高考数学大一轮复习 93圆的方程学案 理 苏教版.docx
- 文档编号:2011476
- 上传时间:2022-10-26
- 格式:DOCX
- 页数:12
- 大小:130.33KB
高考数学大一轮复习 93圆的方程学案 理 苏教版.docx
《高考数学大一轮复习 93圆的方程学案 理 苏教版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学大一轮复习 93圆的方程学案 理 苏教版.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高考数学大一轮复习93圆的方程学案理苏教版
2019-2020年高考数学大一轮复习9.3圆的方程学案理苏教版
导学目标:
1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程与一般方程.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
自主梳理
1.圆的定义
在平面内,到________的距离等于________的点的________叫做圆.
2.确定一个圆最基本的要素是________和________.
3.圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中________为圆心,____为半径.
4.圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是____________________,其中圆心为________________________,半径r=________________________.
5.确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为:
(1)根据题意,选择标准方程或一般方程;
(2)根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组;
(3)解出a、b、r或D、E、F,代入标准方程或一般方程.
6.点与圆的位置关系
点和圆的位置关系有三种.
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0),
(1)点在圆上:
(x0-a)2+(y0-b)2____r2;
(2)点在圆外:
(x0-a)2+(y0-b)2____r2;
(3)点在圆内:
(x0-a)2+(y0-b)2____r2.
自我检测
1.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆时,m的取值范围为______________.
2.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是________.
3.点P(2,-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是______________.
4.已知点(0,0)在圆:
x2+y2+ax+ay+2a2+a-1=0外,则a的取值范围是________.
5.过圆x2+y2=4外一点P(4,2)作圆的切线,切点为A、B,则△APB的外接圆方程为________.
探究点一 求圆的方程
例1 求经过点A(-2,-4),且与直线l:
x+3y-26=0相切于点B(8,6)的圆的方程.
变式迁移1 根据下列条件,求圆的方程.
(1)与圆O:
x2+y2=4相外切于点P(-1,),且半径为4的圆的方程;
(2)圆心在原点且圆周被直线3x+4y+15=0分成1∶2两部分的圆的方程.
探究点二 圆的几何性质的应用
例2 已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P,Q两点,且OP⊥OQ(O为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径.
变式迁移2 如图,已知圆心坐标为(,1)的圆M与x轴及直线y=x分别相切于A、B两点,另一圆N与圆M外切且与x轴及直线y=x分别相切于C、D两点.
(1)求圆M和圆N的方程;
(2)过点B作直线MN的平行线l,求直线l被圆N截得的弦的长度.
探究点三 与圆有关的最值问题
例3 已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.
(1)求y-x的最大值和最小值;
(2)求x2+y2的最大值和最小值.
变式迁移3 如果实数x,y满足方程(x-3)2+(y-3)2=6,求的最大值与最小值.
1.求圆的标准方程就是求出圆心的坐标与圆的半径,借助弦心距、弦、半径之间的关系计算可大大简化计算的过程与难度.
2.点与圆的位置关系有三种情形:
点在圆内、点在圆上、点在圆外,其判断方法是看点到圆心的距离d与圆半径r的关系.d
3.本节主要的数学思想方法有:
数形结合思想、方程思想.
(满分:
90分)
一、填空题(每小题6分,共48分)
1.(xx·重庆改编)在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为________.
2.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是______________.
3.圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a、b∈R)对称,则ab的取值范围是____________.
4.(xx·苏州模拟)已知点P(2,1)在圆C:
x2+y2+ax-2y+b=0上,点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上,则实数a,b的值分别为________和________.
5.已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC面积的最小值为________.
6.(xx·天津)已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程为________________.
7.圆心在直线2x-3y-1=0上的圆与x轴交于A(1,0)、B(3,0)两点,则圆的方程为______________.
8.设直线ax-y+3=0与圆(x-1)2+(y-2)2=4相交于A、B两点,且弦AB的长为2,则a=________.
二、解答题(共42分)
9.(14分)根据下列条件,求圆的方程:
(1)经过A(6,5)、B(0,1)两点,并且圆心C在直线3x+10y+9=0上;
(2)经过P(-2,4)、Q(3,-1)两点,并且在x轴上截得的弦长等于6.
10.(14分)(xx·南京模拟)已知点(x,y)在圆(x-2)2+(y+3)2=1上.
(1)求x+y的最大值和最小值;
(2)求的最大值和最小值;
(3)求的最大值和最小值.
11.(14分)如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度AB=20米,拱高OP=4米,每隔4米需用一支柱支撑,求支柱A2P2的高度(精确到0.01米)(≈28.72).
学案47 圆的方程
答案
自主梳理
1.定点 定长 集合 2.圆心 半径 3.(a,b) r
4.D2+E2-4F>0
6.
(1)=
(2)> (3)<
自我检测
1.m<或m>1 2.x2+(y-2)2=1 3.x-y-3=0
4.(,-1)∪(,)
5.(x-2)2+(y-1)2=5
课堂活动区
例1 解题导引
(1)一可以利用圆的一般式方程,通过转化三个独立条件,得到有关三个待定字母的关系式求解;二可以利用圆的方程的标准形式,由条件确定圆心和半径.
(2)一般地,求圆的方程时,当条件中给出的是圆上若干点的坐标,较适合用一般式,通过解三元方程组求待定系数;当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某直线上、圆的切线方程、圆的弦长等条件,适合用标准式.
解 方法一 设圆心为C,
所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则圆心C.∴kCB=.
由kCB·kl=-1,∴·=-1.①
又有(-2)2+(-4)2-2D-4E+F=0,②
又82+62+8D+6E+F=0.③
解①②③,可得D=-11,E=3,F=-30.
∴所求圆的方程为x2+y2-11x+3y-30=0.
方法二 设圆的圆心为C,则CB⊥l,从而可得CB所在直线的方程为y-6=3(x-8),即3x-y-18=0.①
由A(-2,-4),B(8,6),得AB的中点坐标为(3,1).
又kAB==1,
∴AB的垂直平分线的方程为y-1=-(x-3),
即x+y-4=0.②
由①②联立后,解得
即圆心坐标为.
∴所求圆的半径r==.
∴所求圆的方程为2+2=.
变式迁移1 解
(1)设所求圆的圆心Q的坐标为(a,b),圆Q的方程为(x-a)2+(y-b)2=42,又∵OQ=6,
∴联立方程,
解得a=-3,b=3,
所以所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=16.
(2)
如图,因为圆周被直线3x+4y+15=0分成1∶2两部分,所以∠AOB=120°,而圆心(0,0)到直线3x+4y+15=0的距离d==3,在△AOB中,可求得OA=6.
所以所求圆的方程为x2+y2=36.
例2 解题导引
(1)在解决与圆有关的问题中,借助于圆的几何性质,往往会使得思路简捷明了,简化思路,简便运算.
(2)本题利用方程思想求m值,即“列出m的方程”求m值.
解 方法一 将x=3-2y,
代入方程x2+y2+x-6y+m=0,
得5y2-20y+12+m=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1、y2满足条件:
y1+y2=4,y1y2=.
∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0.
而x1=3-2y1,x2=3-2y2.
∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.
∴9-6(y1+y2)+5y1y2=0,
∴9-6×4+5×=0,
∴m=3,此时1+36-3×4>0,圆心坐标为,半径r=.
方法二
如图所示,
设弦PQ中点为M,
∵O1M⊥PQ,
∴kO1M=2.
又圆心坐标为,
∴O1M的方程为y-3=2,
即y=2x+4.由方程组
解得M的坐标为(-1,2).
则以PQ为直径的圆可设为(x+1)2+(y-2)2=r2.
∵OP⊥OQ,∴点O在以PQ为直径的圆上.
∴(0+1)2+(0-2)2=r2,即r2=5,MQ2=r2.
在Rt△O1MQ中,O1M2+MQ2=O1Q2.
∴2+(3-2)2+5=.
∴m=3.∴半径为,圆心为.
变式迁移2 解
(1)∵M的坐标为(,1),∴M到x轴的距离为1,即圆M的半径为1,
则圆M的方程为(x-)2+(y-1)2=1.
设圆N的半径为r,
连结MA,NC,OM,
则MA⊥x轴,NC⊥x轴,
由题意知:
M,N点都在∠COD的平分线上,
∴O,M,N三点共线.
由Rt△OAM∽Rt△OCN可知,
OM∶ON=MA∶NC,即=⇒r=3,
则OC=3,则圆N的方程为(x-3)2+(y-3)2=9.
(2)由对称性可知,所求的弦长等于过A点与MN平行的直线被圆N截得的弦的长度,
此弦的方程是y=(x-),即x-y-=0,
圆心N到该直线的距离d=,
则弦长为2=.
例3 解题导引 与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型:
(1)形如μ=形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题;
(2)形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;(3)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
解
(1)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时=,解得b=-2±.
所以y-x的最大值为-2+,最小值为-2-.
(2)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.
又圆心到原点的距离为=2,
所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4,
x2+y2的最小值是(2-)2=7-4.
变式迁移3 解
(1)设P(x,y),
则P点的轨迹就是已知圆C:
(x-3)2+(y-3)2=6.
而的几何意义就是直线OP的斜率,
设=k,则直线OP的方程为y=kx.
当直线OP与圆相切时,斜率取最值.
因为点C到直线y=kx的距离d=,
所以当=,
即k=3±2时,直线OP与圆相切.
即的最大值为3+2,最小值为3-2.
课后练习区
1.10
解析 圆的方程化为标准形式为(x-1)2+(y-3)2=10,由圆的性质可知最长弦|AC|=2,最短弦BD恰以E(0,1)为中心,设点F为其圆心,坐标为(1,3).
故EF=,∴BD=2=2,
∴S四边形ABCD=AC·BD=10.
2.(-2,) 3.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考数学大一轮复习 93圆的方程学案 苏教版 高考 数学 一轮 复习 93 方程