
若非q,则非p
原命题与逆否命题互为逆否,同真假
逆命题与否命题互为逆否,同真假.
反证法就是从原命题的否定出发,推出矛盾(这个矛盾,指的是与已知条件矛盾,或与公理,定理矛盾,或与假设矛盾)从而说明原命题的否定是错误的,这样就确立了原命题的正确性。
要分清充分条件和必要条件,在证明充要条件时要分清充分性和必要性,若pq,则p是q的充分条件,q是p的必要条件,即“推出人者为充分,被人推出者为必要”
三、典型例题讲评
例1.在△ABC中,P:
∠A>∠B,q1=sinA>sinB,q2:
cosA<cosB,q3:
cotA<cotB,q4:
sinA>cosB
其中p是:
(i=1,2,3,4)的什么条件?
P是q1的充要条件,原因如下:
∠A>∠Ba>b2RsinA>2RsinB,sinA>sinB;
P是q2的充要条件,原因如下:
函数y=cosx在[0,π]上单调递减,而A,B∈[0,π],∴∠A>∠BcosA<cosB;
P是q3的充要条件,理由类似②
P既不是q4的充分条件,也不是q4的必要条件,理由如下:
若△ABC,A=900,B=600,则sinA>cosB,若△ABC中,A=1350,B=300,则sinA<cosB
例2.P为△ABC内(含边界)任一点,“p到三边距离之和为定值”是“△ABC是正三角形”的什么条件?
证明你的结论。
充要条件.
充分性,分别取p为A、B、C,则它到三边距离之和分别为ha,hb,hc,由题设ha=hb=hc,由面积公式,a=b=c,△ABC为正三角形
必要性,若p在顶点处(不妨设p在A点),则p到三边距离之和即ha(当然与ha,hc相等,为定值);若p点在边上(不妨设在BC上),则P到三边距离之和即p到b,c两边距离之和db+dc,∵S△ABC=S△ABP+S△ACP.故有aha=a(db+db+dc),∴db+dc当定值ha;若P点在三角形内部则S△ABC=S△ABP+S△BCP+S△ACP,从而有aha=a(da+db+dc),即da+db+dc=ha.
例3.已知函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,a、b∈R,对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0”
(1)写出其逆命题,并证明它的真假.
(2)写出其逆否命题,并证明它的真假.
(1)逆命题:
“若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0”这是一个真命题,我们用反证法证明:
假设a+b<0,即a<-b,b<-a,而f(x)单调递增.
故f(a)<f(-b),f(b)<f(-a).从而f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).与已知矛盾,说明假设错误.
∴a+b≥0
(2)逆否命题:
“f(a)+f(b)<f(-b)+f(-a),则a+b<0”
这也是一个真命题,可类
(1)用反证法证明.
例4.已知p:
≤2,q:
x2―2x+1―m2≤0(m>0)
又知非p是非q的必要条件,但不是充分条件,求取m的取值范围。
先化简p即x∈[-1,11],q即x∈[1-m,1+m]
非p:
x<-1或x>11,非q:
x<1-m或x>1+m.
非q非p,故,解得m≥10
当m≥10时,―1与1―m不可能相等,故非p非q.
∴m∈
例5.已知曲线C1:
f(x-y)=0,C2:
g(x,y)=0,点M坐标为(a,b),则M(C1∩C2)是的什么条件?
说明你的理由.
M(C1∩C2)即M∈(C1∩C2)之否定,亦即之否定,也就是f(x,y)≠0或g(x,y)≠0,故M(C1∩C2)
,即MC1,且MC2,亦即M(C1∩C2).
∴M(C1∩C2)
∴M(C1∩C2)是的必要条件,但不是充分条件.
例6.α∈(0,),求证:
2α可作为一个三边长均为整数的直角三角形的一个内角的充要条件是tanα是有理数.
充分性.
设tanα=(m,n∈N+,m,n互质,m>n)
则tan2α==,作两直角边长分别为2mn,m2-n2的直角三角形,则其斜边长为=m2+n2,该三角形有一内角为2α,三角均为整数.
证法二:
∵tanα=,故可作Rt△ABC,AC=nk,BC=mk(k∈N*)(如图)作斜边AB的中垂线交BC于D,则AD=BD,∠ADC=2∠B
=2α,设CD=x,则AD=+x,整
理可得x=,取k=2m时x即当整数,此
时CD=x=m2-n2,AC=2mn,AD=BD=2m2―(m2―n2)
=m2+n2.均为整数.
必要性:
设Rt△ABC中,∠B=2α,三边均为整数,延长
CB到D,使BD=AB,则∠D=α,且DC=DB+BC=
AB+BC为整数,tanα=∈Q
证法二,Rt△ABC中,∠ABC=2α,三边
长均为整数,BD为角平分线=
=.
∴=∈Q
巩固练习
1.
(1)x2+5<4(x∈R)
(2)ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程.
(3)若b2-4ac<0,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R或φ,
以上哪些是命题?
哪些是真命题?
2.P为平面四边形ABCD内(含边界)任意一点“p到四边距离之和为定值”是“ABCD是正方形”的什么条件?
证明你的结论.
3.1,,不可
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