新人教版九年级数学下册教案解直角三角形2Word下载.docx
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,a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢?
(1)边角之间关系sinA=
cosA=
tanA
(2)三边之间关系
a2+b2=c2(勾股定理)
(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°
.
以上三点正是解直角三角形的依据,通过复习,使学生便于应用.
(二)
探究活动
1.我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系,利用这些关系,在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后,就可求出其余的元素.这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念,同时又陷入思考,为什么两个已知元素中必有一条边呢?
激发了学生的学习热情.
2.教师在学生思考后,继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边?
”让全体学生的思维目标一致,在作出准确回答后,教师请学生概括什么是解直角三角形?
(由直角三角形中除直角外的两个已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形).
3.例题评析
例1在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,且b=
a=
,解这个三角形.
例2在△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,且b=20
=35
,解这个三角形(精确到0.1).
解直角三角形的方法很多,灵活多样,学生完全可以自己解决,但例题具有示范作用.因此,此题在处理时,首先,应让学生独立完成,培养其分析问题、解决问题能力,同时渗透数形结合的思想.其次,教师组织学生比较各种方法中哪些较好,选一种板演.
完成之后引导学生小结“已知一边一角,如何解直角三角形?
”
答:
先求另外一角,然后选取恰当的函数关系式求另两边.计算时,利用所求的量如不比原始数据简便的话,最好用题中原始数据计算,这样误差小些,也比较可靠,防止第一步错导致一错到底.
例3在Rt△ABC中,a=104.0,b=20.49,解这个三角形.
(三)巩固练习
在△ABC中,∠C为直角,AC=6,
的平分线AD=4
,解此直角三角形。
解直角三角形是解实际应用题的基础,因此必须使学生熟练掌握.为此,教材配备了练习针对各种条件,使学生熟练解直角三角形,并培养学生运算能力.
(四)总结与扩展
请学生小结:
1在直角三角形中,除直角外还有五个元素,知道两个元素(至少有一个是边),就可以求出另三个元素.
2解决问题要结合图形。
作业
设计
必做
教科书P92:
1、2
选做
练习册
解直三角形应用
(二)
使学生了解仰角、俯角的概念,使学生根据直角三角形的知识解决实际问题.
逐步培养分析问题、解决问题的能力.
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形中元素之间的关系,从而解决问题.
(一)回忆知识
1.解直角三角形指什么?
2.解直角三角形主要依据什么?
(1)勾股定理:
a2+b2=c2
(2)锐角之间的关系:
∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系:
tanA=
(二)新授概念
1.仰角、俯角
当我们进行测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,在水平线下方的角叫做俯角.
教学时,可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义.
2.例1
如图(6-16),某飞机于空中A处探测到目标C,此时飞行高度AC=1200米,从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°
31′,求飞机A到控制点B距离(精确到1米)
解:
在Rt△ABC中sinB=
AB=
=
=4221(米)
飞机A到控制点B的距离约为4221米.
例2.2003
年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。
当飞船完成变轨后,就在离地形表面350km的圆形轨道上运行。
如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时,从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置?
这样的最远点与P点的距离是多少?
(地球半径约为6400km,结果精确到0.1km)
分析:
从飞船上能看到的地球上最远的点,应是视线与地球相切时的切点。
将问题放到直角三角形FOQ中解决。
F
解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题,利用解直角三角形知识来解决,在此之前,学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后,用数学方法来解决问题的方法,但不太熟练.因此,解决此题的关键是转化实际问题为数学问题,转化过程中着重请学生画几何图形,并说出题目中每句话对应图中哪个角或边(包括已知什么和求什么),会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角α得出Rt△ABC中的∠ABC,进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了.
例1小结:
本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式sinA=
来解决的两个实际问题即已知
和斜边,
求∠α的对边;
以及已知∠α和对边,求斜边.
(三).巩固练习
1.热气球的探测器显示,从热气球看一栋高楼顶部的仰角为,看这栋楼底部的俯角为60
,热气球与高楼的水平距离为120m,这栋高楼有多高(结果精确到0.1`m)
2.如图6-17,某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=80°
14′.已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m,当时水位为+2.63m,求观察所A到船只B的水平距离BC(精确到1m)
教师在学生充分地思考后,应引导学生分析:
(1).谁能将实物图形抽象为几何图形?
请一名同学上黑板画出来.
(2).请学生结合图形独立完成。
3如图6-19,已知A、B两点间的距离是160米,从A点看B点的仰角是11°
,AC长为1.5米,求BD的高及水平距离CD.
此题在例1的基础上,又加深了一步,须由A作一条平行于CD的直线交BD于E,构造出Rt△ABE,然后进一步求出AE、BE,进而求出BD与CD.
设置此题,既使成绩较好的学生有足够的训练,同时对较差学生又是巩固,达到分层次教学的目的.
练习:
为测量松树AB的高度,一个人站在距松树15米的E处,测得仰角∠ACD=52°
,已知人的高度为1.72米,求树高(精确到0.01米).
要求学生根据题意能画图,把实际问题转化为数学问题,利用解直角三角形的知识来解决它.
请学生总结:
本节课通过两个例题的讲解,要求同学们会将某些实际问题转化为解直角三角形问题去解决;
今后,我们要善于用数学知识解决实际问题.
3、4
教科书P93:
7
解直三角形应用(三)
使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题,从而会把实际问题转化为数学问题来解决.
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点,培养学生用数学的意识.
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形元素之间的关系,从而利用所学知识把实际问题解决.
要求学生善于将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形中元素之间的关系,从而利用所学知识把实际问题解决.
1.导入新课
上节课我们解决的实际问题是应用正弦及余弦解直角三角形,在实际问题中有时还经常应用正切和余切来解直角三角形,从而使问题得到解决.
2.例题分析
例1.如图6-21,厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10米,∠A-26°
,
求中柱BC(C为底边中点)和上弦AB的长(精确到0.01米).
上图是本题的示意图,同学们对照图形,根据题意思考题目中的每句话对应图中的哪个角或边,本题已知什么,求什么?
由题意知,△ABC为直角三角形,∠ACB=90°
,∠A=26°
,AC=5米,可利用解Rt△ABC的方法求出BC和AB.
学生在把实际问题转化为数学问题后,大部分学生可自行完成
例题小结:
求出中柱BC的长为2.44米后,我们也可以利用正弦计算上弦AB的长。
如果在引导学生讨论后小结,效果会更好,不仅使学生掌握选何关系式,更重要的是知道为什么选这个关系式,以培养学生分析问题、解决问题的能力及计算能力,形成良好的学习习惯.
另外,本题是把解等腰三角形的问题转化为直角三角形的问题,渗透了转化的数学思想.
例2.如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65
方向,距离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南东34
方向上的B处。
这时,海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)?
.
引导学生根据示意图,说明本题已知什么,求什么,利用哪个三角形来求解,用正弦、余弦、正切、余切中的哪一种解较为简便?
3巩固练习
,已知人的高度是1.72米,求树高(精确到0.01米).
首先请学生结合题意画几何图形,并把实际问题转化为数学问题.
Rt△ACD中,∠D=Rt∠,∠ACD=52°
,CD=BE=15米,CE=DB=1.72米,求AB?
(三)总结与扩展
通过学习两个例题,初步学会把一些实际问题转化为数学问题,通过解直角三角形来解决,具体说,本节课通过让学生把实际问题转化为数学问题,利用正切或余切解直角三角形,从而把问题解决.
本课涉及到一种重要教学思想:
转化思想.
5
6
解直三角形应用(四)
使学生懂得什么是横断面图,能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题.
培养学生用数学的意识;
渗透转化思想;
渗透数学来源于实践又作用于实践的观点.
把等腰梯形转化为解直角三角形问题;
如何添作适当的辅助线.
1.出示已准备的泥燕尾槽,让学生有感视印象,将其横向垂直于燕尾槽的平面切割,得横截面,请学生通过观察,认识到这是一个等腰梯形,并结合图形,向学生介绍一些专用术语,使学生知道,图中燕尾角对应哪一个角,外口、内口和深度对应哪一条线段.这一介绍,使学生对本节课内容很感兴趣,激发了学生的学习热情.
2.例题
例燕尾槽的横断面是等腰梯形,图6-26是一燕尾槽的横断面,其中燕尾角B是55°
,外口宽AD是180mm,燕尾槽的深度是70mm,求它的里口宽BC(精确到1mm).
(1)引导学生将上述问题转化为数学问题;
等腰梯形ABCD中,上底AD=180mm,高AE=70mm,∠B=55°
,求下底BC.
(2)让学生展开讨论,因为上节课通过做等腰三角形的高把其分割为直角三角形,从而利用解直角三角形的知识来求解.学生对这一转化有所了解.因此,学生经互相讨论,完全可以解决这一问题.
遇到有关等腰梯形的问题,应考虑如何添加辅助线,将其转化为直角三角形和矩形的组合图形,从而把求等腰梯形的下底的问题转化成解直角三角形的问题.
3.巩固练习
如图6-27,在离地面高度5米处引拉线固定电线杆,拉线和地面成60°
角,求拉线AC的长以及拉线下端点A与杆底D的距离AD(精确到0.01米).
(1)请学生审题:
因为电线杆与地面应是垂直的,那么图6-27中△ACD是直角三角形.其中CD=5m,∠CAD=60°
,求AD、AC的长.
(2)学生运用已有知识独立解决此题.教师巡视之后讲评.
(三)小结
请学生作小结,教师补充.
本节课教学内容仍是解直角三角形,但问题已是处理一些实际应用题,在这些问题中,有较多的专业术语,关键是要分清每一术语是指哪个元素,再看是否放在同一直角三角形中,这时要灵活,必要时还要作辅助线,再把问题放在直角三角形中解决.在用三角函数时,要正确判断边角关系.
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10
解直三角形应用(五)
巩固直角三角形中锐角的三角函数,学会解关于坡度角和有关角度的问题
逐步培养学生分析问题解决问题的能力,进一步渗透数形结合的数学思想和方法.
渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点.
能熟练运用有关三角函数知识.
解决实际问题.
1.探究活动一
教师出示投影片,出示例题.
例1如图6-29,在山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m,测得斜坡的倾斜角是24°
,求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m).
1.例题中出现许多术语——株距,倾斜角,这些概念学生未接触过,比较生疏,而株距概念又是学生易记错之处,因此教师最好准备教具:
用木板钉成一斜坡,再在斜坡上钉几个铁钉,利用这种直观教具更容易说明术语,符合学生的思维特点.
2.引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图6-29
(2)).已知:
Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=5.5,∠A=24°
,求AB.
3.学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1.教师可请一名同学上黑板做,其余同学在练习本上做,教师巡视.
斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米.
教师引导学生评价黑板上的解题过程,做到全体学生都掌握.
2.探究活动二
例2如图6-30,沿AC方向开山修渠,为了加快施工速度,要从小山的另一边同时施工,从AC上的一点B取∠ABD=140°
,BD=52cm,∠D=50°
,那么开挖点E离D多远(精确到0.1m),正好能使A、C、E成一条直线?
这是实际施工中经常遇到的问题.应首先引导学生将实际问题转化为数学问题.
由题目的已知条件,∠D=50°
,∠ABD=140°
,BD=520米,求DE为多少时,A、C、E在一条直线上。
学生观察图形,不难发现,∠E=90°
,这样此题就转化为解直角三角形的问题了,全班学生应该能独立准确地完成.
要使A、C、E在同一直线上,则∠ABD是△BDE的一个外角.
∴∠BED=∠ABD-∠D=90°
∴DE=BD·
cosD
=520×
0.6428=334.256≈334.3(m).
开挖点E离D334.3米,正好能使A、C、E成一直线,
提到角度问题,初一教材曾提到过方向角,但应用较少.因此本节课很有必要补充一道涉及方向角的实际应用问题,出示投影片.
练习P95练习1,2。
补充题:
正午10点整,一渔轮在小岛O的北偏东30°
方向,距离等于10海里的A处,正以每小时10海里的速度向南偏东60°
方向航行.那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间?
(精确到1分).
学生虽然在初一接触过方向角,但应用很少,所以学生在解决这个问题时,可能出现不会画图,无法将实际问题转化为几何问题的情况.因此教师在学生独自尝试之后应加以引导:
(1)确定小岛O点;
(2)画出10时船的位置A;
(3)小船在A点向南偏东60°
航行,到达O的正东方向位置在哪?
设为B;
(4)结合图形引导学生加以分析,可以解决这一问题.
此题的解答过程非常简单,对于程度较好的班级可以口答,以节省时间补充一道有关方向角的应用问题,达到熟练程度.对于程度一般的班级可以不必再补充,只需理解前三例即可.
如图6-32,海岛A的周围8海里内有暗礁,鱼船跟踪鱼群由西向东航行,在点B处测得海岛A位于北偏东60°
,航行12海里到达点C处,又测得海岛A位于北偏东30°
,如果鱼船不改变航向继续向东航行.有没有触礁的危险?
如果时间允许,教师可组织学生探讨此题,以加深对方向角的运用.同时,学生对这种问题也非常感兴趣,教师可通过此题创设良好的课堂气氛,激发学生的学习兴趣.
若时间不够,此题可作为思考题请学生课后思考.
(三)小结与扩展
教师请学生总结:
在这类实际应用题中,都是直接或间接地把问题放在直角三角形中,虽然有一些专业术语,但要明确各术语指的什么元素,要善于发现直角三角形,用三角函数等知识解决问题.
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题);
(2)根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;
(3)得到数学问题的答案;
(4)得到实际问题的答案。
8
解直三角形应用
巩固用三角函数有关知识解决问题,学会解决坡度问题.
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力;
渗透数形结合的数学思想和方法.
培养学生用数学的意识,渗透理论联系实际的观点.
解决有关坡度的实际问题.
理解坡度的有关术语.
1.创设情境,导入新课.
例同学们,如果你是修建三峡大坝的工程师,现在有这样一个问题请你解决:
如图6-33
水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,斜坡AB的坡度i=1∶3,斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求斜坡AB的坡面角α,坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m).
同学们因为你称他们为工程师而骄傲,满腔热情,但一见问题又手足失措,因为连题中的术语坡度、坡角等他们都不清楚.这时,教师应根据学生想学的心情,及时点拨.
通过前面例题的教学,学生已基本了解解实际应用题的方法,会将实际问题抽象为几何问题加以解决.但此题中提到的坡度与坡角的概念对学生来说比较生疏,同时这两个概念在实际生产、生活中又有十分重要的应用,因此本节课关键是使学生理解坡度与坡角的意义.
介绍概念
坡度与坡角
结合图6-34,教师讲述坡度概念,并板书:
坡面的铅直高度h和水
平宽度
的比叫做坡度(或叫做坡比),一般用i表示。
即i=
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角.
引导学生结合图形思考,坡度i与坡角α之间具有什么关系?
答:
i=
=tan
这一关系在实际问题中经常用到,教师不妨设置练习,加以巩固.
练习
(1)一段坡面的坡角为60°
,则坡度i=______;
______,坡角
______度.
为了加深对坡度与坡角的理解,培养学生空间想象力,教师还可以提问:
(1)坡面铅直高度一定,其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系?
举例说明.
(2)坡面水平宽度一定,铅直高度与坡度有何关系,举例说明.
(1)
如图,铅直高度AB一定,水平宽度BC增加,α将变小,坡度减小,
因为tan
=
,AB不变,tan
随BC增大而减小
(2)
与
(1)相反,水平宽度BC不变,α将随铅直高度增大而增大,tanα
也随之增大,因为tan
不变时,tan
随AB的增大而增大
2.讲授新课
引导学生分析例题,图中ABCD是梯形,若BE⊥AD,CF⊥AD,梯形就被分割成Rt△ABE,矩形BEFC和Rt△CFD,AD=AE+EF+FD,AE、DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出,EF=BC=6m,从而求出AD.
以上分析最好在学生充分思考后由学生完成,以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯.
坡度问题计算过程很繁琐,因此教师一定要做好示范,并严格要求学生,选择最简练、准确的方法计算,以培养学生运算能力.
作BE⊥AD,CF⊥AD,在Rt△ABE和Rt△CDF中,
∴AE=3BE=3×
23=69(m).
FD=2.5CF=2.5×
23=57.5(m).
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m).
因为斜坡AB的坡度i=tan
≈0.3333,查表得
α≈18°
26′
斜坡AB的坡角α约为18°
26′,坝底宽AD为132.5米,斜坡AB的长约为72.7米.
(1)教材P124.2
由于坡度问题计算较为复杂,因此要求全体学生要熟练掌握,可能基础较好的学生会很快做完,教师可再给布置一题.
(2)利用土埂修筑一条渠道,在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分),已知渠道内坡度为1∶1.5,渠道底面宽BC为0.5米,求:
①横断面(等腰梯形)ABCD的面积;
②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数.
1.引导学生将实际问题转化为数学问题.
2.要求S等腰梯形ABCD,首先要求出AD,如何利用条件求AD?
3.土方数=S·
l
∴AE=1.5×
0.6=0.9(米).
∵等腰梯形ABCD,
∴FD=AE=0.9(米).
∴AD=2×
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