完整全等三角形的提高拓展经典题教师版Word格式.docx
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/ABC+/AED=180°
【例6】五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,
求证:
AD平分/CDE
板块二、全等与角度
【例7】如图,在ABC中,BAC
的度数•
【例8]在等腰ABC中,ABAC,顶角A20,在边AB上取点D,使AD求BDC•
【例9】如图所示,在ABC中,ACBC,BAN50,ABM60,求NMB.
C20,又M在AC上,N在BC上,且满足
【例10】在四边形ABCD中,已知ABAC,的度数•
【例11】如图所示,在四边形ABCD中,
求ACD的度数•
【例12】在正ABC内取一点
D,使DADB,在
ABC外取一点E,使DBEDBC,且
BEBA,求BED.
【例13】如图所示,在ABC中,BACBCA44,M为ABC内一点,使得MCA30,MAC16,求BMC的度数•
全等三角形证明经典50题
(含答案)
1.已知:
AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD
延长AD到E,使DE=AD,
则三角形ADC全等于三角形EBD
即BE=AC=2在三角形ABE中,AB-BE<
AE<
AB+BE
即:
10-2<
2AD<
10+24<
AD<
6
又AD是整数,则AD=5
1
2.已知:
D是AB中点,/ACB=90°
,求证:
CDAB
2
3.
BC=DE,/B=/E,/C=/D,F是CD中点,求证:
/
已知:
证明:
连接BF和EF。
因为BC=ED,CF=DF,/BCF=/EDF。
所以三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。
所以BF=EF,/CBF=/DEF。
连接BE。
在三角形BEF中,BF=EF。
所以/EBF=/BEF。
又因为/ABC=/AED。
所以/ABE=/AEB。
所以AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中,
AB=AE,BF=EF,
/ABF=/ABE+/EBF=/AEB+/BEF=/AEF。
所以三角形ABF和三角形AEF全等。
所以/BAF=/EAF(/1=/2)。
4.
/1=/2,CD=DE,EF//AB,求证:
EF=AC证明:
过E点,作EG//AC,交AD延长线于G
则/DEG=/DCA,/DGE=/2
又•••CD=DE
•••/ADC6GDE(AAS)
•••EG=AC
•/EF//AB
•••/DFE=/1
•••/仁/2
•••/DFE=/DGE
•EF=EG
•
EF=AC
5.已知:
AD平分/BAC,AC=AB+BD,求证:
/B=2/C
在AC上截取AE=AB,连接ED
•/AD平分/BAC
•••/EAD=/BAD
又•••AE=AB,AD=AD
•••/AED6ABD(SAS)
•••/AED=/B,DE=DB
•/AC=AB+BD
AC=AE+CE
•CE=DE
•••/C=ZEDC
•••/AED=/C+ZEDC=2/C
•••/B=2ZC
12.如图,四边形ABCD中,AB//DC,BE、CE分别平分ZABC、/
BCD,且点E在AD上。
BC=AB+DC。
证明:
在BC上截取BF=BA,连接EF.
ZABE=ZFBE,BE=BE,贝U"
ABE也△FBE(SAS),ZEFB=ZA;
AB平行于CD,则:
ZA+ZD=180°
又ZEFB+ZEFC=180,则ZEFC=ZD;
又ZFCE=ZDCE,CE=CE,故"
FCE也△DCE(AAS),FC=CD.
所以,BC=BF+FC=AB+CD.
13•已知:
AB//ED,/EAB=/BDE,AF=CD,EF=BC,求证:
/F=/CAB//ED,AE//BD推出AE=BD,
又有AF=CD,EF=BC
所以三角形AEF全等于三角形DCB,
所以:
/C=/F
14.已知:
AB=CD,/A=/D,求证:
/B=/C
设线段AB,CD所在的直线交于E,(当AD<
BC时,E点是射线BA,CD的交点,当AD>
BC时,E点是射线AB,DC的交点)。
则:
△AED是等腰三角形。
AE=DE
而AB=CD
BE=CE(等量加等量,或等量减等量)
△BEC是等腰三角形
角B=角C.
15.
P是/BAC平分线AD上一点,AC>
AB,求证:
PC-PB<
AC-AB
作B关于AD的对称点B‘因为AD是角BAC的平分线,B'
在线段AC上(在AC中间,因为AB较短)
因为PC<
PB+B'
C,PGPB<
B'
C,而B'
C=AC-AB'
=AC-AB,所以PC-PB<
16.
已知/ABC=3/C,Z1=/2,BE丄AE,求证:
AC-AB=2BE
/BAC=180-(/ABC+/C=180-4/C
/1=/BAC/2=90-2/C
/ABE=90-/1=2/C延长BE交AC于F因为,/1=/2,BE丄AE所以,△ABF是等腰三角形
AB=AF,BF=2BE
/FBC=/ABC-/ABE=3/C-2/C=ZC
BF=CF
AC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE
17.
已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DC作AG//BD交DE延长线于G
AGE全等BDE
AG=BD=5
AGFsCDF
AF=AG=5
所以DC=CF=2
18.
(5分)如图,在△ABC中,BD=DC,Z1=/2,求证:
AD丄BC.延长AD至H交BC于H;
BD=DC;
/DBC=/角DCB;
/仁/2;
/DBC+/1=/角DCB+/2;
/ABC=/ACB;
AB=AC;
三角形ABD全等于三角形ACD;
/BAD=/CAD;
AD是等腰三角形的顶角平分线
AD垂直BC
19.(5分)如图,0M平分/POQ,MA丄OP,MB丄OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.求证:
/OAB=/OBA
因为AOM与MOB都为直角三角形、共用OM,且/MOA=/MOB所以MA=MB
所以/MAB=/MBA
因为/OAM=/OBM=90度
所以/OAB=90-/MAB/OBA=90-/MBA
所以/OAB=/OBA
20.(5分)如图,已知AD//BC,ZFAB的平分线与/CBA的平分线相交于E,CE的连线交AP于D.求证:
AD+BC=AB.
做BE的延长线,与AP相交于F点,
•/PA//BC
•••/PAB+/CBA=180,
又T,AE,BE均为/PAB和/CBA的角平分线
•••/EAB+/EBA=90AEB=90,EAB为直角三角形
在三角形ABF中,AE丄BF,且AE为/FAB的角平分线
•••三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF
在三角形DEF与三角形BEC中,
/EBC=/DFE,且BE=EF,/DEF=/CEB,
•三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,•DF=BC
•AB=AF=AD+DF=AD+BC
21.
(6分)如图,△ABC中,AD是/CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证:
/C=2/B
在AB上找点E,使AE=AC
•/AE=AC,/EAD=/CAD,AD=AD
•△ADE◎△ADC。
DE=CD,/AED=/C
•/AB=AC+CD,•DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE
/B=/EDB
/C=ZB+/EDB=2/B
22.(6分)如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE丄AC于E,BF丄AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.
(1)求证:
MB=MD,ME=MF
(2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?
若成立请给予证明;
若不成立请说明理由.
分析:
通过证明两个直角三角形全等,即Rt△DEC也Rt△BFA以及垂线的性质得出四边形BEDF
是平行四边形.再根据平行四边形的性质得出结论.
解答:
解:
(1)连接BE,DF.
•/DE丄AC于E,BF丄AC于F,,
•/DEC=/BFA=90,DE//BF,
在Rt△DEC和RtABFA中,
•/AF=CE,AB=CD,
•Rt△DEC也Rt△BFA,
•DE=BF.
•四边形BEDF是平行四边形.
•MB=MD,ME=MF;
(2)连接BE,DF.
•••Rt△DEC也Rt△BFA,
•••DE=BF.
•MB=MD,ME=MF.
23.(7分)已知:
如图,DC//AB,且DC=AE,E为AB的中点,
△AED◎△EBC.
(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC外,请再写出两个与厶AED的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):
(1)DC//AE,且DC=AE,所以四边形AECD是平行四边形。
于是知AD=EC,且/EAD=/BEC。
由AE=BE,所以△AED◎△EBC。
(2)AAEC、△ACD、△ECD都面积相等。
24.(7分)如图,△ABC中,/BAC=90度,AB=AC,BD是/ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.
BD=2CE.
延长BA、CE,两线相交于点F
•/BE丄CE
•••/BEF=/BEC=90
在厶BEF和厶BEC中
/FBE=/CBE,BE=BE,/BEF=/BEC
•△BEF◎△BEC(ASA)
•EF=EC
•CF=2CE
•••/ABD+/ADB=90,/ACF+/CDE=90
又•••/ADB=/CDE
•/ABD=/ACF
在厶ABD和厶ACF中
/ABD=/ACF,AB=AC,/BAD=/CAF=90
•△ABD◎△ACF(ASA)
•BD=CF
•BD=2CE
25、(10分)如图:
DF=CEAD=BCZD=ZC。
△AED^ABFG
26、(10分)如图:
AEBC交于点MF点在AM上,BE//CF,BE=CF
AM是△ABC的中线。
•/BE||CF
•••/E=ZCFM,/EBM=/FCM
•/BE=CF
•△BEM◎△CFM
•BM=CM
•AM是厶ABC的中线.
27、(10分)如图:
在厶ABC中,BA=BCD是AC的中点。
BD丄AG
三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等,它们全等,所以角ADB和角
CDB相等,它们的和是180度,所以都是90度,BD垂直AC
28、(10分)AB=ACDB=DCF是AD的延长线上的一点。
求证:
在厶ABD与厶ACD中AB=AC
BD=DC
AD=AD
•△ABDACD
•/ADB=/ADC
•/BDF=/FDC
在厶BDF与厶FDC中
/BDF=/FDC
DF=DF
•△FBD也厶FCD
•BF=FC
29、(12分)如图:
AB=CDAE=DFCE=FB求证:
AF=DE
因为AB=DC
AE=DF,
CE=FB
CE+EF=EF+FB
所以三角形ABE=三角形CDF
因为角DCB=角ABF
AB=DCBF=CE
三角形ABF=三角形CDE所以AF=DE
30•公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB//CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上•
证:
•/AB平行CD(已知)
•••/B=/C(两直线平行,内错角相等)
•••M在BC的中点(已知)
•EM=FM(中点定义)
在厶BME和厶CMF中
BE=CF(已知)
/B=/C(已证)
EM=FM(已证)
•△BME全等与△CMF(SAS)
•••/EMB=/FMC(全等三角形的对应角相等)
•••/EMF=/EMB+/BMF=/FMC+/BMF=/BMC=18°
(等式的
性质)
•E,M,F在同一直线上
31.已知:
点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE//DF,
BE=DF.求证:
△ABECDF.
•/AF=CE
•AF+EF=CE+EF
•AE=CF
•/BE//DF
•/BEA=/DFC
又•••BE=DF
•/ABE6CDF(SAS)
AE=AF。
如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,求证:
连结BD,得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC,由等腰△两底角相等得:
角ABC=角ADC在结合已知条件证得:
△ADEABF得AE=AF
32.如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,/1=/2,/3=/4,求证:
/5=/6.
因为角仁角2/3=/4所以角ADC=角ABC.
又因为AC是公共边,所以AAS==>三角形ADC全等于三角形ABC.
所以BC等于DC,角3等于角4,EC=EC
三角形DEC全等于三角形BEC
所以/5=/6
33.已知AB//DE,BC//EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证:
△AB4ADEF.
因为D,C在AF上且AD=CF
所以AC=DF
又因为AB平行DE,BC平行EF
所以角A+角EDF,角BCA=角F(两直线平行,内错角相等)
然后SSA(角角边)三角形全等
34.
F,求证:
BE=CD.
女口图,AB=AC,BDAC,CEAB,垂足分另U为D、E,BD、CE相交于点
因为AB=AC,
所以/EBC=/DCB
因为BD丄AC,CE丄AB
所以/BEC=/CDB
BC=CB(公共边)
则有三角形EBC全等于三角形DCB
所以BE=CD
BDC
(1)证明:
•••/ACB=90,
•••/ACD+/BCE=90,
而AD丄MN于D,BE丄MN于E,
•••/ADC=/CEB=90,/BCE+/CBE=90,
•••/ACD=/CBE.
在Rt△ADC和Rt△CEB中,{/ADC=/CEB/ACD=/CBEAC=CB,
•Rt△ADC也Rt△CEB(AAS),
•AD=CE,DC=BE,
•DE=DC+CE=BE+AD;
(2)不成立,证明:
在△ADC和厶CEB中,{/ADC=/CEB=90/ACD=/CBEAC=CB,
•△ADC◎△CEB(AAS),
DE=CE-CD=AD-BE;
41.如图所示,已知AE丄ABAF丄AC,AE=ABAF=AC求证:
(1)EC=BF
(2)EC丄BF
(1)证明;
因为AE垂直AB
所以角EAB=角EAC+角CAB=90度
因为AF垂直AC
所以角CAF=角CAB+角BAF=90度
所以角EAC=角BAF
因为AE=ABAF=AC
所以三角形EAC和三角形FAB全等
所以EC=BF
角ECA=角F
(2)⑵延长FB与EC的延长线交于点G因为角ECA=角F(已证)
所以角G=角CAF
因为角CAF=90度
所以EC垂直BF
(1)AM=AN;
(2)AM丄AN。
42.如图:
BE丄AC,CF丄AB,BM=AC,CN=AB。
(1)
•/BE丄AC,CF丄AB
•/ABM+/BAC=90,/ACN+/BAC=90
•/ABM=/ACN
•/BM=AC,CN=AB
•△ABM◎△NAC
•AM=AN
(2)
•/△ABM◎△NAC
•/BAM=/N
•••/N+/BAN=90
•/BAM+/BAN=90
即/MAN=90
•••AM丄AN
43.如图,已知/A=/D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:
BC//EF连接BF、CE,
证明△ABF全等于△DEC(SAS),
然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF
从而求得BC平行于EF
44.如图,已知AC//BD,EA、EB分别平分/CAB和/DBA,CD过点E,贝UAB与AC+BD相等吗?
请说明理由
在AB上取点N,使得AN=AC
/CAE=/EAN,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN
所以/ANE=/ACE
又AC平行BD
所以/ACE+/BDE=180
而/ANE+/ENB=180
所以/ENB=/BDE
/NBE=/EBN
BE为公共边,
所以三角形EBN全等三角形EBD
所以BD=BN
所以AB=AN+BN=AC+BD
且DF=DE.求证:
BE//CF.
45、(10分)如图,已知:
AD是BC上的中线证明:
•/AD是中线
•BD=CD
•/DF=DE,/BDE=/CDF
•••△BDE◎△CDF
•••/BED=/CFD
•BE||CF
46、(10分)已知:
如图,AB=CD,DE丄AC,BF丄AC,E,F是垂足,求证:
AB//CD.
•••DE丄AC,BF丄AC,
•••/DEC=/AFB=90,
在Rt△DEC和RtABFA中,DE=BF,AB=CD,
•••/C=ZA,
DEBF.
47、(10分)如图,已知/
仁/2,Z3=Z4,求证:
AB=CD
【待定】
48、(10分)如图,已知AC丄AB,DB丄AB,AC=BE,AE=BD,试猜想线段CE与DE的大小
与位置关系,并证明你的结论•
结论:
CE>
DE。
当/AEB越小,则DE越小。
过D作AE平行线与AC交于F,连接FB
由已知条件知AFDE为平行四边形,ABEC为矩形,且△DFB为等腰三角形。
RTABAE中,/AEB为锐角,即/AEB<
90°
•/DF//AEFDB=/AEB<
90
△DFB中/DFB=/DBF=(180-ZFDB)/2>
45
RT
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