《工程数学概率统计简明教程同济大学应用数学系》课后答案khdawlxywyl.docx
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《工程数学概率统计简明教程同济大学应用数学系》课后答案khdawlxywyl
课后答案网习w题w一w解.答
1.用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A:
(1)抛一枚硬币两次,观察出现的面,事件A
{两次出现的面相同};
(2)记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数,事件A
(3)从一批灯泡中随机抽取一只,测试其寿命,事件A
{一分钟内呼叫次数不超过3次};
{寿命在2000到2500小时之间}。
解
(1)
{(,
),(,
),(,
),(
)},A
{(,
),(,
)}.
(2)记X为一分钟内接到的呼叫次数,则
{Xk|k
0,1,2,LL},A{X
k|k
0,1,2,3}.
(3)记X为抽到的灯泡的寿命(单位:
小时),则
{X(0,
)},
A{X
(2000,
2500)}.
2.袋中有10个球,分别编有号码1至10,从中任取1球,设A{取得球的号码是偶数},B{取得球的号码是奇数},C{取得球的号码小于5},问下列运算表示什么事件:
(1)AUB;
(2)AB;(3)AC;(4)AC;(5)AC;(6)BUC;(7)AC.
解
(1)
AUB
是必然事件;
(2)AB是不可能事件;
(3)AC{取得球的号码是2,4};
(4)AC{取得球的号码是1,3,5,6,7,8,9,10};
(5)AC
{取得球的号码为奇数,且不小于5}{取得球的号码为5,7,9};
(6)
BUC
BIC
{取得球的号码是不小于5的偶数}{取得球的号码为6,8,10};
(7)AC
AC{取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6,8,10}
3.在区间[0,2]上任取一数,记A
(1)AUB;
(2)AB;(3)AB;(4)AUB.
x1x
2
1,B
x1x
4
3,求下列事件的表达式:
2
解
(1)
AUB
x1x3;
42
(2)AB
x0x
1或1x
2
2IB
x1x
4
1Ux1x3;
22
(3)因为A
B,所以AB;
(4)AUB
AUx0x
1或3x2
x0x
1或1
x1或3x2
4.用事件A,B,C
42422
的运算关系式表示下列事件:
(1)A出现,B,C都不出现(记为E1);
(2)
A,B都出现,C不出现(记为E2);
(3)所有三个事件都出现(记为E3);
(4)三个事件中至少有一个出现(记为E4);
(5)三个事件都不出现(记为E5);
(6)不多于一个事件出现(记为E6);
(7)不多于两个事件出现(记为E7);
(8)三个事件中至少有两个出现(记为E8)。
解
(1)E1
(3)E3
(5)E5
ABC;
(2)E2
ABC;(4)E4
ABC;(6)E6
ABC;
AUBUC;
ABCUABCUABCUABC;
(7)E7
ABC
AUBUC;(8)E8
ABUACUBC.
5.一批产品中有合格品和废品,从中有放回地抽取三次,每次取一件,设Ai表示事件“第i次
抽到废品”,i
1,2,3课,试后用Ai答表示案下列事网件:
(1)第一次、第二次中至少有一次抽到废品;
(2)只有第一次抽到废品;
(3)三次都抽到废品;
(4)至少有一次抽到合格品;
(2)只有两次抽到废品。
解
(1)A1UA2;
(2)A1A2A3;(3)A1A2A3;
(4)A1UA2UA3;(5)A1A2A3UA1A2A3UA1A2A3.
6.接连进行三次射击,设Ai={第i次射击命中},i
C{三次射击至少命中二次};试用Ai表示B和C。
1,2,3,B{三次射击恰好命中二次},
解BA1A2A3UA1A2A3UA1A2A3
CA1A2UA1A3UA2A3
习题二解答
1.从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品,求其中恰有1件次品的概率。
解这是不放回抽取,样本点总数n
50
,记求概率的事件为A,则有利于A的样本点数
3
455
k.于是
21
P(A)kn
455
21
50
3
454453!
5049482!
99
392
2.一口袋中有5个红球及2个白球,从这袋中任取一球,看过它的颜色后放回袋中,然后,再从这袋中任取一球,设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。
求
(1)第一次、第二次都取到红球的概率;
(2)第一次取到红球,第二次取到白球的概率;
(3)二次取得的球为红、白各一的概率;
(4)第二次取到红球的概率。
解本题是有放回抽取模式,样本点总数n
A,B,C,D.
72.记
(1)
(2)(3)(4)题求概率的事件分别为
2
(ⅰ)有利于A的样本点数kA
52,故
P(A)
525
749
5210
(ⅱ)有利于B的样本点数kB
52,故
P(B)
7249
20
(ⅲ)有利于C的样本点数kC
252,故
P(C)
49
75355
(ⅳ)有利于D的样本点数kD
75,故
P(D)
72
.
497
3.一个口袋中装有6只球,分别编上号码1至6,随机地从这个口袋中取2只球,试求:
(1)最
小号码是3的概率;
(2)最大号码是3的概率。
解本题是无放回模式,样本点总数n
65.
(ⅰ)最小号码为3,只能从编号为3,4,5,6这四个球中取2只,且有一次抽到3,因而有利
样本点数为2
3,所求概率为231.
655
(ⅱ)最大号码为3,只能从1,2,3号球中取,且有一次取到3,于是有利样本点数为22,
课
15
所求概率为22
65
2.后答案网
4.一个盒子中装有6只晶体管,其中有2只是不合格品,现在作不放回抽样,接连取2次,
每次取1只,试求下列事件的概率:
(1)2只都合格;
(2)1只合格,1只不合格;
(3)至少有1只合格。
解分别记题
(1)、
(2)、(3)涉及的事件为A,B,C,则
4
P(A)
P(B)
24322
66525
2
42
114228
66515
2
注意到C
AUB,且A与B互斥,因而由概率的可加性知
P(C)
P(A)
P(B)
2814
51515
5.掷两颗骰子,求下列事件的概率:
(1)点数之和为7;
(2)点数之和不超过5;(3)点数之和为偶数。
解分别记题
(1)、
(2)、(3)的事件为A,B,C,样本点总数n62
(ⅰ)A含样本点(2,5),(5,2),(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)
P(A)61
626
(ⅱ)B含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)
P(B)105
6218
(ⅲ)C含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3),
(3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6),一共18个样本点。
P(C)181
362
6.把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去,假设每间宿舍最多可住8人,
试求这三名学生住不同宿舍的概率。
解记求概率的事件为A,样本点总数为53,而有利A的样本点数为5
43,所以
P(A)
543
53
12.
25
7.总经理的五位秘书中有两位精通英语,今偶遇其中的三位,求下列事件的概率:
(1)事件A:
“其中恰有一位精通英语”;
(2)事件B:
“其中恰有二位精通英语”;(3)事件C:
“其中有人精通英语”。
解样本点总数为5
3
(1)
23
12
P(A)
5
3
233!
63;
543105
2课3
后答案网
(2)
21
P(B)
5
3
33!
3;
54310
(3)因C
AUB,且A与B互斥,因而
P(C)
P(A)
P(B)
339.
51010
S
8.设一质点一定落在xOy平面内由x轴、y轴及直线x
A
y1所围成的三角形内,而落在这三
角形内各点处的可能性相等,计算这质点落在直线1x
1/3的左边的概率。
解记求概率的事件为A,则SAy
为图中阴影部分,而|
|1/2,
|SA|
h
1
12
2
1
5
5
2
23
2
9
18
最后由几何概型的概率计算公式可得
P(A)
|SA|
5/185.1
||1/29
O1/3x
9.(见前面问答题2.3)
图2.3
10.已知A
B,P(A)
0.4,P(B)
0.6,求
(1)P(A),P(B);
(2)P(AUB);(3)P(AB);(4)P(BA),P(AB);(5)P(AB).
解
(1)P(A)
1P(A)
10.4
0.6,P(B)
1P(B)
10.6
0.4;
(2)P(AUB)
(3)P(AB)
P(A)
P(A)
P(B)
0.4;
P(AB)
P(A)
P(B)
P(A)
P(B)
0.6;
(4)P(BA)(5)P(AB)
P(AB)
P(BA)
P()
0.6
0,
0.4
P(AB)
0.2.
P(AUB)
1P(AUB)
10.6
0.4;
11.设A,B是两个事件,已知P(A)
0.5,P(B)
0.7,P(AUB)
0.8,试求P(A
B)及P(B
A).
解注意到
P(AUB)
P(A)
P(B)
P(AB)
,因而
P(AB)
P(A)
P(B)
P(AUB)
0.5
0.7
0.8
0.4.于是,P(AB)
P(A
AB)
P(A)
P(AB)
0.5
0.4
0.1;
P(BA)
P(B
AB)
P(B)
P(AB)
0.7
0.4
0.3.
习题三解答
1.已知随机事件A的概率P(A)
试求P(AB)及P(AB).
0.5,随机事件B的概率P(B)
0.6,条件概率P(B|A)
0.8,
解P(AB)
P(A)P(B|A)
0.5
0.8
0.4
P(AB)
P(AUB)
1P(AUB)
1P(A)
P(B)
P(AB)
10.5
0.6
0.4
0.3
2.一批零件共100个,次品率为10%,从中不放回取三次(每次取一个),求第三次才取得正
品的概率。
解p10
990819.
100
9998
9998
1078
3.某人有一笔资金,他投入基金的概率为0.58,购买股票的概率为0.28,两项投资都做的概率为0.19
(1)已知他已投入基金,再购买股票的概率是多少?
(2)已知他已购买股票,再投入基金的概率是多少?
解记A{基金},B{股票},则P(A)
0.58,P(B)
0.28,P(AB)
0.19
(1)
(2)
课后
P(B|A)
P(A|B)
P(AB)P(A)P(AB)
P(B)
0.19
答
0.58
0.19
0.28
案0.32网7.
0.678.
4.给定P(A)
0.5,P(B)
0.3,P(AB)
0.15,验证下面四个等式:
P(A|B)
P(A),
P(A|B)
P(A),
P(B|A)
P(B),P(B|A)
P(B).
解P(A|B)
P(AB)
P(B)
0.15
0.3
1P(A)
2
P(A|B)
P(AB)
P(B)
P(A)
1
P(AB)
P(B)
0.5
0.15
0.7
0.35
0.7
0.5
P(A)
P(B|A)
P(AB)
P(A)
0.15
0.5
0.3
P(B)
P(B|A)
P(AB)
P(A)
P(B)
1
P(AB)
P(A)
0.3
0.15
0.5
0.15
0.5
P(B)
5.有朋自远方来,他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4,若坐火车,迟到的概率是0.25,若坐船,迟到的概率是0.3,若坐汽车,迟到的概率是0.1,若坐飞机则不会迟到。
求他最后可能迟到的概率。
解B{迟到},A1
且按题意
{坐火车},A2
{坐船},A3
{坐汽车},A4
{乘飞机},则B
4
UBAi,
i1
由全概率公式有:
P(B|A1)
4
0.25,P(B|A2)
0.3,P(B|A3)
0.1,P(B|A4)0.
P(B)
P(Ai)P(B|Ai)
i1
0.3
0.25
0.2
0.3
0.1
0.1
0.145
6.已知甲袋中有6只红球,4只白球;乙袋中有8只红球,6只白球。
求下列事件的概率:
(1)随机取一只袋,再从该袋中随机取一球,该球是红球;
(2)合并两只袋,从中随机取一球,该球是红球。
解
(1)记B{该球是红球},A1
{取自甲袋},A2
{取自乙袋},已知P(B|A1)
6/10,
P(B|A2)
P(B)
8/14,所以
P(A)P(B|A)
P(A)P(B|A)161841
(2)
112
P(B)147
2412
2210
21470
7.某工厂有甲、乙、丙三个车间,生产同一产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,
40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求该厂产品的次品率。
解0.25
0.05
0.35
0.04
0.4
0.02
0.0125
0.0140
0.008
0.0345
3.45%
8.发报台分别以概率0.6,0.4发出"
"和"
",由于通信受到干扰,当发出"
"时,分别以概
率0.8和0.2收到"
"和"
",同样,当发出信号"
"时,分别以0.9和0.1的概率收到"
"和""。
求
(1)收到信号"
"的概率;
(2)当收到"
"时,发出"
"的概率。
解记B{收到信号"
"},A{发出信号""}
(1)
P(B)
P(A)P(B|A)
P(A)P(B|A)
0.6
0.8
0.4
0.1
0.48
0.04
0.52
(2)
P(A|B)
P(A)P(B|A)
0.6
0.8
12.
P(B)
0.5213
9.设某工厂有A,B,C三个车间,生产同一螺钉,各个车间的产量分别占总产量的25%,35%,
40%,各个车间成品中次品的百分比分别为5%,4%,2%,如从该厂产品中抽取一件,得到的是次
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品,求它依次是车间A,B,C生产的概率。
解为方便计,记事件A,B,C为A,B,C车间生产的产品,事件D{次品},因此
P(D)
P(A)P(D|A)
P(B)P(D|B)
P(C)P(D|C)
0.25
0.05
0.35
0.04
0.4
0.02
0.0125
0.014
0.008
0.0345
P(A|D)
P(A)P(D|A)
0.25
0.05
0.362
P(D)
0.0345
P(B|D)
P(B)P(D|B)
0.35
0.04
0.406
P(D)
0.0345
P(C|D)
P(C)P(D|C)
0.4
0.02
0.232
P(D)
10.设A与B独立,且P(A)
0.0345
p,P(B)
q,求下列事件的概率:
P(AUB),P(AUB),P(AUB).
解P(AUB)
P(AUB)
P(A)
P(A)
P(B)
P(B)
P(A)P(B)
P(A)P(B)
pqpq
p1q
p(1q)1qpq
P(AUB)
P(AB)
1P(A)P(B)1pq
11.已知A,B独立,且P(AB)
1/9,P(AB)
P(AB),求P(A),P(B).
解因P(AB)
P(AB),由独立性有
P(A)P(B)
P(A)P(B)
从而P(A)
P(A)P(B)
P(B)
P(A)P(B)
导致P(A)
P(B)
再由P(AB)
1/9,有
1/9
P(A)P(B)
(1P(A))(1
P(B))
(1P(A))2
所以1
P(A)
1/3。
最后得到
P(B)
P(A)
2/3.
12.甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次,命中率分别为1/3,1/2,2/3,求目标被命中的概率。
解记B{命中目标},A1
而
{甲命中},A2
{乙命中},A3
{丙命中},则
3
BUAi,因
i1
P(B)
3
1PA
1P(A)P(A)P(A)1211118
Ii123
i1
323
99.
13.设六个相同的元件,如下图所示那样安置在线路中,设每个元件不通达的概率为p,求这个装置通达的概率。
假定各个元件通达与否是相互独立的。
解记A{通达},12
Ai{元件i通达},i
1,2,3,4,5,6
34
则AA1A2UA3A4UA5A6,所以
56
P(A)
P(A1A2)
P(A3A4)
P(A5A6)
图3.1
P(A1A2A3A4)
P(A3A4A5A6)
P(A1A2A5A6)
P(A1A2A3A4A5A6)
3(1
p)2
3(1
p)4
(1p)6
14.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立,试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。
解p5
3
(0.2)3
(0.8)2
0.0512.
15.灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2,求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。
解p3
3
(0.2)3
3
0.8
2
(0.2)2
0.008
0.096
0.104.
16.设在三次独立试验中,事件A出现的概率相等,若已知A至少出现一次的概率等于19/27,求事件A在每次试验中出现的概率P(A).
解记Ai
19
{A课在第后i次试答验中案出现}网,i
1,w2,3w.
wp.kP(hA)
3
Ui123
依假设
PA
27i1
1P(AAA)
1(1
p)3
所以,(1
p)3
8,此即p
27
1/3.
17.加工一零件共需经过3道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%.假
设各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率。
解注意到,加工零件为次品,当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。
记Ai
{第i道工
序为次品},i
3
1,2,3.
则次品率
pPUAi
i1
1P(A1)P(A2)P(A3)
10.98
0.97
0.95
10.90307
0.097
18.三个人独立破译一密码,他们能独立译出的概率分别为0.25,0
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