全国卷3理科数学试题及参考答案解析WORD版.docx
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全国卷3理科数学试题及参考答案解析WORD版
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试题类型:
新课标Ⅲ
2016年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共24题,共150分,共4页。
考试结束后,将本
试卷和答题卡一并交回。
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写,字体工整,笔迹清
楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上
答题无效。
4.作图可先用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破,不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。
第I卷
一.选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设集合Sx|(x2)(x3)0,Tx|x0,则SIT=
A.2,3B.,23,C.3,D.0,23,
【答案】D
【解析】易得S,23,,ST0,23,,选D
【考点】解一元二次不等式、交集
(2)若z12i,则4i
zz
1
A.1B.1C.iD.i
【答案】C
【解析】易知z12i,故zz14,
4i
zz
1
i
,选C
【考点】共轭复数、复数运算
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(3)已知向量
13
BA,BC=(
22
3
2
,
1
2
),则ABC
A.30°B.45°C.60°D.120°A
y
【答案】A
C
cosABC
【解析】法一:
BABC
BABC
3
3
2
112
,ABC30
B
x
法二:
可以B点为坐标原点建立如图所示直角坐标系,易知ABx60,CBx30,ABC30
【考点】向量夹角的坐标运算
(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.
图中A点表示十月的平均最高气温约为15C,B点表示四月的平均最低气温约为5C.下面叙述不正确的是
A.各月的平均最低气温都在0C以上
B.七月的平均温差比一月的平均温差大
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同
D.平均最高气温高于20C的月份有5个
【答案】D
【解析】从图像中可以看出平均最高气温高于20C的月份有七月、八
月,六月为20C左右,故最多3个
【考点】统计图的识别
(5)若
tan
3
4
,则
2
cos2sin2
A.
64
25
B.
48
25
C.1D.
16
25
【答案】A
【解析】
2
cos2sin2
2
cos4sincos14tan64
222
cossin1tan
25
【考点】二倍角公式、弦切互化、同角三角函数公式
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421
(6)已知
a23,b33,c253,则
A.bacB.abcC.bcaD.cab
【答案】A
42212
【解析】
a24,b3,c255,故cab
33333
【考点】指数运算、幂函数性质
(7)执行右面的程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=
A.3B.4C.5D.6
【答案】B
【解析】列表如下
a426-2426-24
b64646
s06101620
n01234
【考点】程序框图
(8)在△ABC中,
π
B,BC边上的高等于
4
1
3
BC,则cosA
A
A.310
10
B.10
10
C.10
10
D.
310
10
C
B
【答案】C
D
【解析】如图所示,可设BDAD1,则AB2,DC2,
AC5,由余弦定理知,cosA
25910
10
225
【考点】解三角形
(9)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视
图,则该多面体的表面积为
A.18365B.54185C.90D.81
【答案】B
【解析】由三视图可知该几何体是一个平行六面体,上下底面为俯视图的
一半,各个侧面平行四边形,故表面积为
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2332362393654185
【考点】三视图、多面体的表面积
(10)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值
是
A.4πB.9π
2
C.6πD.32π
3
10
【答案】B
6
【解析】由题意知,当球为直三棱柱的内接球时,体积最
大,选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面,如图所示,
8则由切线长定理可知,内接圆的半径为2,
又
AA1322,所以内接球的半径为
3
2
,即V的最大值为
49
3
R
32
【考点】内接球半径的求法
(11)已知O为坐标原点,F是椭圆C:
22
xy
的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.
221(ab0)
ab
P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中
点,则C的离心率为
A.1
3
B.1
2
C.2
3
D.3
4
P
y
E
【答案】A
ONOBaMFMFAFac
【解析】易得,
MFBFacOE2ONAOa
1aacac
2acaac
M
N
AF
O
B
x
e
c
a
1
3
【考点】椭圆的性质、相似
(12)定义“规范01数列”{an}如下:
{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,⋯,
ak中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有()
A.18个B.16个C.14个D.12个
【答案】C
【解析】
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01111
0
0111
1011
1
101
00111
0
1
0011
1
101
011
10
101
0111
10
0011
1
101
10
011
101
【考点】数列、树状图
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)
题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:
本大题共3小题,每小题5分
xy10
(13)设x,y满足约束条件,则zxy的最大值为________.
x2y0
x2y20
【答案】
3
2
【解析】三条直线的交点分别为
1
2,1,1,,0,1
2
,代入目标函数可得
3
3,,1,故最小值为10
2
【考点】线性规划
(14)函数ysinx3cosx的图像可由函数ysinx3cosx的图像至少向右平移______个单位长度得
到.
2
【答案】
3
【解析】ysinx3cosx2sinx,ysinx3cosx2sinx,故可前者的图像可由后者向
33
右平移
2
3
个单位长度得到
【考点】三角恒等变换、图像平移
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(15)已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)lnx3x,则曲线yfx在点1,3处的切线方程是______
【答案】2xy10
【解析】法一:
11
f'(x)33
xx
,f'12,f'12,故切线方程为2xy10
法二:
当x0时,fxfxlnx3x,
1
f'x3,f'12,故切线方程为2xy10
x
【考点】奇偶性、导数、切线方程
(16)已知直线l:
mxy3m30与圆
2212
xy交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于
C,D两点,若AB23,则|CD|__________.
【答案】3
y
B【解析】如图所示,作AEBD于E,作OFAB于F,
F
AAB23,OA23,OF3,即
E
CD
x
3m3
2
m
1
3
,
m
3
3
∴直线l的倾斜角为30°
CDAE
3
233
2
【考点】直线和圆、弦长公式
三.解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
已知数列an的前n项和S
n=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明
a是等比数列,并求其通项公式;
n
31
(2)若S5,求λ.
32
【答案】
(1);
(2)
【解析】
解:
(1)S1a,0
nn
a
n
0
当n2时,
aSS11a1a1aa1
nnnnnnn
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即
1anan,
1
0,an0,10,即1
即
a
n
a
n
1
n2
1
,
∴an是等比数列,公比
q,
1
当n=1时,
S11a1a1,
即
a
1
1
1
n1
1
a
n
11
(2)若
S
5
31
32
则
S
5
5
1
1
11531
1
132
1
1
1
【考点】等比数列的证明、由Sn求通项、等比数列的性质
(18)(本小题满分12分)
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:
亿吨)的折线图.
(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注:
参考数据:
777
y9.32,ty40.17,
iii
2
(yiy)0.55,7≈2.646.
i1i1i1
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n
(tt)(yy)
ii
参考公式:
r
i1
nn
22
(tt)(yy)
ii
i1i1
,
回归方程yabt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
n
(tt)(yy)
iii1
b,aybt
n
2
(tt)
ii1
【答案】
(1)见解析;
(2)y0.920.10t,1.82亿吨
【解析】
7
(1)由题意得
1234567
t4,
7
y
i
y
i
11.331
7
7n
r
(tt)(yy)tynty
iiii
i1i1
7777
2222
(tt)(yy)(tt)(yy)
iiii
i1i1i1i1
6.741.33
280.55
0.99
因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归方程来拟合
y与t的关系
n
(2)
(tt)(yy)
ii
2.89
i1
b0.103
n
28
2
(tt)
i
i1
aybt1.330.10340.92
所以y关于t的线性回归方程为yabt0.920.10t
将t9代入回归方程可得,y1.82
预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨
【考点】相关性分析、线性回归
(19)(本小题满分12分)
如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,
M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(1)证明MN∥平面PA;B
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
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【答案】
(1)见解析;
(2)85
25
【解析】
(1)由已知得
2
AMAD2,取BP的中点T,连接AT,TN,
3
由N为PC中点知TN//BC,
1
TNBC2.......3分
2
又AD//BC,故TN平行且等于AM,四边形AMNT为平行四边形,
于是MN//AT.
因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN//平面PAB.........6分
(2)取BC中点E,连接AE,则易知AEAD,又PA面ABCD,故可以A为坐标原点,以AE
为x轴,以AD为y轴,以AP为z轴建立空间直角坐标系,
则
5
A0,0,0、P0,0,4、C5,2,0、N,1,2、M0,2,0
2
55
AN,1,2,PM0,2,4,PNN,1,2
22
故平面PMN的法向量n0,2,1
cosAN,n
485
525
2
5
直线AN与平面PMN所成角的正弦值为
85
25
【考点】线面平行证明、线面角的计算
(20)(本小题满分12分)
已知抛物线C:
y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l
2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l
1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于
P,Q两点.
(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
【答案】
(1)见解析;
(2)
2
yx
1
【解析】
(1)法一:
由题设
1
F(,0).设l1:
ya,l2:
yb,则ab0,且
2
22
ab111ab
A(,a),B(,b),P(,a),Q(,b),R(,).
222222
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记过A,B两点的直线为l,则l的方程为2x(ab)yab0......3分
由于F在线段AB上,故1ab0.
记AR的斜率为k,FQ的斜率为k2,则
1
abab1ab
kbk
1222
aa
1aaab
.
所以AR∥FQ.......5分
法二:
证明:
连接RF,PF,
由AP=AF,BQ=BF及AP∥BQ,得∠AFP+∠BFQ=90°,
∴∠PFQ=90°,
∵R是PQ的中点,
∴RF=RP=RQ,
∴△PAR≌△FAR,
∴∠PAR=∠FAR,∠PRA=∠FRA,
∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR,
∴∠FQB=∠PAR,
∴∠PRA=∠PQF,
∴AR∥FQ.
(2)设l与x轴的交点为D(x,0),
1
ab111
则SbaFDbax1,S.
ABFPQF
2222
11ab
由题设可得bax1,所以x10(舍去),x11.
222
设满足条件的AB的中点为E(x,y).
当AB与x轴不垂直时,由kABkDE可得
2
abx
y
1
(x1)
.
而
ab
2
y,所以
21
(1)
yxx.
当AB与x轴垂直时,E与D重合.所以,所求轨迹方程为
21
yx.....12分
【考点】抛物线、轨迹方程
(21)(本小题满分12分)
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设函数fxacos2xa1cosx1,其中a0,记fx的最大值为A.
(1)求f'x;
(2)求A;
(3)证明:
f'x2A.
【答案】见解析
【解析】
(1)f'x2asin2xa1sinx
(2)当a1时,|f(x)||acos2x(a1)(cosx1)|a2(a1)3a2f(0)
因此,A3a2.
当0a1时,将f(x)变形为
2
f(x)2acosx(a1)cosx1.
令
2
g(t)2at(a1)t1,则A是|g(t)|在[1,1]上的最大值,
g
(1)a,g
(1)3a2,且当t
1
a
4a
时,g(t)取得极小值,
极小值为
22
1a(a1)a6a1
g()1
4a8a8a
.
令
1a
11
,解得
4a
1
a(舍去),
3
1
a.
5
①当
0
1
a时,g(t)在(1,1)内无极值点,|g
(1)|a,|g
(1)|23a,|g
(1)||g
(1)|,所以
5
A23a.
②当
1
5
a1时,由g
(1)g
(1)2(1a)0,知
1a
g
(1)g
(1)g()
4a
.
又
1a(1a)(17a)
|g()||g
(1)|0
4a8a
,所以
2
1aa6a1
A|g()|
4a8a
.
23a,0a
1
5
综上,
2
a6a11
A,a1
8a5
3a2,a1
.
(3)由
(1)得
'
|f(x)||2asin2x(a1)sinx|2a|a1|.
当
0
1
a时,
5
'
|f(x)|1a24a2(23a)2A.
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当
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