二轮复习数学专题跟踪检测十七 概率随机变量及其分布列Word文档下载推荐.docx
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①每人进行3个轮次的投篮;
②每个轮次每人投篮2次,若至少投中1次,则本轮通过,否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为,如果甲各次投篮投中与否互不影响,那么甲3个轮次通过的次数X的期望是( )
A.3B.
C.2D.
选B 每个轮次甲不能通过的概率为×
=,通过的概率为1-=,因为甲3个轮次通过的次数X服从二项分布B,所以X的数学期望为3×
=.
6.
(2018·
潍坊模拟)如图,六边形ABCDEF是一个正六边形,若在正六边形内任取一点,则该点恰好在图中阴影部分的概率是( )
选C 设正六边形的中心为点O,BD与AC交于点G,BC=1,则BG=CG,∠BGC=120°
,在△BCG中,由余弦定理得1=BG2+BG2-2BG2cos120°
,得BG=,所以S△BCG=×
BG×
sin120°
=×
×
=,因为S六边形ABCDEF=S△BOC×
6=×
1×
sin60°
6=,所以该点恰好在图中阴影部分的概率是1-=.
7.(2018·
福州模拟)某商店随机将三幅分别印有福州三宝(脱胎漆器、角梳、油纸伞)的宣传画并排贴在同一面墙上,则角梳与油纸伞的宣传画相邻的概率是________.
记脱胎漆器、角梳、油纸伞的宣传画分别为a,b,c,则并排贴的情况有abc,acb,bac,bca,cab,cba,共6种,其中b,c相邻的情况有abc,acb,bca,cba,共4种,故由古典概型的概率计算公式,得所求概率P==.
答案:
8.(2018·
唐山模拟)向圆(x-2)2+(y-)2=4内随机投掷一点,则该点落在x轴下方的概率为________.
如图,连接CA,CB,依题意,圆心C到x轴的距离为,所以弦AB的长为2.又圆的半径为2,所以弓形ADB的面积为×
π×
2-×
2×
=π-,所以向圆(x-2)2+(y-)2=4内随机投掷一点,则该点落在x轴下方的概率P=-.
-
9.从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张,将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞,则两张都是假钞的概率是________.
设事件A为“抽到的两张都是假钞”,事件B为“抽到的两张至少有一张假钞”,则所求的概率为P(A|B),
因为P(AB)=P(A)==,
P(B)==,
所以P(A|B)===.
10.(2018·
唐山模拟)某篮球队在某赛季已结束的8场比赛中,队员甲得分统计的茎叶图如图.
(1)根据这8场比赛,估计甲每场比赛中得分的均值μ和标准差σ;
(2)假设甲在每场比赛的得分服从正态分布N(μ,σ2),且各场比赛间相互没有影响,依此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数.
参考数据:
≈5.66,≈5.68,≈5.70.
正态总体N(μ,σ2)在区间(μ-2σ,μ+2σ)内取值的概率约为0.954.
解:
(1)μ=(7+8+10+15+17+19+21+23)=15,σ2=[(-8)2+(-7)2+(-5)2+02+22+42+62+82]=32.25.
所以σ≈5.68.
所以估计甲每场比赛中得分的均值μ为15,标准差σ为5.68.
(2)由
(1)得甲在每场比赛中得分在26分以上的概率
P(X≥26)≈[1-P(μ-2σ<X<μ+2σ)]≈(1-0.954)=0.023,
设在82场比赛中,甲得分在26分以上的次数为Y,则Y~B(82,0.023).Y的均值E(Y)=82×
0.023=1.886.
由此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数为1.886.
11.某化妆品公司从国外进口美容型和疗效型两种化妆品,分别经过本公司的两条生产线分装后进行销售,两种化妆品的标准质量都是100克/瓶,误差不超过±
5克/瓶即视为合格产品,否则视为不合格产品.现随机抽取两种产品各60瓶进行检测,检测结果统计如下:
质量/克
[90,95)
[95,100)
[100,105)
[105,110]
美容型化妆品/瓶
5
22
23
10
疗效型化妆品/瓶
21
19
15
(1)根据上述检测结果,若从这两种化妆品中各任取一瓶,以频率作为概率,分别计算这两瓶化妆品为合格产品的概率;
(2)对于一瓶美容型化妆品,若是合格产品,则可获得的利润为a(单位:
百元),若不是合格产品,则亏损a2(单位:
百元);
对于一瓶疗效型化妆品,若是合格产品,则可获得的利润为a(单位:
百元),若不是合格产品,则亏损2a2(单位:
百元).那么当a为何值时,该公司各销售一瓶这两种化妆品所获得的利润最大?
(1)由表可知,任取一瓶美容型化妆品,其为合格产品的概率为=;
任取一瓶疗效型化妆品,其为合格产品的概率为=.
(2)记X为任意一瓶美容型化妆品和一瓶疗效型化妆品所获得的利润之和,则X的所有可能取值为a,a-2a2,a-a2,-3a2,
则P=×
=,
P(X=a-2a2)=×
P=×
P(X=-3a2)=×
所以随机变量X的分布列为
X
a
a-2a2
a-a2
-3a2
P
所以E(X)=a×
+(a-2a2)×
+×
+(-3a2)×
=-a2+a=-(a-2)2+,
所以当a=2时,E(X)取得最大值,
即当a为2时,该公司各销售一瓶这两种化妆品所获得的利润最大.
12.(2019届高三·
贵阳模拟)从A地到B地共有两条路径L1和L2,经过这两条路径所用的时间互不影响,且经过L1和L2所用时间的频率分布直方图分别如图
(1)和
(2).现甲选择L1或L2在40分钟内从A地到B地,乙选择L1或L2在50分钟内从A地到B地.
(1)求图
(1)中a的值;
并回答,为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到B地,甲和乙应如何选择各自的路径?
(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到B地的人数,针对
(1)中的选择方案,求X的分布列和数学期望.
(1)由图
(1)可得(0.01+0.02×
3+a)×
10=1,
解得a=0.03,
用Ai表示甲选择Li(i=1,2)在40分钟内从A地到B地,用Bi表示乙选择Li(i=1,2)在50分钟内从A地到B地,则P(A1)=(0.01+0.02+0.03)×
10=0.6,P(A2)=(0.01+0.04)×
10=0.5,
因为P(A1)>P(A2),所以甲应选择L1.
又P(B1)=(0.01+0.02+0.03+0.02)×
10=0.8,
P(B2)=(0.01+0.04+0.04)×
10=0.9,
因为P(B2)>P(B1),所以乙应选择L2.
(2)用M,N分别表示针对
(1)的选择方案,甲、乙两人在各自允许的时间内赶到B地,由
(1)知P(M)=0.6,P(N)=0.9,X的可能取值为0,1,2.
由题意知,M,N相互独立,
∴P(X=0)=0.4×
0.1=0.04,
P(X=1)=0.4×
0.9+0.6×
0.1=0.42,
P(X=2)=0.6×
0.9=0.54,
∴X的分布列为
1
2
0.04
0.42
0.54
∴E(X)=0×
0.04+1×
0.42+2×
0.54=1.5.
13.(2018·
全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<
p<
1),且各件产品是否为不合格品相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以
(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
①若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
(1)因为20件产品中恰有2件不合格品的概率为
f(p)=Cp2·
(1-p)18,
所以f′(p)=C[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]
=2Cp(1-p)17(1-10p).
令f′(p)=0,得p=0.1.
当p∈(0,0.1)时,f′(p)>
0;
当p∈(0.1,1)时,f′(p)<
0.
所以f(p)的最大值点为p0=0.1.
(2)由
(1)知,p=0.1.
①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×
2+25Y,即X=40+25Y.所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.
②若对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费用为400元.由于EX>
400,故应该对余下的产品作检验.
二、加练大题考法——少失分
1.
郑州质检)为了减少雾霾,还城市一片蓝天,某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策,鼓励民众不开车低碳出行.市政府为了了解民众低碳出行的情况,统计了该市甲、乙两个单位各200名员工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数,画出茎叶图如图所示,
(1)若甲单位数据的平均数是122,求x的值;
(2)现从图中的数据中任取4天的数据(甲、乙两个单位中各取2天),记抽取的4天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于130的天数分别为ξ1,ξ2,令η=ξ1+ξ2,求η的分布列和数学期望.
(1)由题意知,×
[105+107+113+115+119+126+(120+x)+132+134+141]=122,解得x=8.
(2)由题得ξ1的所有可能取值为0,1,2,ξ2的所有可能取值为0,1,2,因为η=ξ1+ξ2,所以随机变量η的所有可能取值为0,1,2,3,4.
因为甲单位低碳出行的人数不低于130的天数为3,乙单位低碳出行的人数不低于130的天数为4,
所以P(η=0)==,
P(η=1)==,
P(η=2)==,
P(η=3)==,
P(η=4)==.
所以η的分布列为
η
3
4
所以E(η)=0×
+1×
+2×
+3×
+4×
福州模拟)某学校八年级共有学生400人,现对该校八年级学生随机抽取50名进行实践操作能力测试,实践操作能力测试结果分为四个等级水平,一、二等级水平的学生实践操作能力较弱,三、四等级水平的学生实践操作能力较强,测试结果统计如下表:
等级
水平一
水平二
水平三
水平四
男生/名
8
12
6
女生/名
(1)根据表中统计的数据填写下面2×
2列联表,并判断是否有95%的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关?
实践操作能力较弱
实践操作能力较强
总计
(2)现从测试结果为水平一的学生中随机抽取4名进行学习能力测试,记抽到水平一的男生的人数为ξ,求ξ的分布列和数学期望.
下面的临界值表供参考:
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
参考公式:
K2=,
其中n=a+b+c+d.
(1)补充2×
2列联表如下:
18
30
14
20
26
24
50
∴K2=≈4.327>3.841.
∴有95%的把握认为学生实践操作能力强弱与性别有关.
(2)ξ的可能取值为0,1,2,3,4.
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,
P(ξ=4)==.
∴ξ的分布列为
ξ
∴E(ξ)=0×
开封模拟)某产品按行业生产标准分成8个等级,等级系数X依次为1,2,…,8,其中X≥5为标准A,X≥3为标准B,已知甲厂执行标准A生产该产品,产品的零售价为6元/件;
乙厂执行标准B生产该产品,产品的零售价为4元/件.假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.
(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下表所示:
X1
7
0.4
b
0.1
且X1的数学期望E(X1)=6,求a,b的值;
(2)为分析乙厂产品的等级系数X2,从该厂生产的产品中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:
用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数X2的数学期望;
(3)在
(1),
(2)的条件下,若以“性价比”为判断标准,判断哪个工厂的产品更具可购买性?
并说明理由.
注:
①产品的“性价比”=产品的等级系数的数学期望/产品的零售价;
②“性价比”大的产品更具可购买性.
(1)∵E(X1)=6,∴5×
0.4+6a+7b+8×
0.1=6,
即6a+7b=3.2.①
又0.4+a+b+0.1=1,即a+b=0.5.②
联立①②解得a=0.3,b=0.2.
(2)由已知,用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数X2的概率分布列如下:
X2
0.3
0.2
∴E(X2)=3×
0.3+4×
0.2+5×
0.2+6×
0.1+7×
0.1+8×
0.1=4.8,
即乙厂产品的等级系数X2的数学期望等于4.8.
(3)乙厂的产品更具可购买性,理由如下:
∵甲厂产品的等级系数的数学期望等于6,价格为6元/件,
∴其性价比为=1,
∵乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8,价格为4元/件,
∴其性价比为=1.2,
又1.2>1,∴乙厂的产品更具可购买性.
4.(2019届高三·
洛阳联考)随着移动互联网的快速发展,基于互联网的共享单车应运而生.某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况,对该公司6个月内的市场占有率进行了统计,并绘制了相应的折线图.
(1)由折线图可以看出,可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系.求y关于x的线性回归方程,并预测M公司2019年2月份(即x=8时)的市场占有率;
(2)为进一步扩大市场,公司拟再采购一批单车.现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A,B两款车型可供选择,按规定每辆单车最多使用4年,但由于多种原因(如骑行频率等)会导致车辆使用年限各不相同.考虑到公司运营的经济效益,该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试,得到两款单车使用年限频数表如下:
使用年限
车型
1年
2年
3年
4年
A
35
100
B
40
经测算,平均每辆单车每年可以带来收入500元.不考虑除采购成本之外的其他成本,假设每辆单车的使用年限都是整数,且以频率作为每辆单车使用年限的概率.如果你是M公司的负责人,以每辆单车产生利润的期望值为决策依据,你会选择采购哪款车型?
回归直线方程为=x+,
其中=,=-.
(1)由数据计算可得==3.5,
==16.
iyi=1×
11+2×
13+3×
16+4×
15+5×
20+6×
21=371,
=12+22+32+42+52+62=91,
∴==2,=16-2×
3.5=9.
∴月度市场占有率y与月份代码x之间的线性回归方程为=2x+9.
当x=8时,=2×
8+9=25.
故M公司2019年2月份的市场占有率预计为25%.
(2)由频率估计概率,每辆A款车可使用1年,2年,3年和4年的概率分别为0.2,0.35,0.35和0.1,
∴每辆A款车产生利润的期望值为
E(X)=(500-1000)×
0.2+(1000-1000)×
0.35+(1500-1000)×
0.35+(2000-1000)×
0.1=175(元).
由频率估计概率,每辆B款车可使用1年,2年,3年和4年的概率分别为0.1,0.3,0.4和0.2,
∴每辆B款车产生利润的期望值为
E(Y)=(500-1200)×
0.1+(1000-1200)×
0.3+(1500-1200)×
0.4+(2000-1200)×
0.2=150(元).
∴E(X)>E(Y),∴应该采购A款单车.
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