历年考研高数一真题.docx
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历年考研高数一真题
1995
一、填空題
(l)linj(l十珂圭=.⑵話(xcos為二
(3)设(axb)y=2,PJ[(a十E)x(b+c)].(c十a)二.
(4漏级数匕―“的收鈑半径R=—»-i2K4-(-3)
(5)设三阶方阵几呂满足关系式:
AXBA=6A¥BAf且4二0|0,则£=
001
L7」
二选择題
(1)设有直JZ+3y+22+1=°及平面开:
4x—S+"2=0,则直线L
2x-y-\0z十3二0
(A)平行于兀(B)在幵上.
(C)垂直于兀(D)与幵斜交.
⑵设在[0,l]±/(z)>0,则于(0)、/
(1).或于(0)-川1)的大小
顺序是
(B)/(I)
〔C)/(I)-/(0)>/(I)>/(0).
⑶设/㈤可导,^(x)=/(x)(U|Sinx|)?
则/(0)=0是只(刃在x=0处可导的
(A)APfP2=B
三r
(1)设"/(兀”2),列尺此刀=0)"",其中£卩都具有一阶连续偏导数,且
(2)设函数j(兀)在区间[0,1]上连续,并设(兀”=/,求J;必J:
•/(”)dy.四、
(1)计算曲酝积分JJ沁,其中2为链面n=+/在柱体“+/<2尤內的部分.
⑵将函^/(x)=x-l(0 £s设曲线L位于©平面的第一象限内,L上任一点M处的切线与丁轴总相交,崖点记为 大、设函数e(^)在x6平面上具有—阶连续偏导数,曲线积分二2砂必+©(兀丿)勿与 路径无关,并且对任意(恒有 J爲2如+Q("冷=打勿必+Q("妙 求0(5 七.假设函数/(x)和gW在血引上存在二阶导数,并且 gS)羊0,/(a)=/(Z? )=g(a)=g[b),试证: (1)在开区间(a,b)內g(x)^O, (2)在开区间(a,b)內至少存在一点{,便4®='黒. 八、设三阶实对称矩阵月的特征值为兔二-1仏二為=1,对应于咎的特征向量为fi=(o,i,i)r,求 丸、设4是总阶袒阵,满S.AA^=E是n阶单位阵,才是JL的转置袒阵,同<0,求 屮町 十、填空題 (1)设X表示10欢独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为04则乂2的数 学期望=: (2)设区和卩沖两个随机变星,且 P{X>^,Y>0}=|,zD(^>0)=P{Y>0}=|■,则珂m盛(X』)>0}=. AO)・ 境空題 1996 (1)设lim-———=8,则a=. 心叭丿 (2)设一平面经过原点及点(6厂3,2),且与平面4"y+2z=8垂直,则此平面方程为 (3)徽分方程”一2/十2尸二护的通解为. ⑷函数xln(x+如/)在4(1,0,1)点处沿/点指向的方向导数为 '102_ (5)设/是4x3矩阵,且4的秩尸(4)=2,而&=020,则尸(应戸. -103_ 二、选择电 (1)已知"十矽)彎闕为某函数的全微分,肌等于 (A)-1.(B)0.(C)L (2)设/㈤有二阶连续导数,且了・(0)丸」辄冷型 (0)2. =1J'J (A)了(0)是/(x)的极大值. (B)/(0)是/O)的极小值. (C)(0丿(0))是曲;线尸/⑴的拐点. (D)/(0)不是/(刃的极值,(0? /(0))也不是曲线? =/(刃的拐点 (3)设勺》0(之=1,2,…),且乞务收敛,常数恥 »-1 ,则级数办- W-1 旳tan— ”丿 (A)绝对收敛 (C)发散. (B)条件收敛. (D)敛散性与乂苞关 ⑷设于(对有连续的导数,/(0)=0,no)",FO)=J;(/—亦且当^0 时,F'W是与八是同阶无穷小,贝W等于 (A)呦衍西可一对為妙4・(B)向血旳引+$弘2境4・ (C)@屁-址2)(a3a4-舜』・(D)(a佑-%)©冋-^4). 三、 (1)求心形线尸=N(1+CO£&)的全长,其中d>0罡常数. (2)设再二10,和严庐云(“12…),试证数列OJ的极限存在,并求此极限. 四》 (1)计算曲面积分JJ(2x+z珈滋边,其中S为有向曲面z=z2+y2(0 5 苴法向量弓Z轴正向的夹角为锐角. (2)设变换卩r一°可把方程6芈4■共-字=0化简为二=0,求常数<2. v=7i+ay&7? dxdydydudv g1 丑、求级数迟―的利 »-2\n-1J2 六、设对任意^>0,曲线7=/(x)上点(X))处切线在y轴上得截距等于£(讷,求川力的一骰表达式. 七、设/(刃在[0,1]上具育二阶导数,且满足条件其中久b都是菲负常数,C杲(0,1)内任意一点,证明 |/C)|£2a+# 八、设A=E-if其中E是兀阶单位矩阵,£是诡隹菲列向星,的转暨,证明: (1)A^=A的充要条件是=1, ⑵当严.1时,/是不可逆矩阵. 九、已知二次型/(心勺,兀3)二+5才+込2-2再x2+6忑再-心2兀3的秩为2. (1)求参数疋及此二次型对应拒阵的特征值; (2)指出方程/(丙,花,心)=1表示何种二次曲阪 卜填空題 (1)设工厂/和工厂3的产品率分别为1%和2%,现从由虫和E的产品分别占60%和40 %的一批产品中腿机抽取一件,发现是次品,则该次品属上产品的概率是• Q)设{力是两个相互独立且均服从正态分布N°(金)的随机变壘,则随机变壘$-乃|的数学期望列歹-引)= +•—、设密乃是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知g的分布律为卩{§“}=+,21,2,3,又设叭,丫=坨皿(右再). (1)写出二维随机变壘(X,F)的分布律; (2)求随机变壘X的数学期望超(用). 1997 一、填空題 3stn.aH-x2cos— (1)lim二―;~~— 5(1+cos力In.(14-x) g (2)设舄级数乞耳F的收敛半径为3, 则霧级数(X-1)出的收敛区间为.X-1 (3)对数蠟鏡在点处切线的直角坐标方程为. 12-2 (4)设/=4L3』为三阶非零袒阵,且肋=0,则七= 3-11 0)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,兀个是白球,今有两人依空随机地丛袋中各取一 球,取后不诙回,则第二个人取得黃球的概率是. 二、选择题 (1)—兀函数*x-+y,在点(0,0)处 0,(兀巧二(0,0) (A)连续,偏导数存在.(B)连续,偏导数不存在. (C)不连续,偏导数存在.(D)不连缤,偏导数不存在. (2)设在区间[<2,Zj]±/(j)>0,/(x)<0,/'(x)>0,令国*®)。 —町吗二£[了⑷则 (A)色<^2<足.①)禺 (C)易 ⑶设F(x)=C,则F(x) (B)为负常数. (A)为正常数. (D)不为常数 (C)秩厂(%电,说)=秩厂临,禺)(D)%,色,函线性相关,q,禺线性无关. (5)设两个相互独立的随机变壘X和y的方差分别为4和2,则随机变量3Z-2F的方■差是 (A)S.(E)16.(C)28(D)44. 三、 (1)计算心j]jx+屛)诃,其中。 为平面曲线y: 2■绕z轴旋转一周形成的曲面cx=0 与平ffiz=8所围成的区域. ⑵计算曲鏡积分0(z-尹妙+("Z)旳+("刃也其中C是曲线. 从Z轴正向往Z轴负向音C的芳向是顺时针的. (3)在某一人群中推广新技术是通过其中拿握新技术的人迸行的,设该人群的总人数为M在 盘=0时刻已拿握新技术的人数为牝,在任意时刻2已掌握新技术的人数为側(将;<£)视为连续可襯变壘),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数k>0,求x〔Z). 四、 (1)设直线/;十在平面;T上,而平面;7与曲面+/相切于点 x+ay-z-3=0 (2)设函数/㈤具有二阶连续导瓠而"刃化1心)满足方程 /W- 五■设了⑴洼续,0⑴二仪)必,且坯型二/"为常数),求3⑴并讨论讥MX 在*0处的连续性. 六、设©=2,a*+i=』色十丁|,(必=1,2,…),证明; (1)lima存在; 七. (1)设E是秩为2的头4矩阵,丐二(1丄2,3)『,色二(-1丄4厂1)「心二(5,-1,-瓦9)厂 是齐次方程组X=0的解向墨求必=0的解空间的一个标准正交基 (I)试确定参馥伉』及特征向壘: 所对应的持征值; (ID间/能否相似于对弟阵? 说明理由. 人设4是七阶可逆方阵,将丿的第佑和第J行对换后得到的矩阵为R (1)证明§可逆; (2)求AB~\ 九・夙学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是彖话 2 独立的,并且概率都是设X为途中遇到红灯的次数,求随机变重X的分布律、分布函数 和数学期望. 十•设总体无的槪率密度为 0,其他 其中8>-1是未知参航兀乃厂•心是来自总体X的一个容壘为M的简单随机样轧分别用矩估计法和极大似然估计法求&的估计值. 1998 (1)limvn^+vpi-2= 5X2 1刀2 ⑵设2二丄砂)+坤(卄巧/0具有二阶连续导数,则等二• Adxoy 22 (3)设/为椭圆—+^-=17其周长记为乞则^(2xy+3? +4/^=. 43/ (4)设虫是力阶矩阵,国工0,才为4的伴随距阵,总为左阶单位矩阵若川有特征值九则 (才丫+丑必有特征值 (5)设平面区域D由曲^7=丄及直线J=O^=1,X=.2所围成,二维随机变壘(X,y)在 X 区域d上服从均匀分帘,贝y(y,r)关于x的边缘概率密度Sa=2处的值为 二、 (1)设/(刃连续,则巩宀严等于 (A)(B)—(C)(D)—2h(丿) (2)»/W=(? -z-2)眉-x\不可导点的个数罡 (典)3.(B)2.(C)1.(D)0. ⑶已知函在任意点x处的増堇/笃+爼且当"TO时,茂是"的高1十X 阶无穷小,/(O)=7V,则尸⑴等于 x_&]_yp_z_C]©2_勺玄_鸟C2—C7j (A)相交于一点.(B)重合. (C)平行但不重合.(C)异面. ⑸设/、0是两个随机事件,且0 0,P(5M)=11) (A)P^A\B)=PiA\B) 三、求直线八罕1=寸=二在平酝开: —严2一1=0上投影直线%的方程,并求%绕沪 11—1 轴旋转一周所戚曲面的芳程. 四、确定常数见使在右半平面A>0±的向壘2^(/十十尹2『』为某二元函数讥心刃的梯虧并求讥砂)• 五、从船上向海中況淡某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度尸(从海平酝算起)与下況遠度卩之间的函数关系•设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下況,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用•设仪器的质量为琳体积为耳海水比重为Q,仪器所受的阻力与下沉谨度成正比,比例系数为上(上: >0).试建立丁与卩所满足的徽分方程,并求出函数关系式y=y(y). 六■计算jj兰込血华: 其中功下半球面“一产匸7的上侧,a汽大 2(戏+才+‘尸 于零的常数. •幵sin— «□ 2/r sin—— L«1 2 七.求lim«->C0 sinTT…十 尬十一 n_ 八、设正项数列单调减少,且发散,试问级数E »-1«-1 明理由. 九.设y=f[x)是区间[0,1]上的任一非负连续函数. (1)试证存在忌£01),使得再区间口厲]上以了(毛)为高的袒形酝积,等于再区间[心,1] 上以卩=于⑴为曲边的梯形面积. (2)衣设了㈤在区间(0,1)內可导,且于@)>-空也,证明 (1)中的勺试唯一的. 十.已知二次曲面方程7? 十矽2十z,十2如y十2血十2yz=4,可以经过正交变换 ■■ X ■■ y =p ◎ Z 化为椭圆柱面方程乃2十4严=4,求a/的值和正交拒阵F 十一・设月是刃阶矩阵,若存在正整奴匕使线性方程组才&二0有解向重◎,且卅1切0, 证明’向量组0/0…,加匕是线性无关的. 十二■已知线性方程组 ai1^1十。 12吃叫*X2»—° $、a2iAi+a沖2十%=° \1)“ _喩1再+做2花+…+%2”心=0 的一个墓础解系为(妬1九,…,如2”),021血'…'如J,…,(氏1九'…如J,试写出线性方程组 41九+血花■*■'■■亠俎血x2n~° TT、为21无+鸟2勺■*■"'+込益X2jl=0 (11)< 2內十氏2花血5兀2丸二° 的通解,并说明理由・ 十三、设两个随机变壘相互独立,且部服从均值九o,方差为1的正态分布,求随机变 2 童I*—卩|的方差. 十四、从正态总体"(3,4,必)中抽取容壘为〃的样本,如果要求其样本均值位于区间 (1.4,5.4)內的概率不小于0.95,间样本容量"至少应取勢丈? 附表;标准正态分布表 Z 1.28 1.645 1.96 2.33 ①⑺ 0.900 0.950 0.975 0.990 十五"设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在见著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体若生得平均成绩为加分? 并给出检验过程. 附表: t分布表 0.95 0.975 35 1.6896 2.0301 36 1.6883 2.0281 1999 一・填空題 ⑸俄两两相互独立的三事件力月和O满足条件: ABC=F(A)=P(B)=P(C')<~, 2 9 且P(A 16 二 (1)设了0)是连绫函数,尸(町是其原函数,则 (A)当/(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数. (B)当/(刃是偶函数时,厅(刃必是奇函数. (C)当/(刃是周期函数时,庄(刃必是周期函数. (D)当/(X)是单调增函数时,月(x)必是单调增函数. K x〉0 x>J其中g(x)是有界函数,则,0)在x=0处 x<0 等于 其中an二2j: j<(H)cot”E曲;(旳=0,1,2,--),则£- 33 (cq4盲 (B)当m>n时,必有行列式|j45|=0 (D)当Qm时,必、有行列式|^5|=0 (硝^4 ⑷设虫是加3袒阵,刃是冷X妙柜阵,则 (A)当加时,必有行列式|曲卜0 (C))当七》血时,必有行列式|血卜0 ⑸设两个相互独立的随机变量X和丫分别服从正态分布N(CU)和"(1,1),则 (B)F{X+F兰1}=1. 2 (D)p(z-y 三、设=Z(/)是由方程2=材'(it+尹)和尸〔入,儿2)=0所确定的函数,其中了和 F分别具有-阶连续藏和-沁续偏舷求亍 酿求』二L(『sin尹一3(卄丁))必十(/cosy-ax^y,其中q,E为正常数,L为夙点 A(2a,0)沿曲线妬二? 到点0(0,0)的弧. 五、设函数y(刃0王0)二阶可导且J(H》0,y(0)=l,过曲线y=y(^)±任意一点 尸(汇,刃作该曲线的切线及兀轴的垂绣上述两直线与无轴所围成的三角形的面积记为区间[CU]上以? =? (刃为曲辺的曲辺梯形面积记为3,并设2y恒为1,求此曲线y=y^)的方程. 六、试证;当x>0时, 7.为蓿除井底的污泥,用缆绢将抓半啟入井底,抓起污泥后提出井口,已知井深30mM斗自重4OOM^绳每米重500^,抓斗抓起的污泥重20002V,提升遠度为3诬,在提升过程中,污泥以20JV/5的谨度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升至井口,间克服重力需作多少焦耳的功? (说明: ①lNxl疏二叮;娥,分别表示米,牛顿,秒,焦耳;②抓斗的高度位于井口上方的缆绳长度忽路不计) 八、设左为橢球面兰+疋壮2=1的上半部分,点戸开为£在点戸处的切平面, 22 /? (»)为点O(OQO)到平面tt的距离, (1)求乞丄他"J的值; »-Ln (2)试证: 肘任意的常数a>o,级数乞*收敛 »-1n ac 卜设矩阵^.=5b3,其行列式国=-1,又4的伴随袒阵才有一个特征值入, 1-cQ-a 属于入的一个特征向堇为©=(-1,一1,1)尸,求a,brc和入的值. 十一、设卫为沟阶实对称矩阵且正定,B为叨灯实距阵,歹为E的转萱矩阵,试证: BTAB为正定矩阵的充分必要条件罡£的秩r(5)=«. 十二"设随机变壘*与卩相互独立,下表列出了二维随机变壘(用,卩)联合分布律及关于圧和 关于丫的边绫分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处. 乃 P’X=再}=T'j 1 8 1 8 p{Y=yi)=Pj 1 1 十三.设总体X的概率密度为 (xYO .0,其他 X],兀,…,兀是取自总体X的简单随机样本. (1)求&的矩估计量入 2000 一、填空題 ⑴fJ2x-x%x= (2)曲面H+2护+3去二21在点(1-2,2)的法线方程为 (5)设两个相互独立的事件启和B都不发生的概率为4发生£不发生的概率与R发生占不 发生的概率相等,则戸(4)= 二 (1)设/㈤進⑴是恒大于零得可昙函数,且/⑴纟⑴-/⑴呂⑴",则当a 时,有 (C)/(x)g(x)>/(^)g(^)(D)/(x)g(x)>/(dt)g(^) (2)设门『+尹2+/=护(处0)尽为£在第一卦限中的部分,则育 (A)JJ曲=4jj沁(B)JJW$=4JJ沁 5S,S§ (C)JJzd£=4W sqs5 ⑶设级数㊁收敛,则必收敛的圾数为 »-1 (A)£(-1)灶(B)fx »-1»-1 (C)$(%_]-%)•(D)乞仏十兔+1). »-1»-1 (4)设丸维列向量组塔…,%(珑S)线性无关,则力维列向童组爲,…,减线性无关的充分必要条件为 (直)向壘组丙,…,做可由向壘组屛,…,鬼线性表示. (B)向壘组仅,…,®可由向壘组逐,…,篮线性表示. (C)向量组%…心与向量组煜,…,瓦等价. (D)矩阵〃二(均,…,务)与柜阵*二(煜,…,瓦)等价. (5)设二维随机变量(X,P)服从二维正态分布,则随机变重^=X+Y与〃=£-F不相关 K)充分必要条件为 (B)臥巧-[E㈤了二£(护)_国打「 (C)E(X2)=E(严) (D)E[x2)十凹徑)了=s『)十[啲y. 三・求lim x今o 22 -—十 14-5— 五.计算曲线积分I=$询工,其中L杲以点(1,0)为中心,R为半径的圆周(R>1),J14x+7 取.逆时针方■向. 幷设对于半空间X>0內任意的光滑有向封闭曲面乩都有 0, 聊打(x冷必_站^dzdx-e^zdxdy= 其中函数了㈤在卩皿)內具有连续的一阶导数,且lim/(^=l,^/(x). 91x" 七、求黑级数乞一_丄的收敛区域,并讨论该区间断电处的收敛性. 8.设有一半径为R的球体,坊是此球的宏面上的一个定点,球体上任一点的密度2该点到坊距离的平方戚正比(比例常数必A0),求球体的重心位直九、设函数/(兀)在[①兀]上连续,且ja/(2T^=0,jo/(X)COS^=O,iSiiE: 在(O,7T)內 至少存在两个不同的点存芯,使== 十.(本鮒分6分) 求袒阵& 十一、某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工得人数统计,然后籽1熟练工支援 6 其他生产部门,其缺额由捋收新的非熟练工补齐,新、老非熟练工经过培训及之间实践至年 2 终考核有M咸为熟练工•设第必年一月份统计的熟练工和非熬练工所占百分比分别为兀和儿,记为向量” \yj (2)验证^=PK2=P|是&的两个线性无关的持征向壘,芥求出相应的持征值; 丄 1时,求 2. 十二某流水生产线上每一个产品不合格的概率为珂0 当出现一个不合格产品时即停机检修•设开机后第一次停机时已生产了产品的个数为X,求X的数学期望超徑)和方差D(xy 十三•设某种元件的使用寿命疋的概率密度为 其中"0河未知参埶又设咼冰2,…忑是X的一组样本观测值,求参数$的最大似然估计值. 2001 一、填空題 ⑴设y=^(qsinA+c72coS^(%巾为任意常数)为某二阶常系数线性齐次徽分方程时同 解,则该方程为 则伽(少奶)|»2) ⑺交换二次积分的积分次序: J: 妙JJf(X,汹= (4)设矩阵/满足才十/一4左二o,其中E为单位矩阵,则(虫_应)一】=. ⑸设随机变壘乂的方差为2,! »艮据切比雪夫不等式有估计P\\X-E{X^>2\< 二 (1)设函数了㈤在定义域內可学y=f{x)的图形如右图所示,则导函^.y=j\x)的图 (2)设函数应&0在点(0,0)附近有定义,且//0,0)=3,/^0,0)=1,则 (A)dz =3dx^dy.丽z (B)曲面"在点00』[0,0))的法向量为{3? 1? 1} (C)曲线["現九划在点(o,oj(o,o))的切向量为{1,0,3} .尹=0 (D)曲线尸化划在点(0,0,/(0,0))的切向壘为{3,0,1} ⑶设y(o)=o,®y(A)在頁*0可导的充要条件为 (A)hmp-/(l-cosh)存在. (C)出存旷 sinh)存在. '11 11_ '4 0 0 0' (4)设/= 11 11 』= 0 0 0 0 11 11 0 0 0 0 11 11_ 0 0 0 0_ (A)合同且相似 (C)不合同但相似 ⑻出扭】")存在• ①)出+"(汕)—/㈤]存在 则 (B)合同但不相似 (D)不合同且不相似 (5)将一枚硬币重复掷刃次以x和丫分别表示正面向上和反面向上的[欠断则x和f的相关系数等于 (A)-1 ⑻0代冷①门 四-设函数Z: 沁“)在点(1,1)处可Sb且 了⑴)二1'趴寸唏g二3呛)二4J("))•求卩机 五、设/(X)=
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