平稳时间序列模型及其特征Word格式文档下载.docx
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pB)Xt=£
记算子多项式©
(B)=(1-©
2B--©
pB),则模型可以表示成
©
(B)X=£
t(2.1.3)
例如,二阶自回归模型X=0.7Xt「+0.3Xt-2+0.3Xt-3+£
t可写成
(1-0.7B-0.3B2)X=£
二、滑动平均模型(MA
有时,序列X的记忆是关于过去外部冲击值的记忆,在这种情况下,X可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合,即
X=£
t-01£
t-1-02£
t-2--0q£
t-q(2.1.4)
此模型常称为序列X的滑动平均模型,记为MA(q),其中q为滑动平均的阶数,01,02…0q为参滑动平均的权数。
相应的序列Xt称为滑动平均序列。
使用滞后算子记号,(2.1.4)可写成
Xt=(1-01B-02W-……-0q£
)qt=0(B)£
t(2.1.5)
三、自回归滑动平均模型
如果序列{X}的当前值不仅与自身的过去值有关,而且还与其以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系,则在用模型刻画这种动态特征时,模型中既包括自身的滞后项,也包括过去的外部冲击,这种模型叫做自回归滑动平均模型,其一般结构为:
Xt=1Xt-1+©
2X-2++©
pX-p+£
t-01£
t-q
(2.1.6)
简记为ARMA(p,q)。
利用滞后算子,此模型可写为
第二节线性时间序列模型的平稳性、可逆性和传递性
首先介绍两个概念。
1序列的传递形式:
设{Yt}为随机序列,{£
t}为白噪声,若{Yt}可表示为:
Yt=£
t+G£
t-1+G£
t-2++G£
t-k+=G(B)£
且|Gk|,则称{Y}具有传递形式,此时{Y}是平稳的。
1
系数{G}称为格林函数。
它描述了系统对过去冲击的动态记忆性强度。
2序列的逆转形式:
若{Y}可表示为:
£
t=Yt-niYt-i-n2Yt-2--nkYt-k-=n(B)Yt
且|k,则称{Y}具有逆转形式(或可逆形式)。
一、MA模型
1.MA模型本身就是传递形式。
2.MA(q)总是平稳的(由上一章的例),MA(乂)在系数级数绝对收敛的条件下平稳。
3.MA(q濮型的可逆性条件。
先以MA
(1)(Yt=£
t-i)为例进行分析。
MA
(1)的可逆性条件为:
I11。
如果引入滞后算子表示MA
(1),则Yt=(1-0iB)£
t,可逆条件i1等价于B(B)=1-0iB=0的根全在单位圆外。
对于一般的MA(q)模型,利用滞后算子表示有:
Y=(1-0iB-02B--0qB)£
t=0(B)£
其可逆的充要条件是:
0(B)=0的根全在单位圆外(证明见
Box-Jenkins,P79)。
在可逆的情况下,服从MA(q)模型的序列可以表示成无穷阶的AR
模型:
-1
0(B)Yt二£
MA(q)的可逆域:
使0(B)=0的根全在单位圆之外的系数向量(0
1,02,,0q)所形成的集合。
例:
求MA
(2)的可逆域。
解:
由Ytt1t12t2,
其特征方程为:
(B)
2
1B2B0
该方程的两个根为:
.1242
22
V142
由一次方程根与系数的关系,
有
12
丄
7
当MA
(2)平稳时,根的模|1与2都必须大于1,因此必有:
由根与系数的关系,可以推出如下式子:
11
211(1—)(1—)
211
(1)
(1)
因此
1(1—)(1—)
AR模型
2.平稳性。
先以AR
(1)(Yt=1Yt-1+£
t),进行分析
AR
(1)平稳的条件为|i1,它等价于(B)=1-iB=0的根在单位圆外。
3、在平稳的情况下,AR
(1)有传递形式:
(1-iB)Yt=etYt
t
11B
般地,对于AR(P)模型:
(B)Yt二et,序列{Yt}平稳的充要
条件是:
(B)=0的根全在单位圆外。
此时,Yt有传递形式:
Yt=-1(B)
AR(P)的平稳域:
使(B)=0的根全在单位圆外的AR系数向量(1,
练习:
求AR
(1)与AR
(2)的平稳域。
三、ARMA(p,q)模型
1、平稳性与传递形式
首先考察ARMA(1,1)的平稳性:
YtF1Yt-1=et-01et-1
Yt平稳mI©
1|<
1(与AR
(1)的平稳域相同)
此结论表明,ARMA(1,1)序列的平稳性仅与自回归系数有关,而与滑动平均系数无关。
而且平稳条件与AR
(1)的平稳条件相同在平稳的条件下,Yt有上述形式的传递形式。
般地,服从ARMA(p,q)模型的序列Yt平稳的充要条件是:
(B)=0的根全在单位圆外。
在平稳的条件下,Yt有传递形式Yt二
厂(B)0(B)et
2、可逆性
对于ARMA(1,1),假定可逆形式为
t=n(B)Yt=(1—niB—n2B——nkBk)Yt
代入ARMA(1,1)的滞后算子表示形式,采用类似前面的方法,比较同次冥系数可得
t=Yt-(©
1_01)Yt-1_01(©
1_01)Yt-2B1k-1(©
1-01)Yt-k-…
根据前面的定义(可逆性定义),应有丨©
1。
因此,ARMA(1,1)可逆的条件是|©
1,它仅与滑动系数有关,而与自回归系数无关。
而且可逆条件与MA
(1)的可逆条件相同。
一般地,服从ARMA(p,q)模型的序列Yt,其具有可逆性的条件是:
0(B)=0的根全在单位圆外。
在可逆的条件下,Yt的逆转形式为£
t=0-1(B)©
(B)Yt
3、传递性与可逆性的重要意义
第三节线性时间序列模型的自相关函数与偏自相关函数
、自相关函数
设{Yt}服从:
则{Yt}的s阶自协方差函数为:
Y=0j0s+j(T
j0
(s>
q)
Ps=y/y
征。
MA(q)的典型特征:
ps在q步截尾。
首先考察AR
(1)(Yt=©
iYt-i+£
t)的自相关函数的特征。
Yt的自协方差函数为:
Y=Cov(Yt,Yt+s)=©
1Y-1
从而Y=©
1Y-1=©
12uS-2二…=©
1sY
自相关函数(ACF)为:
ps=y/y=©
is
当I©
i|v1,ps—>
0,即自相关函数ps随s的增大而衰减至零。
这种现象称为拖尾性。
对于一般的AR(p),序列的自相关函数的特征分析如下:
设Yt=©
1丫t-1+©
2丫t-2+…+©
pYt-p+£
t=©
(B)Yt+£
则自协方差函数:
Y=©
1Y-1+©
2Y-2+…+©
pY-P
这是一个关于{s}的线性差分方程。
上式两边同除Y,得关于自相关函数(ACF)的线性差分方程。
ps=©
1ps-1+©
2ps-2+…+©
pps-p
在AR(p)平稳的条件下,©
(B)=0有p个在单位圆外的根a1、a
2,…,ap。
根据线性差分方程解的有关理论,自相关函数(ACF;
服从的线性差分方程©
(B)ps=0的通解为:
ps=C1a1-s+C2a2-s+.…+Cpap-s
由于Iaj|>
1,因此ps将按指数衰减(实根情形)或正弦振
荡衰减(复根情形)。
这种特性称为AR(p)的拖尾性。
AR(p)的典型特征是:
ps拖尾(衰减)
3、ARMA(p,q)的自相关函数
设ARMA(p,q)的形式为:
则Yt的s阶自协方差函数为:
Y=©
1Y-计©
pY-p+E(Yt£
t+s)_0lE(Yt£
t+S-1)-…-0qE(Yt£
t+S-q)
1当Ows<
q时,£
t+S,£
t+S-1,•…,£
t+S-q中有一部分位于t
时刻以前(t+s-iwtw0),Yt与这一部分外部冲击有关,从
而y除了受自回归系数的影响外,还受一部分滑动平均系数的影响。
2当s>
q时,s-q>
0,t+s-q>
t,从而£
t+S,£
t+S-1,•…,£
t+S-q全在t时刻以后,由于Yt与未来的外部冲击不相关,因此Y中后面的项全为零。
2y-2+…+©
pY-p
它只同自回归系数有关。
两边同除Y,得Ps=©
1Ps-计©
2Ps-2+…+©
pPs-p(s>
q)
即ARMA(p,q)的自相关函数(ACF)在s>
q时,与AR(p)的自相关函数所满足的线性差分方程完全相同。
借用前面关于AR(p)的自相关函数特征的讨论可知,ARMA(p,q)的自相关函数(ACF)在q以后随s的增长按指数衰减或以正弦振荡衰减,即仍体现出拖尾特征。
二、偏自相关函数
从前面的自相关函数的讨论中可看出,自相关函数的截尾性是MA(q)的独有特征,但自相关函数的拖尾性却是AR(p)与ARMA
(p,q)共有的特征,尽管ARMA(p,q)的自相关函数在q阶后开始按指数衰减或以正弦振荡衰减,但这还不足于区别AR(p)与
ARMA(p,q),因为在实际应用中很难区分是否是从q阶开始衰减的。
因此,还需寻找序列的其他统计特征。
这就是偏自相关函数的特征。
设{Yt}是一随机序列,所谓Yt的s阶偏自相关系数,是指扣出中间s-1个项的影响之后,Yt与Yt+s的相关系数。
为了考察偏自相关函数的特性,我们分析如下:
设{Yt}是一零均值平稳序列,我们设想用Yt-i,Yt-2,…,Yt-s的s阶自回归模型去拟和Yt,即建立如下模型:
Yt=©
siYt-i+©
S2Yt-2+…+ssYt-s+et
其中et为误差项。
估计模型的常用方法是最小二乘法,即选择©
si,©
S2,…,©
ss
使模型的残差方差Q=E(Yt-
Sj
j1
Yt-j)2=Eet2达到最小。
根据极
值条件应有:
Q/©
Sj=0
(j=1,
2,…,s)
据此,可推出©
S1,©
S2,
…,©
ss所满足的方程为
s1s11
s2s22
s1
s2
1ssss
其中Pk(k=1,…,s)为Yt的k阶自相关系数。
此方程组称
为Yule-Walker方程。
可以证明,©
ss是在给定Yt-1,Yt-2,…,Yt-s+1的条件,Yt和
Yt-s之间的条件相关系数,即偏相关系数。
{©
ss}就为{Yt}的偏相关函数。
则当且仅当
Sj=<
时,Q达到最小值。
上式表明,当s>
p时,©
ss=0,即©
pp=©
p是AR(p)模型偏
截尾是AR(p)的典型特征
对于AR(p)和ARMA(p,q)模型,在可逆的条件下,有逆转形式£
t=0-1(B)©
(B)Yt
这是一个无穷阶的AR模型,根据前面的讨论知,{Yt}的偏自相关函数不会出现截尾现象,而是无限延伸的。
(AR(p)是p阶截
尾的,AR(心)不会截尾)可以证明,其偏自相关函数呈指数衰减或正弦波衰减。
至此,我们已完全分析了各种线性时间序列模型的特征。
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- 平稳 时间 序列 模型 及其 特征
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