概率论与数理统计试题库.doc
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《概率论与数理统计》试题
(1)
一、判断题(本题共15分,每小题3分。
正确打“√”,错误打“×”)
⑴对任意事件A和B,必有P(AB)=P(A)P(B)()
⑵设A、B是Ω中的随机事件,则(A∪B)-B=A()
⑶若X服从参数为λ的普哇松分布,则EX=DX()
⑷假设检验基本思想的依据是小概率事件原理()
⑸样本方差=是母体方差DX的无偏估计()
二、(20分)设A、B、C是Ω中的随机事件,将下列事件用A、B、C表示出来
(1)仅发生,B、C都不发生;
(2)中至少有两个发生;
(3)中不多于两个发生;
(4)中恰有两个发生;
(5)中至多有一个发生。
三、(15分)把长为的棒任意折成三段,求它们可以构成三角形的概率.
四、(10分)已知离散型随机变量的分布列为
求的分布列.
五、(10分)设随机变量具有密度函数,<x<,
求X的数学期望和方差.
六、(15分)某保险公司多年的资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占20%,以表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数,求.
x00.511.522.53
Ф(x)0.5000.6910.8410.9330.9770.9940.999
七、(15分)设是来自几何分布
,
的样本,试求未知参数的极大似然估计.
《概率论与数理统计》试题
(1)评分标准
一⑴×;⑵×;⑶√;⑷√;⑸×。
二解
(1)
(2)或;
(3)或;
(4);
(5)或
每小题4分;
三解设‘三段可构成三角形’,又三段的长分别为,则,不等式构成平面域.------------------------------------5分
a
S
发生
a/2
不等式确定的子域,----------------------------------------10分
所以
A
a
a/2
0
-----------------------------------------15分
四解的分布列为
.
Y的取值正确得2分,分布列对一组得2分;
五解,(因为被积函数为奇函数)--------------------------4分
----------------------------------------10分
六解X~b(k;100,0.20),EX=100×0.2=20,DX=100×0.2×0.8=16.----5分
---------------------------10分
=0.994+0.933--1
.--------------------------------------------------15分
七解----------5分
--------------------------------10分
解似然方程
,
得的极大似然估计
。
--------------------------------------------------------------------15分
《概率论与数理统计》期末试题
(2)与解答
一、填空题(每小题3分,共15分)
1.设事件仅发生一个的概率为0.3,且,则至少有一个不发生的概率为__________.
2.设随机变量服从泊松分布,且,则______.
3.设随机变量在区间上服从均匀分布,则随机变量在区间内的概率密度为_________.
4.设随机变量相互独立,且均服从参数为的指数分布,,则_________,=_________.
5.设总体的概率密度为
.
是来自的样本,则未知参数的极大似然估计量为_________.
解:
1.
即
所以
.
2.
由知
即解得,故
.
3.设的分布函数为的分布函数为,密度为则
因为,所以,即
故
另解在上函数严格单调,反函数为
所以
4.,故
.
5.似然函数为
解似然方程得的极大似然估计为
.
二、单项选择题(每小题3分,共15分)
1.设为三个事件,且相互独立,则以下结论中不正确的是
(A)若,则与也独立.
(B)若,则与也独立.
(C)若,则与也独立.
(D)若,则与也独立.()
2.设随机变量的分布函数为,则的值为
(A).(B).
(C).(D).()
3.设随机变量和不相关,则下列结论中正确的是
(A)与独立.(B).
(C).(D).()
4.设离散型随机变量和的联合概率分布为
若独立,则的值为
(A).(A).
(C)(D).()
5.设总体的数学期望为为来自的样本,则下列结论中
正确的是
(A)是的无偏估计量.(B)是的极大似然估计量.
(C)是的相合(一致)估计量.(D)不是的估计量.()
解:
1.因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立,所以(A),(B),(C)都是正确的,只能选(D).
S
A
B
C
事实上由图可见A与C不独立.
2.所以
应选(A).
3.由不相关的等价条件知应选(B).
4.若独立则有
Y
X
,
故应选(A).
5.,所以是的无偏估计,应选(A).
三、(7分)已知一批产品中90%是合格品,检查时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.05,一个次品被误认为是合格品的概率为0.02,求
(1)一个产品经检查后被认为是合格品的概率;
(2)一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.
解:
设‘任取一产品,经检验认为是合格品’
‘任取一产品确是合格品’
则
(1)
(2).
四、(12分)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2/5.设为途中遇到红灯的次数,求的分布列、分布函数、数学期望和方差.
解:
的概率分布为
即
的分布函数为
.
五、(10分)设二维随机变量在区域上服从均匀分布.求
(1)关于的边缘概率密度;
(2)的分布函数与概率密度.
1
D
0
1
z
x
y
x+y=1
x+y=z
D1
解:
(1)的概率密度为
(2)利用公式
其中
当或时
x
z
z=x
时
故的概率密度为
的分布函数为
或利用分布函数法
六、(10分)向一目标射击,目标中心为坐标原点,已知命中点的横坐标和纵坐标相互独立,且均服从分布.求
(1)命中环形区域的概率;
(2)命中点到目标中心距离的数学期望.
x
y
0
1
2
解:
(1)
;
(2)
.
七、(11分)设某机器生产的零件长度(单位:
cm),今抽取容量为16的样本,测得样本均值,样本方差.
(1)求的置信度为0.95的置信区间;
(2)检验假设(显著性水平为0.05).
(附注)
解:
(1)的置信度为下的置信区间为
所以的置信度为0.95的置信区间为(9.7868,10.2132)
(2)的拒绝域为.
,
因为,所以接受.
《概率论与数理统计》期末试题(3)与解答
一、填空题(每小题3分,共15分)
(1)设事件与相互独立,事件与互不相容,事件与互不相容,且,,则事件、、中仅发生或仅不发生的概率为___________.
(2)甲盒中有2个白球和3个黑球,乙盒中有3个白球和2个黑球,今从每个盒中各取2个球,发现它们是同一颜色的,则这颜色是黑色的概率为___________.
(3)设随机变量的概率密度为现对进行四次独立重复观察,用表示观察值不大于0.5的次数,则___________.
(4)设二维离散型随机变量的分布列为
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