二次根式的混合运算第三课时八年级数学教案模板Word文件下载.docx
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把代入①,得
解得.
∴
是原方程组的解.
(3)由②,得
①×
④
.
∴ 是原方程组的解.
例3
已知,,求的值.
.
,,
∴.
例4
,.
(二)随堂练习
1.教材中P206中8.
2.解不等式:
3.已知,,求的值.
3.,或.
∴
4.已知,,求:
的值.
解
4.
5.已知,求的值.
解5..
6.不求方根的值比较与的大小.
解6.∵
(三)总结、扩展
根据已知条件,求一个代数的值,要注意条件或代数式的化简,有时条件和要求的代数式都需要化简,当把条件化简后,代数式的化简要朝着条件化简的结果去化简.
(四)布置作业
教材中P207B组1、3和补充作业.
补充作业:
1.已知,求的值.
2.已知,,求的值.
(五)板书设计
标
题
1.例题…… 3.例题……
2.练习题 4.练习题
八、背景知识与课外阅读
二次根式的混和运算方法和顺序
1.方法
(1)应用二次根式乘法、除法和加减法运算法则.
(2)在实数范围内运算律仍适用.
(3)二次根式的乘法,与多项式的乘法相类似,遇运用多项式乘法公式时,也可以运用乘法公式.
2.顺序
先乘方、后乘除,最后加减,有括号的先算括号内的数.
相似三角形的性质教学示例1
(第1课时)
一、教学目标
1.使学生进一步理解相似比的概念,掌握相似三角形的性质定理1.
2.学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理1来解决问题.
3.进一步培养学生类比的教学思想.
4.通过相似性质的学习,感受图形和语言的和谐美
二、教法引导
先学后教,达标导学
三、重点及难点
是性质定理1的应用.
是相似三角形的判定1与性质等有关知识的综合运用.
投影仪、胶片、常用画图工具.
六、教学步骤
[复习提问]
1.三角形中三种主要线段是什么?
2.到目前为止,我们学习了相似三角形的哪些性质?
3.什么叫相似比?
[讲解新课]
根据相似三角形的定义,我们已经学习了相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
下面我们研究相似三角形的其他性质(见图).
建议让学生类比“全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等”来得出性质定理1.
性质定理1:
相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分的比都等于相似比
∽,
,
教师启发学生自己写出“已知、求证”,然后教师分析证题思路,这里需要指出的是在寻找判定两三角形相似所欠缺的条件时,是根据相似三角形的性质得到的,这种综合运用相似三角形判定与性质的思维方法要向学生讲清楚,而证明过程可由学生自己完成.
分析示意图:
结论→∽(欠缺条件)→∽(已知)
BM=MC,
以上两种情况的证明可由学生完成.
[小结]
本节主要学习了性质定理1的证明,重点掌握综合运用相似三角形的判定与性质的思维方法.
七、布置作业
教材P241中3、教材P247中A组3.
八、板书设计
一、教学目标 1.掌握等腰梯形的判定方法.
2.能够运用等腰梯形的性质和判定进行有关问题的论证和计算,进一步培养学生的分析能力和计算能力.
3.通过添加辅助线,把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题,使学生体会图形变换的方法和转化的思想
二、教法设计
小组讨论,引导发现、练习巩固
三、重点、难点
等腰梯形判定.
解决梯形问题的基本方法(将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线).
多媒体,小黑板,常用画图工具
教师复习引入,学生阅读课本;
学生在教师引导下探索等腰梯形的判定,归纳小结梯形转化的常见的辅助线
七、教学步骤
【复习提问】
1.什么样的四边形叫梯形,什么样的梯形是直角梯形、等腰梯形?
2.等腰梯形有哪些性质?
它的性质定理是怎样证明的?
3.在研究解决梯形问题时的基本思想和方法是什么?
常用的辅助线有哪几种?
我们已经掌握了等腰梯形的性质,那么又如何来判定一个梯形是否是等腰梯形呢?
今天我们就共同来研究这个问题.
【引人新课】
等腰梯形判定定理:
在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形.
前面我们用等腰三角形的定理证明了等腰梯形的性质定理,现在我们也可以用等腰三角形的判定定理来证明等腰梯形的判定定理.
例1已知:
如图,在梯形中,,,求证:
分析:
我们学过“如果一个三角形中有两个角相等,那么它们所对的边相等.”因此,我们只要能将等腰梯形同一底上的两个角转化为等腰三角形的两个底角,定理就容易证明了.
(引导学生口述证明方法,然后利用投影仪出示三种证明方法)
(1)如图,过点作、,交于,得,所以得.
又由得,因此可得.
(2)作高、,通过证推出.
(3)分别延长、交于点,则与都是等腰三角形,所以可得.
(证明过程略).
求证:
对角线相等的梯形是等腰梯形.
已知:
如图,在梯形中,,.
求证:
证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等腰三角形.
在和中,已有两边对应相等,别人要能证,就可通过证得到.
(引导学生说出证明思路,教师板书证明过程)
证明:
过点作,交延长线于,得,
∵,∴
∵,
∴
又∵、,∴
如果、交于点,那么由可得,,即等腰梯形对角线相交,可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形,这个结论虽不能直接引用,但可以为以后解题提供思路.
画一等腰梯形,使它上、下底长分别5cm,高为4cm,并计算这个等腰梯形的周长和面积.
如图,先算出长,可画等腰三角形,然后完成的画图.
画法:
①画,使.
.
②延长到使.
③分别过、作,,、交于点.
四边形就是所求的等腰梯形.
梯形周长.
答:
梯形周长为26cm,面积为.
【总结、扩展】
小结:
(由学生总结)
(l)等腰梯形的判定方法:
①先判定它是梯形②再用“两腰相等”“或同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形.
(2)梯形的画图:
一般先画出有关的三角形,在此基础上再画出有关的平行四边形,最后得到所求图形.(三角形奠基法)
八、布置作业
l.已知:
如图,梯形中,,、分别为、中点,且,求证:
梯形为等腰梯形.
九、板书设计
十、随堂练习
教材P177中l;
P179中B组2
课题:
完全平方公式
一、教材分析:
(一)教材的地位与作用
本节内容主要研究的是完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用。
它是在学生学习了代数式的概念、整式的加减法、幂的运算和整式的乘法后进行学习的,其地位和作用主要体现在以下几方面:
(1)整式是初中代数研究范围内的一块重要内容,整式的运算又是整式中一大主干,乘法公式则是在学习了单项式乘法、多项式乘法之后来进行学习的;
一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结;
另一方面,乘法公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端,通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处。
(2)乘法公式是后续学习的必备基础,不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用,更是以后学习因式分解、分式运算的重要基础,同时也具有培养学生逐渐养成严密的逻辑推理能力的功能。
(3)公式的发现与验证给学生体验规律发现的基本方法和基本过程提供了很好模式。
(二)教学目标的确定
在素质背景下的数学教学应以学生的发展为本,学生的能力培养为重,尤其是创新、创造能力,以及培养学生良好的个性品质等。
根据以上指导思想,同时参照义务教育阶段《数学课程标准》的要求,确定本节课的教学目标如下:
1、知识目标:
理解公式的推导过程,了解公式的几何背景,会应用公式进行简单的计算。
2、能力目标:
渗透建模、化归、换元、数形结合等思想方法,培养学生的发现能力、求简意识、应用意识、解决问题的能力和创新能力。
3、情感目标:
培养学生敢于挑战,勇于探索的精神和善于观察,大胆创新的思维品质。
(三)教学重点与难点
完全平方公式和平方差公式一样是主要的乘法公式,其本质是多项式乘法,是学生今后用于计算的一种重要依据,因此,本节教学的重点与难点如下:
本节的重点是体会公式的发现和推导过程,理解公式的本质,并会运用公式进行简单的计算。
本节的难点是从广泛意义上理解公式中的字母含义,判明要计算的代数式是哪两数的和(差)的平方。
二、教学方法与手段
(一)教学方法:
针对初一学生的形象思维大于抽象思维,注意力不能持久等年龄特点,及本节课实际,采用自主探索,启发引导,合作交流展开教学,引导学生主动地进行观察、猜测、验证和交流。
同时考虑到学生的认知方式、思维水平和学习能力的差异进行分层次教学,让不同层次的学生都能主动参与并都能得到充分的发展。
边启发,边探索边归纳,突出以学生为主体的探索性学习活动和因材施教原则,教师努力为学生的探索性学习创造知识环境和氛围,遵循知识产生过程,从特殊→一般→特殊,将所学的知识用于实践中。
采用小组讨论,大组竞赛等多种形式激发学习兴趣。
(二)教学手段:
利用投影仪辅助教学,突破教学难点,公式的推导变成生动、形象、直观,提高教学效率。
(三)学法指导:
在学法上,教师应引导学生积极思维,鼓励学生进行合作学习,让每个学生都动口、动手、动脑,自己归纳出运算法则,培养学生学习的主动性和积极性。
三、教材处理
根据本节内容特点,本着循序渐进的原则,我将以“边长为(a+b)的正方形面积是多少?
”这个实际问题引入新课,关于两数和的平方公式通过实例、推导、验证几个步骤完成。
关于两数差的平方公式,我将为学生提供三种不同的思路,由学生自己选择学习、理解,然后再归纳的方法进行,再通过分层次练习,加以巩固。
四、教学程序
教
学
过
程
设计意图
一、创设情境,引出课题
如图,有一个边长为a米的正方形广场,则这个广场的面积是多少?
a
若在这个广场的相邻两边铺一条宽为10米的道路,则面积是多少?
a
10
引导学生利用图形分割求面积。
另一方面:
正方形
10
10a
102
面积为(a+10)2,所以:
(a+10)2=a2+20a+102
a2
10a
a
b
ab
b2
把10替换为b,
(a+b)2=a2+2ab+b2
a2
ab
提出课题
b
通过较为简单的几何图形面积计算和较熟悉的整式乖法计算。
引入本节学习内容(a+b)·
(a+b)
(根据初一学生年龄特点,采用图形变化来激发学生学习兴趣)
问题是知识、能力的生长点,通过富有实际意义的问题能激活学生原有认知,促使学生主动地进行探索和思考。
对公式(a+b)2=a2+2ab+b2的形式进行初步认识,接触
二、交流对话,探求新知
1、推导两数和的完全平方公式
计算(a+b)2
解:
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
2、理解公式特征
①算式:
两数和的平方
②积:
两个数的平方和加上这两个数积的2倍
3、语言叙述
(a+b)2=a2+2ab+b2用语言如何叙述
4、公式(a-b)2=a2-2ab+b2教学
①利用多项式乘法(a-b)2=(a-b)(a-b)
②利用换元思想
(a-b)2=[a+(-b)]2
③利用图形
b
(a-b)
5、学生总结、归纳:
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
这两个公式叫做完全平方公式,两数和(或差)的平方,等于这两数的平方和,加上(或减去)这两数积的2倍。
6、公式中的字母含义的理解。
(学生回答)
(x+2y)2是哪两个数的和的平方?
(x+2y)2=(
)2+2(
)(
)+(
)2
(2x-5y)2是哪两个数的差的平方?
(2x+5y)2=(
变式
(2x-5y)2可以看成是哪两个数的和的平方?
利用多项式乘法推导公式,使学生了解公式的来源以及理解乘法公式的本质。
组织学生小组讨论,使学生明确公式特征,加深对公式表象的理解。
由学生对公式
(a+b)2=a2+2ab+b2进行口头语言叙述。
(1)说明:
教师提供三种模式,由学生选择一种去解决。
培养学生学习的主动性,开阔学生的思路。
(2)同时对渗透数形结合思想、换元思想,也是分散、分步突破本节的难点的第一个层次;
(3)体会辩证统一的唯物主义观点;
(4)正确引导学生学习时知识的正迁移。
使学生学会对公式的正确表述,有利于学生正确用于计算之中,此时也可以让学生对两个公式特点进行讨论归纳,适当总结一定的口诀:
“头平方,尾平方,两倍的乘积中间放。
”
加深学生对公式中的字母含义的理解,明确字母意义的广泛性
三、整理新知形成结构
1、完全平方公式并分析公式左右的特征。
2、换元的基本想法
四、应用新知,体验成功
1、例1教学:
用完全平方公式计算
(1)(a+3)2
(2)(y-)2
(3)(-2x+t)2
(4)(-3x-4y)2
学生直接运用公式计算,教师板演,讲评时边口述理由,针对第(4)题(-3x-4y)2可以看成是-3x与4y差的平方,也可以看成-3x与-4y和的平方
提出以下问题:
(1)可否看成两数和的平方,运用两数和的平方公式来计算?
(2)可否看成两数差的平方,运用两数差的平方公式来计算?
(3)能不能进行符号转化?
如(-3x-4y)2=(3x+4y)2
2、公式巩固
(1)同桌同学互相编一道用完全平方公式计算题目,然后解答。
(2)下列各式的计算,错在哪里?
应怎样改正?
①(a+b)2=a2+b2
②(a-b)2=a2-b2
③(a-2b)2=a2+2ab+2b2
3、练习:
运用完全平方公式计算:
(学生板演)
①(a+5)2
②(3+x)2
③(y-2)2
④(7-y)2
⑤(2x+3y)2⑥(-2x-3y)2⑦(3-)2⑧(--)2
4、例2,运用完全平方公式计算:
(1)1012
(2)982
5、练习:
运用完全平方公式计算
(1)912
(2)7982
(3)(10)2
6、讨论:
(1-2x)(-1-2x),(x-2y)(-2y+1)如何计算
五、公式拓展,鼓励探究
1、a2+b2=(a+b)2-______
a2+b2+_______=(a+b)2
a2+b2+________=(a-b)2
2、(a+b)2-(a-b)2=______
3、(a+b+c)2=________
4、提出思考题:
(a+b)3=?
(a+b)4=?
5、已知求的值。
6、已知:
,求,的值。
6.已知,求x和y的值。
(1)遵循及时巩固原则。
(2)针对初一学生注意力不能持久的特点。
(3)形成知识网络,有利于学生进一步学习公式的运用
(1)直接运用公式进行计算。
(2)进一步帮助学生掌握换元法。
(3)进行符号转化的变换,加深学生对公式理解的深度,也为进一步学习其它知识打好基础。
对这几个式子的辨析目的在于防止学生对以前学过的如(ab)2=a2b2的公式的负迁移作用
讲练结合
(1)合作学习,四人小组讨论(教师逐步引导到运用完全平方公式计算)学生讲自己解题的想法和步骤,培养语言表达能力。
(2)体会公式实际运用作用,增加学习兴趣
进一步辨析完全平方公式与平方差公式的区别
公式变形利于各种计算
提出一个问题,引导学生用学习研究完全平方公式的方法去研究公式的拓展变形问题。
如:
三项式的平方,两项式的立方、四次方等,培养学生的严谨的治学态度和钻研精神。
六、小结提高,知识升华
1、两个公式(a+b)2=a2+2ab+b2
2、两种推导方法:
多项式乘法导出;
图形面积导出
3、换元法与转化
七、作业布置,分层落实
1、阅读教材
6.17内容
2、见省编作业本6.17
3、对(a+b)2,(a+b)3……的展开式从项数、系数方面进行研究
由学生自己小结本节所学知识、方法等。
教师根据学生回答情况作出补充。
(1)作业1主要以培养学习良好的学习习惯为目的。
(2)结合学生实际情况,贯彻面向全体学生,因材施教原则。
作业2要求全体学都能完成。
作业3为选做题,部分学有余力的学生可选做。
在减轻学生的课业负担同时,注重人本思想,以学生的能力发展为重。
也能满足不同层次学生的不同要求。
附:
板书设计与时间大致安排
屏
幕
课题
公式……例题
学生板演
本课时的时间大致安排:
引入课题3分钟左右,探求新知15分钟左右,整理新知2分钟左右,应用新知15分钟左右,公式拓展5分钟左右,小结作业布置约5分钟。
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