高考数学理科一轮复习三角函数的图象与性质学案含答案.docx
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高考数学理科一轮复习三角函数的图象与性质学案含答案
高考数学理科一轮复习三角函数的图象与性质学案(含答案)
学案19 三角函数的图象与性质
导学目标:
1能画出=sinx,=sx,=tanx的图象,了解三角函数的周期性2理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间-π2,π2内的单调性.自主梳理
1.三角函数的图象和性质
函数=sinx=sx=tanx
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
单调性在______________________上增,在__________________________________上减在__________________________上增,在______________________________上减在定义域的每一个区间________________________________内是增函数
2正弦函数=sinx
当x=____________________________________时,取最大值1;
当x=____________________________________时,取最小值-1
3.余弦函数=sx
当x=__________________________时,取最大值1;
当x=__________________________时,取最小值-1
4.=sinx、=sx、=tanx的对称中心分别为____________、___________、______________
.=sinx、=sx的对称轴分别为______________和____________,=tanx没有对称轴.
自我检测
1.(2010•十堰月考)函数=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图象如图所示,则ω为( )A.1B.2.3D.4
2.函数=sin2x+π3图象的对称轴方程可能是( )
A.x=-π6B.x=-π12
.x=π6D.x=π12
3.(2010•湖北)函数f(x)=3sinx2-π4,x∈R的最小正周期为( )
Aπ2B.π.2πD.4π
4.(2010•北京海淀高三上学期期中考试)函数f(x)=(sinx+sx)2+s2x的最小正周期为( )
A.4πB.3π.2πD.π
.如果函数=3s(2x+φ)的图象关于点4π3,0中心对称,那么|φ|的最小值为( )
Aπ6Bπ4π3Dπ2探究点一 求三角函数的定义域
例1 (2011•衡水月考)求函数=2+lg12x+tanx的定义域.
变式迁移1 函数=1-2sx+lg(2sinx-1)的定义域为________________________.
探究点二 三角函数的单调性
例2 求函数=2sinπ4-x的单调区间.
变式迁移2 (2011•南平月考)
(1)求函数=sinπ3-2x,x∈[-π,π]的单调递减区间;
(2)求函数=3tanπ6-x4的周期及单调区间.
探究点三 三角函数的值域与最值
例3 已知函数f(x)=2asin(2x-π3)+b的定义域为[0,π2],函数的最大值为1,最小值为-,求a和b的值.变式迁移3 设函数f(x)=asx+b的最大值是1,最小值是-3,试确定g(x)=bsin(ax+π3)的周期.
转化与化归思想的应用
例 (12分)求下列函数的值域:
(1)=-2sin2x+2sx+2;
(2)=3sx-3sinx,x∈[0,π2];
(3)=sinx+sx+sinxsx
【答题模板】
解
(1)=-2sin2x+2sx+2=2s2x+2sx
=2(sx+12)2-12,sx∈[-1,1].
当sx=1时,ax=4,
当sx=-12时,in=-12,故函数值域为[-12,4].[4分]
(2)=3sx-3sinx=23s(x+π6)
∵x∈[0,π2],∴π6≤x+π6≤2π3,
∵=sx在[π6,2π3]上单调递减,
∴-12≤s(x+π6)≤32
∴-3≤≤3,故函数值域为[-3,3].[8分]
(3)令t=sinx+sx,则sinxsx=t2-12,且|t|≤2
∴=t+t2-12=12(t+1)2-1,∴当t=-1时,in=-1;
当t=2时,ax=12+2
∴函数值域为[-1,12+2].[12分]
【突破思维障碍】
1.对于形如f(x)=Asin(ωx+φ),x∈[a,b]的函数在求值域时,需先确定ωx+φ的范围,再求值域.同时,对于形
如=asinωx+bsωx+的函数,可借助辅助角公式,将函数化为=a2+b2sin(ωx+φ)+的形式,从而求得函数的最值.
2.关于=as2x+bsx+(或=asin2x+bsinx+)型或可以为此型的函数求值域,一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题.
提醒:
不论用什么方法,切忌忽略函数的定义域.1.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基础,三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提,求三角函数的定义域实质上就是解最简单的三角不等式(组).
2.三角函数的值域问题,实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题.
3.函数=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,基本思想是把ωx+φ看作一个整体,利用=sinx的单调区间求.(满分:
7分)
一、选择题(每小题分,共2分)
1.(2011•黄月考)已知函数=sinx的定义域为[a,b],值域为[-1,12],则b-a的值不可能是( )
Aπ3B2π3.πD4π3
2.(2010•安徽6校高三联考)已知函数=tanωx(ω>0)与直线=a相交于A、B两点,且|AB|最小值为π,则函数f(x)=3sinωx-sωx的单调增区间是( )
A2π-π6,2π+π6(∈Z)
B2π-π3,2π+2π3(∈Z)
2π-2π3,2π+π3(∈Z)
D2π-π6,2π+π6(∈Z)
3.函数f(x)=tanωx(ω>0)的图象的相邻的两支截直线=π4所得线段长为π4,则fπ4的值是( )
A.0B.1.-1Dπ4
4.函数=-xsx的部分图象是图中( )
.(2011•三明模拟)若函数=sinx+f(x)在[-π4,3π4]上单调递增,则函数f(x)可以是( )
A.1B.sx
.sinxD.-sx
题号1234
答案
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.设点P是函数f(x)=sinωx的图象的一个对称中心,若点P到图象的对称轴的距离的最小值是π8,则f(x)的最小正周期是________.
7.函数f(x)=2sinx4对于任意的x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则|x1-x2|的最小值为________.
8.(2010•江苏)定义在区间0,π2上的函数=6sx的图象与=tanx的图象的交点为P,过点P作PP1⊥x轴于点P1,直线PP1与=sinx的图象交于点P2,则线段P1P2的长为________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)(2011•厦门月考)已知函数f(x)=2s4x-3s2x+1s2x,求它的定义域和值域,并判断它的奇偶性.
10.(12分)(2010•福建改编)已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)+a(ω>0)与g(x)=2s(2x+φ)+1的图象的对称轴完全相同.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)的单调递减区间;
(3)当x∈[0,π2]时,f(x)的最小值为-2,求a的值.
11.(14分)(2010•安徽合肥高三二模)已知向量a=(sinx,23sinx),b=(2sx,sinx),定义f(x)=a•b-3
(1)求函数=f(x),x∈R的单调递减区间;
(2)若函数=f(x+θ)(0<θ<π2)为偶函数,求θ的值.
答案自主梳理
1.R R {x|x≠π+π2,∈Z} [-1,1] [-1,1] R 2π 2π π 奇函数 偶函数 奇函数 [2π-π2,2π+π2](∈Z) [2π+π2,2π+32π](∈Z) [2π-π,2π](∈Z) [2π,2π+π](∈Z) (π-π2,π+π2)(∈Z)
2.2π+π2(∈Z) 2π-π2(∈Z) 32π(∈Z) 2π+π(∈Z) 4(π,0)(∈Z) π+π2,0(∈Z) π2,0(∈Z) x=π+π2(∈Z) x=π(∈Z)
自我检测
1. 2D 3D 4D A
堂活动区
例1 解题导引 求三角函数的定义域时,需要转化为三角不等式(组)求解,常常借助于三角函数的图象和周期解决,求交集时可以利用单位圆,对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可.
解 要使函数有意义,
则2+lg12x≥0,x>0,tanx≥0,x≠π+π2∈Z,
得0<x≤4,π≤x<π+π2∈Z
所以函数的定义域为
x|0<x<π2或π≤x≤4
变式迁移1 π3+2π,π6+2π,∈Z
解析 由题意得
1-2sx≥02sinx-1>0ͤsx≤12sinx>12,
解得π3+2π≤x≤π3+2π,∈Zπ6+2π<x<π6+2π,∈Z,
即x∈π3+2π,π6+2π,∈Z
例2 解题导引 求形如=Asin(ωx+φ)或=As(ωx+φ)(其中A≠0,ω>0)的函数的单调区间,可以通过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是:
①把“ωx+φ(ω>0)”视为一个“整体”;②A>0(A<0)时,所列不等式的方向与=sinx(x∈R),=sx(x∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反).
解 =2sinπ4-x可看作是由=2sinu与u=π4-x复合而成的.
又∵u=π4-x为减函数,
∴由2π-π2≤u≤2π+π2(∈Z),
即2π-π2≤π4-x≤2π+π2(∈Z),
得-2π-π4≤x≤-2π+3π4(∈Z),
即-2π-π4,-2π+3π4(∈Z)为
=2sinπ4-x的递减区间.
由2π+π2≤u≤2π+3π2(∈Z),
即2π+π2≤π4-x≤2π+3π2(∈Z),
得-2π-π4≤x≤-2π-π4(∈Z),
即-2π-π4,-2π-π4(∈Z)为
=2sinπ4-x的递增区间.
综上可知,=2sinπ4-x的递增区间为
-2π-π4,-2π-π4(∈Z);
递减区间为-2π-π4,-2π+3π4(∈Z).
变式迁移2 解
(1)由=sinπ3-2x,
得=-sin2x-π3,
由-π2+2π≤2x-π3≤π2+2π,
得-π12+π≤x≤π12+π,∈Z,
又x∈[-π,π],
∴-π≤x≤-712π,-π12≤x≤12π,1112π≤x≤π
∴函数=sinπ3-2x,x∈[-π,π]的单调递减区间为-π,-712π,-π12,12π,1112π,π
(2)函数=3tanπ6-x4的周期
T=π-14=4π
由=3tanπ6-x4
得=-3tanx4-π6,
由-π2+π<x4-π6<π2+π得
-43π+
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