1819 第1章 4 数列在日常经济生活中的应用Word格式文档下载.docx
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[解析]
(1)不正确,本息指本金与利息的和;
(2)不正确,定期自动转存的模型不是等差数列;
(3)不正确,分期付款的本质是贷款按复利整存整取,还款按复利零存整取到贷款全部还清时,贷款本利合计=还款本利合计.
[答案]
(1)×
(2)×
(3)×
2.过圆x2+y2=10x内一点(5,3)有k条弦的长度组成等差数列,且最短弦长为首项a1,最长弦长为末项ak,若公差d∈
,则k的取值不可能是( )
【导学号:
91022111】
A.4 B.5
C.6D.7
A [x2+y2=10x化简得(x-5)2+y2=25
过点(5,3)的最短弦长为8,最长弦长为10,
则题意d=
=
∈
,5≤k≤7.]
3.阿明存入5万元定期存款,存期1年,年利率为2.25%,那么10年后共得本息和为________万元.(精确到0.001)
[解析] 10年后的本息:
a10=5×
(1+0.0225)10≈6.246(万元).
[答案] 6.246
[合作探究·
攻重难]
等差数列模型
某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房,共需1150万元,购买当天先付150万元,以后每月这一天都交付50万元,并加付欠款利息,月利率为1%,若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月,问分期付款的第10个月应付多少钱?
全部按期付清后,买这40套住房实际花了多少钱?
91022112】
[解] 因购房时付150万元,
则欠款1000万元,依题意分20次付款,
则每次付款的数额顺次构成数列{an}.
则a1=50+1000×
1%=60,
a2=50+(1000-50)×
1%=59.5,
a3=50+(1000-50×
2)×
1%=59,
a4=50+(1000-50×
3)×
1%=58.5,
…
所以an=50+[1000-50(n-1)]×
1%=60-
(n-1)(1≤n≤20,n∈N+).
所以{an}是以60为首项,-
为公差的等差数列.
所以a10=60-9×
=55.5.
所以第10个月应付55.5(万元).
a20=60-19×
=50.5.
所以S20=
×
(a1+a20)×
20=10×
(60+50.5)=1105.
所以实际共付1105+150=1255(万元).
[规律方法]
1.按单利计算公式
单利的计算仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息,其公式为利息=本金×
利率×
存期.
2.按单利分期付款问题的三个关键问题
(1)规定多少时间内付清全部款额.
(2)在规定的时间内分几期付款,并且规定每期所付款额相同.
(3)规定多长时间段结算一次利息,及在规定时间段内利息的计算公式.
[跟踪训练]
1.某人从1月起每月第一天存入100元,到12月最后一天取出全部本金和利息,已知月利率是0.165%,按单利计算,那么实际取出多少钱?
[解] 实际取出的钱等于:
本金+利息.
到12月最后一天取款时:
第一个月存款利息:
100×
12×
0.165%,
第二个月存款利息:
11×
第11个月存款利息:
2×
第12个月存款利息:
1×
所以S12=100×
0.165%+100×
0.165%+…+100×
0.165%
=100×
0.165%×
(1+2+3+…+12)
=12.87.
所以实际取出100×
12+12.87=1212.87(元).
等比数列模型
某大学张教授年初向银行贷款20万元用于购房,银行贷款的年利率为10%,按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息).若这笔款要分10次等额还清,每年年初还一次,并且在贷款后次年年初开始归还,问:
每年应还多少万元?
(参考数据1.110≈2.594)
[解] 设每年还款x万元,则每年还款后的余额为:
第一年:
20×
(1+10%)-x,
第二年:
(20×
1.1-x)×
1.1-x=20×
1.12-(1.1+1)x,
第三年:
[20×
1.12-(1.1+1)x]×
1.13-(1.12+1.1+1)x,
⋮
第n年:
1.1n-(1.1n-1+1.1n-2+…+1.1+1)x
an=20×
1.1n-
x=20×
x,
十年还清,即十年以后余额为零,
故20×
1.110-
x=0,
x=
≈3.255(万元)
故如果10年还清,每年应还3.255万元.
1.复利问题的计算方法
复利问题可以转化为等比数列问题,第n年的本息=本金×
(1+利率)n.
2.解决等比数列应用题的关键
(1)认真审题抓特点,仔细观察找规律.
(2)等比数列的特点是增加或减少的百分数相同.
(3)分析数列的规律,一般需先写出数列的一些项加以考查.
2.某家庭打算以一年定期的方式存款,计划从2018年起,每年年初到银行新存入a元,年利率p保持不变,并按复利计算,到2028年年初将所有存款和利息全部取出,一共可以取回多少钱?
91022113】
[解] 设从2018年年初到2028年年初每年存入a元的本利和组成数列{an}(1≤n≤10).
则a1=a(1+p)10,a2=a(1+p)9,…,a10=a(1+p),
故数列{an}(1≤n≤10)是以a1=a(1+p)10为首项,q=
为公比的等比数列.
所以2028年初这个家庭应取出的钱数为
S10=
[(1+p)11-(1+p)](元).
分期付款问题
[探究问题]
1.复利与单利的区别是什么?
[提示]
(1)复利在第二次以后计算时,将上一次得到的利息也作为了本金,而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息.
(2)单利和复利分别以等差数列和等比数列作为模型,即单利的实质是等差数列,复利的实质是等比数列.
2.小明存入1万元定期存款,存期5年,年利率为2%,若按单利计算,5年后共获得本息和为多少元?
若按复利计算,5年后共获得本息和多少元?
[提示] 按单利计算:
5年后共获(1+5×
2%)=1.1万元;
按复利计算:
5年后共获(1+2%)5=1.104万元.
3.在实际问题中,涉及一组与顺序有关的数的问题时,应考虑用什么方法解决?
解决此问题的关键是什么?
[提示] 在实际问题中,若涉及一组与顺序有关的数的问题,可考虑用数列方法解决,在利用数列方法解决实际问题时的关键是分清首项、项数等问题.
某企业进行技术改造,有两种方案:
甲方案,一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;
乙方案,每年贷款1万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前年多获利5千元.两种方案,使用期限都是十年,到期一次性归还本息,若银行贷款利息按年息10%的复利计算,比较两种方案,哪个获利更多?
(计算数据精确到千元,1.110≈2.594,1.310≈13.786)
[思路探究] 分清两种方案分别属于什么数列模型,然后分别建立不同数列模型解决.
[解] 方案甲:
十年获利中,每年获利数构成等比数列,首项为1,公比为1+30%,前10项和为S10=1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9,所以S10=
≈42.62(万元).又贷款本息总数为
10(1+10%)10=10×
1.110≈25.94(万元),
甲方案净获利42.62-25.94≈16.7(万元).
乙方案获利构成等差数列,首项为1,公差为
,前10项和为
T10=1+
+
+…+
=32.50(万元),
而贷款本息总数为
1.1×
[1+(1+10%)+…+(1+10%)9]
=1.1×
≈17.53(万元),
乙方案净获利
32.50-17.53≈15.0(万元).
比较两方案可得甲方案获利较多.
母题探究:
1.(变条件)在例3中,若该企业还有两种技术改造的方案,丙方案:
一次性贷款40万元,第一年获利是贷款额的10%,以后每年比上一年增加25%的利润,丁方案:
一次性贷款20万元,第一年获利是贷款额的15%,以后每年都比上一年增加利润1.5万元,两种方案使用期限都是10年,到期一次性还本付息,两种方案均按年息2%的复利计算.
(参考数据:
1.259≈7.45,1.2510≈9.3,1.029≈1.20,1.0210≈1.22),试比较两种方案,哪种方案净获利更多?
[解]方案丙:
由题意知,每年的利润an成等比数列,
且a1=4,公比q=1+25%=1.25,n=10,
收入S丙=
=132.8(万元).
净获利W丙=132.8-40(1+2%)10=132.8-48.8=84(万元),
方案丁:
由题意,每年的利润记为数列{bn},它是等差数列,且b1=3,公差为1.5,n=10,
收入S丁=10×
3+
10×
9×
1.5=30+67.5=97.5(万元).
净获利:
W丁=97.5-20(1+2%)10=97.5-24.4=73.1(万元)
所以方案丙净获利更多.
2.(变结论)在例3中,设甲方案可贷款n年,按此方案技术改造第n年的累计净获利能够超过100万元,求n的最小值.
1.314=39.374,1.315=51.186,1.114=3.798,1.115=4.178)
[解] 设按照甲方案进行技术改造,n年的累计净获利超过100万元,
由题意知,每年获利数构成等比数列,首项为1,公比为1+30%,
前n项和为Sn=1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)n-1=
(1.3n-1),
又贷款本息总数为10(1+10%)n=10×
1.1n,
则甲方案的净获利为
(1.3n-1)-10×
由题意知
1.1n>100,
经验证,当n=14时,
(1.314-1)-10×
1.114
(39.374-1)-10×
3.798
=127.913-37.98=89.933<100,
当n=15时,
(1.315-1)-10×
1.115=
(51.186-1)-10×
4.178
=167.287-41.78=125.507>100,
所以n的最小值为15.
1.等差、等比数列的应用题常见问题:
产量增减、价格的升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题,解决方法是建立数列模型,应用数列知识解决问题.
2.将实际问题转化为数列问题时应注意:
(1)分清是等差数列还是等比数列.
(2)分清是求an,还是求Sn,特别要准确确定项数n.
(3)递推关系的发现是数列建模的重要方式.
[当堂达标·
固双基]
1.计算机是将信息转换成二进制数进行处理的,二进制即“逢二进一”,例如(1101)2表示二进制的数,将它转换为十进制的形式是1×
23+1×
22+0×
21+1×
20=13,那么将二进制数(11111111)2转换为十进制的形式是( )
91022114】
A.29-2 B.28-1
C.28-2D.27-1
B [(11111111)2转换为十进制的形式为
27+1×
26+1×
25+1×
24+1×
22+1×
20=
=28-1.]
2.某产品计划每年成本降低q%,若三年后成本为a元,则现在的成本是( )
A.a(1+q%)3B.a(1-q%)3
C.
D.
C [设现在的成本为x,
则x(1-q%)3=a,故x=
.]
3.一个多边形的周长等于158cm,所有各边的长成等差数列,最大边的长等于44cm,公差等于3cm,则该多边形的边数为________.
[解析] 依题意有:
44n+
(-3)=158,
化简后为3n2-91n+316=0.
分解因式得(3n-79)(n-4)=0,
因为n是整数,
所以n=4,
即该多边形为4边形.
[答案] 4
4.《九章算术》“竹九节”问题:
现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为________升.
91022115】
[解析] 设该等差数列的公差为d,则
4a1+6d=3,3a1+21d=4,解得a1=
,d=
,
所以a5=a1+4d=
+4×
.
[答案]
5.某人年初向银行贷款10万元用于购房.
(1)如果他向建设银行贷款,年利率为5%,且这笔款分10次等额归还(不计复利),每年一次,并从借后次年年初开始归还,问每年应还多少元?
(2)如果他向工商银行贷款,年利率为4%,要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息),仍分10次等额归还,每年一次,每年应还多少元?
[解]
(1)若向建设银行贷款,设每年还款x元,
则105×
(1+10×
5%)=x(1+9×
5%)+x(1+8×
5%)+x(1+7×
5%)+…+x,
即:
105×
1.5=10x+45×
0.05x,
解得x=
≈12245(元).
(2)若向工商银行贷款,每年需还y元,则:
(1+4%)10=y(1+4%)9+y(1+4%)8+…+y(1+4%)+y,
即105×
1.0410=
·
y,
其中:
1.0410=1+10×
0.04+45×
0.042+120×
0.043+210×
0.044+…≈1.4802,
所以y≈
≈12330(元).
答:
向建设银行贷款,每年应还12245元;
若向工商银行贷款,每年应还12330元.
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- 1819 第1章 数列在日常经济生活中的应用 数列 日常 经济生活 中的 应用