新思维博智教育3的初中数学组卷Word格式.docx
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角平分线上的点到 的距离相等.
角平分线判定定理:
到角的两边距离相等的点在 .
(2)老师在黑板上画出了图形,把判定定理的已知、求证写在了黑板上,可是有些内容不完整,请你把内容补充完整
已知:
如图1,点P是∠AOB内一点,PD⊥AO,PE⊥OB,垂足分别为D、E,且PD= ,求证:
点P在∠AOB的 上
(3)请你完成证明过程:
(4)知识运用:
如图2,三条公路两两相交,现在要修建一加油站,使加油站到三条公路的距离相等,加油站可选择的位置共有 处.
12.(2015春•罗湖区期末)在△ABC中,已知∠A=90°
,AB=AC,BD平分∠ABC,DE⊥BC于E,请解答下列问题:
(1)若AD=2cm,则D点到BC边的距离是 .
(2)若BC=7cm,则△CDE的周长为 .
(3)连接AE,试判断线段AE与BD的位置,并说明理由.
13.(2008春•北京校级期中)在RT△ABC中,∠A=90°
,AB=3,AC=4,BC=5,∠ABC,∠ACB的平分线交于P点,PE⊥BC于E点,求BE•CE的值.
14.已知如图,∠BAC=∠BPC,AP平分∠CAN,PN⊥AB于点N,PM⊥AC于M,求
的值.
15.如图,已知在△ABC中,∠A、∠B的角平分线交于点O,过O作OP⊥BC于P,OQ⊥AC于Q,OR⊥AB于R,AB=7,BC=8,AC=9.
(1)求证:
OP=OQ=OR.
(2)求BP、CQ、AR的长.
(3)若BO的延长线交AC于E,CO的延长线交AB于F,若∠A=60゜,求证:
OE=OF.
16.已知△ABC,请你在下列各图中判断点P到△ABC三边的距离是否相等,并证明你的结论.
(1)如图①,已知内角∠ABC,∠ACB的平分线交于点P;
(2)如图②,已知内角∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于点P;
(3)如图③,已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BP,CP交于点P.
17.如图,BE、CE分别为△ABC的两个外角平分线,EP⊥AM于P,EQ⊥AN于Q
求证:
(1)EP=EQ;
(2)点E在∠NAM的平分线上.
18.如图,BD=CD
(1)如图
(1),若AD平分∠BAC的外角.①求证:
∠ABD=∠ACD;
②试探究∠BAD与∠BCD的关系并证明.
(2)如图
(2),若∠ADB=∠ACB,求证:
AD平分∠BAC外角.
19.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°
,AB=3,AC=4,∠ABC和∠ACB的平分线交于点P,PE⊥BC于点E,求PE的长.
20.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°
,BE⊥AC,垂足为点E,AD平分∠BAC,DF∥BE,EF=4,求点F到BC的距离.
21.如图所示,OC平分∠AOB,OA=OB,P为OC上一点,PE⊥AC,PF⊥BC,垂足分别为E,F.求证:
PE=PF.
22.如图,在平面直角坐标系中,已知B(8,0),C(0.6),P(﹣3,3),现将一直角三角板EPF的直角顶点放在点P处,EP交y轴于N,FP交x轴于M,把△EPF绕点P旋转,请问0M+ON是否为一定值?
若是,求出其值;
若不是,请说明理由.
23.某小区有一块直角三角形空地,如图所示,∠B=90°
,AB=7m,BC=24m,AC=25m,物业管理员准备把这块空地进行绿化,在三角形中找一点P,各每边修一条垂直小经,小径到各边距离相等,问三条小径,共有多长?
24.(2012春•平湖市校级月考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,CD⊥AB于D,AE平分∠BAC,交CD于K,交BC于E,F是BE上一点,且BF=CE,
FK∥AB.
25.(2013秋•黄山校级期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=BC,AD平分∠CAB,DE⊥AB于E.若△DBE的周长为15cm,求AB的长.
26.(2013秋•盐都区期末)如图,点E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C、D.
(1)∠ECD=∠EDC;
(2)OC=OD;
(3)OE是线段CD的垂直平分线.
27.(2015秋•石家庄校级期中)如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分∠ABC,
∠A+∠C=180°
.
28.(2015秋•潮南区期末)如图,四边形ABCD中,∠B=90°
,AB∥CD,M为BC边上的一点,且AM平分∠BAD,DM平分∠ADC.求证:
(1)AM⊥DM;
(2)M为BC的中点.
29.(2015秋•莘县期末)如图已知:
E是∠AOB的平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C、D.求证:
(2)OE是CD的垂直平分线.
30.(2015秋•九台市期末)如图,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD、BE=CF.
AD平分∠BAC;
(2)直接写出AB+AC与AE之间的等量关系.
参考答案与试题解析
1.C.2.C.3.C.
4.125°
.5.4.6.12.7.4.8.2.
9.【解答】
(1)关系是:
AD+AB=AC(1分)
证明:
∵AC平分∠MAN,∠MAN=120°
∴∠CAD=∠CAB=60°
又∠ADC=∠ABC=90°
,
∴∠ACD=∠ACB=30°
(2分)
则AD=AB=
AC(直角三角形一锐角为30°
,则它所对直角边为斜边一半)(4分)
∴AD+AB=AC(5分);
(2)仍成立.
过点C分别作AM、AN的垂线,垂足分别为E、F(6分)
∵AC平分∠MAN
∴CE=CF(角平分线上点到角两边距离相等)(7分)
∵∠ABC+∠ADC=180°
,∠ADC+∠CDE=180°
∴∠CDE=∠ABC
又∠CED=∠CFB=90°
,∴△CED≌△CFB(AAS)(10分)
∵ED=FB,∴AD+AB=AE﹣ED+AF+FB=AE+AF(11分)
由
(1)知AE+AF=AC(12分)
∴AD+AB=AC(13分)
10.【解答】证明:
在△ABD和△CBD中,AB=BC(已知),
∠ABD=∠CBD(角平分线的性质),
BD=BD(公共边),
∴△ABD≌△CBD(SAS),
∴∠ADB=∠CDB(全等三角形的对应角相等);
∵PM⊥AD,PN⊥CD,
∴∠PMD=∠PND=90°
;
又∵PD=PD(公共边),
∴△PMD≌△PND(AAS),
∴PM=PN(全等三角形的对应边相等).
【分析】
(1)根据角平分线的性质定理和判定定理解答;
(2)根据题意结合图形写出已知;
(3)作射线OP,证明Rt△OPD≌Rt△OPE即可;
(4)根据角平分线的性质定理解答.
【解答】解:
(1)角平分线性质定理:
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
到角的两边距离相等的点在角平分线上,
故答案为:
这个角的两边;
角平分线上;
(2)已知:
如图1,点P是∠AOB内一点,PD⊥AO,PE⊥OB,垂足分别为D、E,且PD=PE,求证:
点P在∠AOB的平分线上.
PE;
平分线上;
(3)如图:
作射线OP,
∵PD⊥AO,PE⊥OB,
∴∠PDO=∠PEO=90°
在Rt△OPD和Rt△OPE中,
∴Rt△OPD≌Rt△OPE,
∴∠DOP=∠EOP,
∴OP是∠AOB的平分线,即点P在∠AOB平分线上;
(4)如图2,M、N、G、H即为所求,
4.
【点评】本题考查的是角平分线的性质定理和判定定理的应用,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边距离相等的点在角平分线上是解题的关键.
(1)根据角平分线的性质定理解答;
(2)证明△ABD≌△EBD,得到BA=BE,根据三角形的周长公式计算即可;
(3)根据线段垂直平分线的判定定理解答.
(1)∵BD平分∠ABC,DE⊥BC,∠A=90°
∴DE=AD=2cm,
2cm;
(2)在△ABD和△EBD中,
∴△ABD≌△EBD,
∴BA=BE,
△CDE的周长=CD+CE+DE=CD+AD+CE=AC+CE=AB+CE=AE+CE=BC=7cm,
7cm;
(3)∵DA=DE,BA=BE,
∴BD⊥AE.
【点评】本题考查的是角平分线的性质定理,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.
【分析】过P作AC、AB、BC的垂线,根据角平分线的性质可得三条线段相等.所以P是三角形ABC的内心,即内切圆的圆心.PE就是内切圆的半径.根据直角三角形内切圆的半径=2S△ABC÷
L△ABC可得,PE=1.
过P作AC、AB的垂线,交AC于点F,交AB于点G.
∵∠ABC,∠ACB的平分线交于P点,PE⊥BC于E点,
∴PE=PF=PG,
∴P是三角形ABC的内心,即内切圆的圆心.PE就是内切圆的半径.
设直角三角形ABC内切圆的半径PE=r,则
r=2×
=2×
=1;
在四边形PFAG中,PG⊥AB,AF⊥AB,
∴PG∥FA,∠A=90°
∴四边形PFAG是正方形,
∴AG=PG=AF=1,
∴BG=2,CF=3;
又∵∠ABC,∠ACB的平分线交于P点,
∴BG=BE=2,CE=CF=3,
∴BE•CE=2×
3=6.
【点评】本题考查了角平分线的性质.解答该题时,证明四边形AFPG是正方形是求BE、CE的关键.
【分析】在CM上取点E,使PE=PA,根据等腰三角形的性质得到AM=ME,证明△NBP≌△MCP,得到NB=CM,证明结论.
在CM上取点E,使PE=PA,
∵PM⊥AC,
∴AM=ME,
∵AP平分∠CAN,PN⊥AB于点N,PM⊥AC于M,
∴PM=PN,
∵∠BAC=∠BPC,
∴∠NBP=∠MCP,
在△NBP和△MCP中,
∴△NBP≌△MCP,
∴NB=CM,
∴AC+AB=2CM,
∴
=2.
【点评】本题考查的是角平分线的性质和全等三角形的性质和判定,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.
(1)根据角平分线的性质得到OP=OR,OR=OQ,证明结论;
(2)根据内心的性质列出方程组,解方程组即可;
(3)证明△ROF≌△QOE,得到答案.
【解答】
(1)证明:
∵OB平分∠ABC,OP⊥BC,OR⊥AB,
∴OP=OR,
同理,OR=OQ,
∴OP=OQ=OR;
(2)解:
∵∠A、∠B的角平分线交于点O,
∴O是△ABC的内心,
∴BR=BP=x,AR=AQ=y,CQ=CP=z,
则
解得,
∴BP=3、CQ=5、AR=4;
(3)由
(1)得OR=OQ,
∵O是△ABC的内心,∠A=60゜,
∴∠ROD=∠FOE=120°
∴∠ROF=∠QOE,
∴△ROF≌△QOE,
∴OE=OF.
【点评】本题考查的是角平分线的性质和全等三角形的判定以及内心的性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.
(1)根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可;
(2)根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可;
(3)根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可.
(1)点P到△ABC三边的距离相等,
∵BP是内角∠ABC的平分线,
∴点P到BA、BC的距离相等,
∵CP是∠ACB的平分线,
∴点P到CB、CA的距离相等,
∴点P到△ABC三边的距离相等;
(2)点P到△ABC三边的距离相等,
∵CP是外角∠ACE的平分线,
(3)点P到△ABC三边的距离相等,
∵BP是内外角∠DBC的平分线,
∵CP是外角∠BCE的平分线,
∴点P到△ABC三边的距离相等.
【点评】本题考查的是角平分线的性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.
(1)作EF⊥BC于F,根据角平分线的性质证明结论;
(2)根据角平分线的判定定理证明即可.
【解答】证明:
(1)作EF⊥BC于F,
∵BE、CE分别为△ABC的两个外角平分线,EP⊥AM,EQ⊥AN,EF⊥BC,
∴EP=EF,EQ=EF,
∴EP=EQ;
(2)∵EP=EQ,EP⊥AM,EQ⊥AN,
∴点E在∠NAM的平分线上.
【点评】本题考查的是角平分线的性质和判定,角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
(1)①作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,根据角平分线的性质得到DM=DN,证明Rt△BDM≌Rt△CDN,得到答案;
②根据圆内接四边形的性质证明;
(2)根据圆内接四边形的性质得到∠EAD=∠DCB,∠DAC=∠DBC,根据等腰三角形的性质得到∠DCB=∠DBC,证明结论.
(1)①作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,
∵若AD平分∠BAC的外角,DM⊥AB,DN⊥AC,
∴DM=DN,
在Rt△BDM和Rt△CDN中,
∴Rt△BDM≌Rt△CDN,
∴∠ABD=∠ACD;
②∵∠ABD=∠ACD,
∴A、B、C、D四点共圆,
∴∠BAD+∠BCD=180°
(2)∵∠ADB=∠ACB,
∴∠EAD=∠DCB,
∠DAC=∠DBC,
∵BD=CD,
∴∠DCB=∠DBC,
∴∠EAD=∠DAC
∴AD平分∠BAC外角.
【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.
【分析】连接AP,作PF⊥AB于F,PG⊥AC于G,根据角平分线的性质得到PE=PF=PG,根据三角形的面积公式计算即可.
连接AP,作PF⊥AB于F,PG⊥AC于G,
∵∠A=90°
,AB=3,AC=4,
∴BC=
=5,
∵BP、CP是∠ABC和∠ACB的平分线,
×
BC×
PE+
AB×
PF+
AC×
PG=
AC,
解得,PE=1.
【分析】作FH⊥BC于H,根据角平分线的性质得到DF=DB,证明∠DBF=∠DFB,根据平行线的性质得到∠EBF=∠DFB,根据角平分线的性质得到答案.
作FH⊥BC于H,
∵DF∥BE,BE⊥AC,
∴DF⊥AC,
∵AD平分∠BAC,∠ABC=90°
,DF⊥AC,
∴DF=DB,
∴∠DBF=∠DFB,
∵DF∥BE,
∴∠EBF=∠DFB,
∴∠EBF=∠DBF,BE⊥AC,FH⊥BC,
∴FH=EF=4.
【点评】本题考查的是角平分线的性质和平行线的性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.
【分析】根据三角形全等的判定定理证明△AOC≌△BOC,得到∠ACO=∠BCO,根据角平分线的性质证明结论.
在△AOC和△BOC中,
∴△AOC≌△BOC,
∴∠ACO=∠BCO,又PE⊥AC,PF⊥BC,
∴PE=PF.
【分析】作PG⊥x轴于G,PH⊥y轴于H,得到矩形PGOH,根据矩形的性质和全等三角形的判定定理证明△NPH≌△MPG,得到NH=MG,根据图形的性质得到答案.
0M+ON为一定值6,
理由如下:
作PG⊥x轴于G,PH⊥y轴于H,
∴四边形PGOH为矩形,
∴∠HPG=90°
,又∠EPF=90°
∴∠NPH=∠MPG,
∵P(﹣3,3),
∴PH=PG=3,
在△NPH和△MPG中,
∴△NPH≌△MPG,
∴NH=MG,
∴0M+ON=OG+OH=6.
【点评】本题考查的是坐标与图形的性质、确定三角形的判定和性质,正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键.
【分析】连接PA、PB、PC,根据三角形面积公式计算即可.
连接PA、PB、PC,
∵小径到各边距离相等,
∴PF=PD=PE,
PD+
PE=
AB,
∴PF=PD=PE=3,
则PF+PD+PE=9,
∴三条小径共有9米.
【点评】本题考查的是角平分线的性质和三角形的面积计算,掌握三角形面积公式是解题的关键.
【分析】过点K作
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