第二章随机变量的分布和数字特征习题课.docx
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第二章随机变量的分布和数字特征习题课
第二章随机向量的分布和数字特征的习题课
一:
选择题:
1.若随机变量的分布函数为与则a,b取值为()时,可使F(x)=a-b为某随机变量的分布函数。
A.3/5,-2/5B.2/3,2/3C.-1/2,3/2D.1/2,-3/2
分析:
由分布函数在±∞的极限性质,不难知a,b应满足a-b=1,只有选项A正确。
[答案选:
A]
2.设X~(x),且(-x)=(x),其分布函数为F(x),则对任意实数a,F(-a)=()。
A.1-dB.-dC.F(a)D.2F(a)-1
分析:
①是偶函数,可结合标准正态分布来考虑;②d=F(a)-F(0);③F(0)=0.5;④F(a)+F(-a)=1[答案选:
B]
3.设X~N(,),则随着的增大,P(|X-|<)()。
A.单调增大B.单调减少C.保持不变D.增减不定
[答案选:
C]
4.设随机变量X与Y均服从正态分布,X~N(,16),Y~N(,25),记P{X+4}=,P{Y+5}=,则()正确。
A.对任意实数,均有=B.对任意实数,均有<
C.只对个别的值才有=D.对任意实数,均有>
[答案选:
A]
5.设是随机变量且,则对任意常数,
()成立。
分析:
[答案选:
]
由,得
显然
二:
题空题
1.设在每次伯努里试验中,事件A发生的概率均为p,则在n次伯努里试验中,事件A至少发生一次的概率为(),至多发生一次的概率为()。
[答案填:
(1-(1-p));((1-p)+np(1-p))]
由伯努里概型的概率计算公式,,据题意可知,
事件A至少发生一次的概率为或,
事件A至多发生一次的概率为=+
2.设随机变量Y在区间[1,6]上服从均匀分布,则方程有实根的概率为()。
分析:
方程有实根当且仅当Δ0,即|Y|2,
则P(|Y|2)=d=0.8[答案填:
0.8]
3.设X~,对X的三次独立重复观察中,事件{X0.5}出现的次数为随机变量Y,则P{Y=2}=()。
分析:
P{X0.5}=0.25,Y服从B(3,0.25)分布,则P{Y=2}==[答案填:
]
4.设XB(2,p),YB(3,p),且P{X1}=,则P{Y1}=()。
分析:
由P{X1}=1-P{X=0}==,可得p=,则P{Y1}=1-P{Y=0}=[答案填:
]
5.设随机变量X服从均值为10,标准差为0.02的正态分布,设Ф(x)为标准正态分布函数,已知Ф(2.5)=0.9938,则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为()。
分析:
P{9.95 =P{-2.5<(x-10)/0.02<2.5}=φ(2.5)-φ(-2.5) =2φ(2.5)-1=2*0.9938-1=1.9876-1=0.9876 [答案填: 0.9876] 6.设随机变量X的概率密度为 若k使得P{Xk}=2/3,则k的取值范围是()。 分析: [答案填: [1,3]] 7.设随机变量Xf(x)=,-∞<x<+∞,则XF(x)=()。 [答案填: ] 分析: 当x<0时,F(x)=dd 当x0时,F(x)=ddd 8.设XU(0,2),则Y=在(0,4)内的概率密度()。 [答案填: ] 分析: 当0<y<4时, 此时,= 注: 由于Y=在(0,4)内是单调函数,可直接用公式做! 9.设X的分布函数,则A=(),P|x|<=()。 [答案填: 1;] 10.设X的分布函数F(x)为: 则X的概率分布为()。 分析: 其分布函数的图形是阶梯形,故x是离散型的随机变量 [答案: P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.4,P(X=3)=0.2.] 11.设随机变量X的概率密度函数则E(X)=(),=(). 分析: 由X的概率密度函数可见X~N(1,),则E(X)=1,=.[答案填: 1;.] 12.设随机变量X服从参数为2的泊松分布,且Z=3X-2,则E(X)=().[答案填: 4] 13.设X~N(2,)且P{2 即,则 [答案填: 0.2] 14.设随机变量X服从参数为1的指数分布,则(). 分析: 首先知道EX=1,关键求E(e-2X) [答案填: ] 15.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数且每次命中率为0.4,则=()。 分析: X~B(10,0.4),则 [答案填: 18.4] 16.设随机变量在区间上服从均匀分布;随机变量 则()。 [答案填: ] 17.设一次试验的成功率为,进行100此独立重复试验,当()时,成功次数的标准差的值最大,最大值为()。 解: 据题意可知,,即令,得且(答案: ) 18.设,则()。 解: 。 [答案填: ] 19.设随机变量服从参数为的泊松(Poisson)分布,且已知,则()。 分析: 参数为的泊松(Poisson)分布的期望和方差均为。 由,得到E(X2)-3EX+2=1,λ+λ2-3λ+1=0 [答案填: 1] 20.设随机变量X的方差为2,则根据切比雪夫不等式有()。 [答案填: ] 21.设,则利用切贝谢夫不等式可知()。 据切贝谢夫不等式: 由,得[答案: 填] 三: 计算题: 1.设随机变量X在区间[2,5]上服从均匀分布,求对X进行的三次独立观测中,至少有两次的观测值大于3的概率。 解: P(X>3)=d=,则所求概率即为 2.设某仪器有三只独立工作的同型号电子元件,其寿命(单位: 小时)均服从同一指数分布,其参数为1/600,求在仪器使用的最初200小时内,至少有一只电子元件损坏的概率。 解: 设随机变量表示第i只元件的使用寿命,i=1,2,3, 则P{200}=d得所求概率为: 1- 3.设随机变量X的概率密度函数,求随机变量Y=1-的概率密度函数。 解: Y的分布函数为 = 则 = 注: 由于是单调函数,可直接用公式做! 4.设随机变量X的概率密度=,x0,求Y=的概率密度。 解: 当y<1时,0 当y≥1时, 由于,则知当y<1时,=0,当y≥1时,= 注: 由于Y=在(1,∞)内是单调函数,可直接用公式做! 5.设随机变量X的概率分布为P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,写出其分布函数F(x)。 [答案: 当x<1时,F(x)=0;当1≤x<2时,F(x)=0.2; 当2≤x<3时,F(x)=0.5;当3≤x时,F(x)=1 6.设随机变量X在区间[1,2]上服从均匀分布,求Y=的概率密度f(y)。 [答案: 当时,f(y)=,当y在其他范围内取值时,f(y)=0.] 7.对某地抽样调查的结果表明,考生的外语成绩(按百分制计)近似服从正态分布,平均72分,且96分以上的考生数占2.3%。 求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。 解: 设X表示考生的外语成绩,且X~N(72,),则 P(X>96)=1-P(X96)=1-()=0.023, 即()=0.977,查表得=2,则=12,即且X~N(72,144), 故P(60X84)=P(-11)=2 (1)-1=0.682 excel计算的函数为NORMINV 8.设测量误差X~N(0,100),求在100次独立重复测量中至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率,并用泊松分布求其近似值(精确到0.01)。 解: 由于X~N(0,100),则 P(|X|>19.6)=1-P(|X|19.6)=2[1-(1.96)]=0.05且显然Y~B(100,0.05),故P(Y3) =1-P(Y2)=1- 设=np=100×0.05=5,且YP(5),则 P(Y3)=1-P(Y2)=1-=0.875348 9.设一大型设备在任何长为t的时间内,发生故障的次数N(t)服从参数为t的泊松分布,求: (1)相继两次故障之间的时间间隔T的概率分布; (2)在设备已无故障工作8小时的情况下,再无故障工作8小时的概率。 解: (1)只需求出T的分布函数F(t): 当t<0时,F(t)=P(Tt)=0 当t0时, F(t)=P(Tt)=1-P(T>t)=1-P(N(t)=0)= 可见T服从参数为的指数分布。 (2)P(T>16|T>8)= 10.设X服从参数为2的指数分布,求证: Y=1-在[0,1]上服从均匀分布。 证明: 由X的分布可见其有效取值范围是[0,+∞),则Y的有效取值范围是[0,1],从而: 当y0时,F(y)=0;当y1时,F(y)=1; 当0<y<1,F(y)=P(Yy)=P{1-y} =P{X}=1-=1-(1-y)=y 对F(y)关于y求导数即得Y的密度函数: 故Y在[0,1]上服从均匀分布。 11.从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗,设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,其概率均为0.4,用X表示途中遇到红灯的次数,求X的分布律、分布函数和数学期望。 解: 显然X~B(3,0.4),其分布律为,i=0,1,2,3,分布函数为: ,E(X)= 12.设,求随机变量的期望。 解: 由,可知 13.设且与同分布,与独立,,求: (1)值; (2)的期望。 解: (1)由设且与同分布,与独立,可知当时 ,即 与相矛盾,因而,即 ,即 即,即,(不合题意,舍去) (2)。 14.由自动线加工的某种零件的内径(毫米)服从正态分布,内径小于10或大于12的为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损。 设销售利润(元)与销售零件的内径的关系为 问平均内径取何值时,销售一个零件的平均利润最大? 解: 由,即且,可知 由 得 令,即 即 即,平均内径取时,销售一个零件的平均利润最大。 15.设一部机器在一天内发生故障的概率为,机器发生故障时,全天停止工作。 一周五个工作日,若无故障,可获利10万元;若发生一次故障,仍可获利5万元;若发生两次故障,获利为零;若至少发生三次故障,要亏损2万元。 求一周内的利润期望。 解: 设{一周共五个工作日,机器发生故障的天数}且 则: 所以一周内的利润期望为万元。 16.设商店经销某种商品的每周需求量服从区间上的均匀分布,而进货量为区间中的某一个整数,商店每售一单位商品可获利500元,若供大于求,则削价处理,每处理一单位商品亏损100元,若供不应求,则从外部调剂供应,此时每售出一单位商品仅获利300
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- 关 键 词:
- 第二 随机变量 分布 数字 特征 习题