高中数学立体几何垂直.docx
- 文档编号:20107421
- 上传时间:2023-04-25
- 格式:DOCX
- 页数:12
- 大小:248.67KB
高中数学立体几何垂直.docx
《高中数学立体几何垂直.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学立体几何垂直.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高中数学立体几何垂直
线线垂直
1.在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB.
(Ⅰ)已知AB=BC,AE=EC,求证:
AC⊥FB;
(Ⅱ)已知G,H分别是EC和FB的中点,求证:
GH∥平面ABC.
2.在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,△ABC是正三角形,AC与BD的交点M恰好是AC中点,又PA=AB=4,∠CDA=120°,点N在线段PB上,且PN=
.
(Ⅰ)求证:
BD⊥PC;
(Ⅱ)求证:
MN∥平面PDC.
3.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,且PA=AD,点F是棱PD的中点,点E在棱CD上移动.
(Ⅰ)当点E为CD的中点时,试判断直线EF与平面PAC的关系,并说明理由;
(Ⅱ)求证:
PE⊥AF.
4.如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,且PA=2,E是侧棱PA上的动点.
(1)求四棱锥P﹣ABCD的体积;
(2)如果E是PA的中点,求证:
PC∥平面BDE;
(3)是否不论点E在侧棱PA的任何位置,都有BD⊥CE?
证明你的结论.
5.如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AC⊥B1D,BB1⊥底面ABCD,E为线段AD上的任意一点(不包括A、D两点),平面CEC1与平面BB1D交于FG.
(1)证明:
AC⊥BD;
(2)证明:
FG∥平面AA1B1B.
6..已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1,AD=DD1=2,BC=DC=1,DC⊥BC,AD∥BC,E,F分别为CC1,DD1的中点.
(I)求证:
BF⊥A1B1;
(Ⅱ)求证:
面BEF∥面AD1C1.
7.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB⊥AC,AC=AA1,E、F分别是棱BC、CC1的中点.
(Ⅰ)若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1,试确定点D的位置,并说明理由;
(Ⅱ)证明:
EF⊥A1C.
8.如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证:
MN⊥CD;
(2)若∠PDA=45°,求证:
MN⊥平面PCD.
9.已知长方形ABCD中,AD=
,AB=2,E为AB中点.将△ADE沿DE折起到△PDE,得到四棱锥P﹣BCDE,如图所示.
(1)若点M为PC中点,求证:
BM∥平面PDE;
(2)当平面PDE⊥平面BCDE时,求四棱锥P﹣BCDE的体积;
(3)求证:
DE⊥PC.
线面垂直
1.如图,在三棱锥P﹣ABC中,△PAC和△PBC是边长为
的等边三角形,AB=2,O是AB的中点.
(Ⅰ)求证:
AB⊥平面POC;
(Ⅱ)求三棱锥P﹣ABC的体积.
2.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AA1=
AB,D是AB的中点
(1)求证:
BC1∥平面A1CD;
(2)若点P在线段BB1上,且BP=
BB1,求证:
AP⊥平面A1CD.
3.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,△ACD是正三角形,BD垂直平分AC,垂足为M,∠ABC=120°,PA=AB=1,PD=2,N为PD的中点.
(1)求证:
AD⊥平面PAB;
(2)求证:
CN∥平面PAB.
4.如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,M,N分别为AB,B1C1的中点.
(1)求证:
MN∥平面AA1C1C;
(2)若CC1=CB1,CA=CB,平面CC1B1B⊥平面ABC,求证:
AB⊥平面CMN.
5.正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为l,点F、H分别为A1D、A1C的中点.
(Ⅰ)证明:
A1B∥平面AFC;
(Ⅱ)证明:
B1H⊥平面AFC.
6.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点,
(1)求证:
FH∥平面EDB;
(2)求证:
AC⊥平面EDB;
(3)求四面体B﹣DEF的体积.
7.如图,在四棱锥S﹣ABCD中,AB⊥AD,AB∥CD,CD=3AB,平面SAD⊥平面ABCD,M是线段AD上一点,AM=AB,DM=DC,SM⊥AD.
(1)证明:
BM⊥平面SMC;
(2)设三棱锥C﹣SBM与四棱锥S﹣ABCD的体积分别为V1与V,求
的值.
8.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,锐角三角形PAB所在的平面与底面ABCD垂直,∠PBC=∠BAD=90°.
(1)求证:
BC⊥平面PAB;
(2)求证:
AD∥平面PBC.
9.已知四边形ABCD为平行四边形,BD⊥AD,BD=AD,AB=2,四边形ABEF为正方形,且平面ABEF⊥平面ABCD.
(1)求证:
BD⊥平面ADF;
(2)若M为CD中点,证明:
在线段EF上存在点N,使得MN∥平面ADF,并求出此时三棱锥N﹣ADF的体积.
10.如图,AB为圆O的直径,点E、F在圆O上,AB∥EF,矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直,且AB=2,AD=EF=1.
(1)求证:
AF⊥平面CBF;
(2)设FC的中点为M,求证:
OM∥平面DAF;
(3)设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为VF﹣ABCD,VF﹣CBE,求VF﹣ABCD:
VF﹣CBE.
面面垂直
1.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F为棱AD、AB的中点.
(Ⅰ)求证:
EF∥平面CB1D1;
(Ⅱ)求证:
平面CAA1C1⊥平面CB1D1.
2.如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形,棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.
(1)证明:
PA∥平面BDE;
(2)证明:
平面BDE⊥平面PBC.
、
3.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,侧面PBC是直角三角形,∠PCB=90°,点E是PC的中点,且平面PBC⊥平面ABCD.
(Ⅰ)证明:
AP∥平面BED;
(Ⅱ)证明:
平面APC⊥平面BED;
(Ⅲ)若BC=PC=2,∠ABC=60°,求异面直线AP与BC所成角的余弦值.
4.如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形,棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.
(1)证明:
PA∥平面BDE;
(2)证明:
平面BDE⊥平面PBC.
5.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,侧面PBC是直角三角形,∠PCB=90°,点E是PC的中点,且平面PBC⊥平面ABCD.
(Ⅰ)证明:
AP∥平面BED;
(Ⅱ)证明:
平面APC⊥平面BED;
(Ⅲ)若BC=PC=2,∠ABC=60°,求异面直线AP与BC所成角的余弦值.
6.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,BC=CD=2,AB=4,EC∥FD,FD⊥底面ABCD,M是AB的中点.
(1)求证:
平面CFM⊥平面BDF;
(2)若点N为线段CE的中点,EC=2,FD=3,求证:
MN∥平面BEF.
7.如图,平面ABCD⊥平面ABEF,四边形ABCD是矩形,四边形ABEF是等腰梯形,其中AB∥EF,AB=2AF,∠BAF=60°,O,P分别为AB,CB的中点,M为△OBF的重心.
(I)求证:
平面ADF⊥平面CBF;
(II)求证:
PM∥平面AFC.
8.如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点E是A1D1的中点,点F是CE的中点.
(Ⅰ)求证:
平面ACE⊥平面BDD1B1
(Ⅱ)求证:
AE∥平面BDF.
9.图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱与底面垂直,∠BAC=90°,AB=AC=AA1,点M,N分别为A1B和B1C1的中点.
(1)求证:
平面A1BC⊥平面MAC;
(2)求证:
MN∥平面A1ACC1.
10.如图,多面体ABCDPE的底面ABCD是平行四边形,AB=AD,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=2EC.
(1)求证:
平面PAC⊥平面PBD;
(2)若棱AP的中点为H,证明:
HE∥平面ABCD.
11.如图,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1分别是棱AD,AA1的中点.
(1)设F是棱AB的中点,证明:
直线EE1∥平面FCC1;
(2)证明:
平面D1AC⊥平面BB1C1C.
12.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,且BC=2AD,AD⊥CD,PB⊥CD,点E在棱PD上,且PE=2ED.
(1)求证:
平面PCD⊥平面PBC;
(2)求证:
PB∥平面AEC.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 立体几何 垂直