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⇨
在NE中加入mixedstrategy
mixedstrategyforplayeriisaprobabilitydistributionover(someorallof)thestrategiesinSi
Mixed2
Purestrategies:
在Si中的strategies都是purestrategies
故在上例中:
Si={T,H}
有2個purestrategies:
H,T
而mixedstrategy為(q,1-q)q=Prob(H)
1-q=Prob(T)0≦q≦1
=>
(purestrategyislimitingcaseofmixedstrategy)
Mixed
Pure
(0,1)
表示
{T}
{H}
strategynotation:
mixed:
Pi
Pure:
Si
Def:
Inthenormal–formgameG={S,Π},S={Si}
SupposeSi={si1,…,sik}
Thenamixedstrategyforplayeriisaprobabilitydistribution
Pi=(Pi1,…,Pik),where0≦Pik≦1,fork=1,…,K
AndPi1+…+Pik=1
Mixed3
按定義
若Si為strictlydominatedstrategy表示不存在任何belief讓i認為選Si是optimalchoice
若Si為strictlydominatedstrategy,則沒有belief可以讓i不選Si作為optimalchoice
若無任何belief使得i認為必須以Si為optimalchoice,則必存在一個
是strictlydominatesSi
看下例:
(2)
L
R
Player
(1)
3,--
0,--
M
B
1,--
對player1而言,T,M或B無一個是被其他choicestrictlydominated
(注意
)
但在某一belief下(q,1-q),q=Prob(L)
則player1’sbestresponseisTifq≧
player1’sbestresponseisMifq≧
⇨Bisstrictlydominatedbymixedstrategies,oneexample:
Mixed4
1\2
2,--
Bisnotabestresponsetotheotherpurestrategies但Bcanbeabestresponsetoamixedstrategy
若player2playL,player1’sbestresponseisT
player2playR,player1’sbestresponseisM
若player2play(q,1-q),
則B為bestresponseto(q,1-q)
c.fplayer1’smixedstrategy(P,1–P,0),注意不是
若
表示dominance
故:
E(Π1)=P‧3‧q+P‧0‧(1–q)+(1–P)‧0‧q+(1–P)‧3‧(1–q)
=3Pq+3(1–P)(1–q)=6Pq–3-3P–3q
若E[Π1(P,1-P,0)]<Π1(B)=2
B:
(0,0,1)
?
mixed5
⇨MatchingPenniesGame
1believes2’sstrategy:
(q,1-q),q=Prob(H)
Givethisbelief,player1’sE(Π)are
令1的mixedstrategy為(r,1-r)
NE:
求bestresponseforplayer2‘s(q,1-q):
r*(q)
Mixed6
一般化:
若player1相信2的mixedstrategy為(P21,…,P2K)
若1playSij(purestrategy)
若1plays(P11,…,P1J):
mixedstrategies
Mixed7
P=(P11,…,P1J)為player1對player2’smixedstrategyP2的bestresponse
它必須符合下述條件
P1j>
0onlyif
亦即:
0只有在其所對應的purestrategyS1j是P2的bestresponse
在bestresponsemixedstrategy中只有可能的purestrategy才能放入正的機率(若該alternationstrategy並非bestresponse則其機率=0),如第32頁中的strategyB,其機率=0
此外,若player1有許多bestresponsetoP2
那麼:
任何mixedstrategy放P>
0於全部或部分位於BR(S1)中的purestrategies,P=0於非BR者,皆為player1對P2的bestresponse
r*(q)中包含r=0(0,1),r=1(1,0),
Mixed8
Nashequilibrium(includemixedstrategy)
Inatwo–playernormal–formgame
G={S1,S2;
Π1,Π2},themixedstrategies
areaNEifeachplayer’smixedstrategyisabestresponsetotheotherplayer’smixedstrategy,thatisfor
tobeNE.
Mixed9
找NE解:
回到MatchingPennies
rH
(1-r)T
找player1’smixedstrategy(r,1-r)的bestresponseq*(r)
Bestresponsecorrespondence:
r*(q),q*(r)
注意:
兩個players都不是隨機選擇其purestrategy(亦即,並非在選擇前擲銅板來決定方向)
例如:
打擊者若不清楚投手在練習時丟什麼球最順手,那麼他必認為丟直球、曲球的機率相同,根據此
,打擊手選
即使投手所依據的選擇標準為privateinformation(unavailable/unobservable)to打擊手
Mixed10
妻
Opera
Fight
夫
Opera(o)
2,1
0,0
Fight(F)
1,2
另一例:
BattleoftheSexes
夫:
(r,1-r)
妻:
(q,1-q)
此處有三個交點,另外兩個NE為(q=0,r=0),(q=1,r=1)
Mixed11
用圖形來討論NE
(1)
找bestresponsecorrespondenceforeachplayer(BRC)
(2)NE為BRC之交點
例:
q
1-q
Left
Right
r
Up
X,--
Y,--
1-r
Down
Z,--
W,--
主要cases:
(i)X>
Z,Y>
W→Upr*=1
(ii)X<
Z,Y<
W→Downr*=0
(iii)X>
W
(iv)X<
(iii)與(iv)找臨界條件:
(iii)E(Π1|Up)=Xq+Y(1-q)=Y+q(X–Y)
E(Π1|Down)=Zq+W(1-q)=W+q(Z–W)
Up~Down之臨界點q/為E(Π|U)=E(Π|D)
X>
ZY<
(iii)=>
q>
q/=>
Up:
r*=1
q<
Down:
r*=0
q=q/
Mix12
此外:
(v)X=Z→q’=1
Y≠W
(vi)Y=W→q’=0
X≠Z
同理,也可以找r’以及q*(r)forplayer2
⇨必可以找到r*(q)與q*(r)之交點:
其NE可能為單一,可能為多數
主要
case有4種,加上a=6又有四種
若只討論主要case的game→4*4種可能圖形
否則8*8=64種可能圖形
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