函数的综合问题Word格式文档下载.docx
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【例1】取象限内的点P1,P2,使1,x1,x2,2依次成等差数列,1,y1,y2,2依次成等比数列,则点P1、P2与射线l:
y=x的关系为
A.点P1、P2都在l的上方B.点P1、P2都在l上
c.点P1在l的下方,P2在l的上方D.点P1、P2都在l的下方
剖析:
x1=+1=,x2=1+=,y1=1×
=,y2=,∵y1<x1,y2<x2,
∴P1、P2都在l的下方.
D
【例2】已知f是R上的偶函数,且f=0,g是R上的奇函数,且对于x∈R,都有g=f,求f的值.
解:
由g=f,x∈R,得f=g.又f=f,g=-g,
故有f=f=g=-g=-f=-f=-g=
g=f,也即f=f,x∈R.
∴f为周期函数,其周期T=4.
∴f=f=f=0.
评述:
应灵活掌握和运用函数的奇偶性、周期性等性质.
【例3】函数f=,x1、x2∈R,当x1+x2=1时,f+f=.
求的值;
数列{an},已知an=f+f+f+…+f+f,求an.
由f+f=,得+=,
∴4+4+2=[4++2].
∵x1+x2=1,∴=2.
∴4+4=2-或2-=0.
∵4+4≥2=2=4,
而>0时2-<2,∴4+4≠2-.
∴=2.
∵an=f+f+f+…+f+f,∴an=f+f+f+…+f+f.
∴2an=[f+f]+[f+f]+…+[f+f]=++…+=.
∴an=.
深化拓展
用函数的思想处理方程、不等式、数列等问题是一重要的思想方法.
【例4】函数f的定义域为R,且对任意x、y∈R,有f=f+f,且当x>0时,f<0,f=-2.
证明f是奇函数;
证明f在R上是减函数;
求f在区间[-3,3]上的最大值和最小值.
证明:
由f=f+f,得f[x+]=f+f,∴f+f=f.又f=f+f,∴f=0.从而有f+f=0.
∴f=-f.∴f是奇函数.
任取x1、x2∈R,且x1<x2,则f-f=f-f[x1+]=f-[f+f]=-f.由x1<x2,∴x2-x1>0.∴f<0.
∴-f>0,即f>f,从而f在R上是减函数.
由于f在R上是减函数,故f在[-3,3]上的最大值是f,最小值是f.由f=-2,得f=f=f+f=f+f=f+f+f=3f=3×
=-6,f=-f=6.从而最大值是6,最小值是-6.
对于任意实数x、y,定义运算x*y=ax+by+cxy,其中a、b、c是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.现已知1*2=3,2*3=4,并且有一个非零实数,使得对于任意实数x,都有x*=x,试求的值.
提示:
由1*2=3,2*3=4,得
∴b=2+2c,a=-1-6c.
又由x*=ax+b+cx=x对于任意实数x恒成立,
∴∴b=0=2+2c.
∴c=-1.∴+c=1.
∴-1+6-=1.∴=4.
4.
●闯关训练
夯实基础
已知y=f在定义域[1,3]上为单调减函数,值域为[4,7],若它存在反函数,则反函数在其定义域上
A.单调递减且最大值为7B.单调递增且最大值为7
c.单调递减且最大值为3D.单调递增且最大值为3
互为反函数的两个函数在各自定义区间上有相同的增减性,f-1的值域是[1,3].
c
关于x的方程|x2-4x+3|-a=0有三个不相等的实数根,则实数a的值是___________________.
作函数y=|x2-4x+3|的图象,如下图.
由图象知直线y=1与y=|x2-4x+3|的图象有三个交点,即方程|x2-4x+3|=1也就是方程|x2-4x+3|-1=0有三个不相等的实数根,因此a=1.
1
若存在常数p>0,使得函数f满足f=f,则f的一个正周期为__________.
由f=f,
令px=u,f=f=f[-],∴T=或的整数倍.
已知关于x的方程sin2x-2sinx-a=0有实数解,求a的取值范围.
a=sin2x-2sinx=2-1.
∵-1≤sinx≤1,∴0≤2≤4.
∴a的范围是[-1,3].
记函数f=的定义域为A,g=lg[]的定义域为B.
求A;
若BA,求实数a的取值范围.
由2-≥0,得≥0,
∴x<-1或x≥1,即A=∪[1,+∞).
由>0,得<0.
∵a<1,∴a+1>2a.∴B=.
∵BA,∴2a≥1或a+1≤-1,即a≥或a≤-2.
而a<1,∴≤a<1或a≤-2.
故当BA时,实数a的取值范围是.
培养能力
已知二次函数f=x2+bx+c.
若f的定义域为[-1,0]时,值域也是[-1,0],符合上述条件的函数f是否存在?
若存在,求出f的表达式;
若不存在,请说明理由.
设符合条件的f存在,
∵函数图象的对称轴是x=-,
又b≥0,∴-≤0.
①当-<-≤0,即0≤b<1时,
函数x=-有最小值-1,则
或.
②当-1<-≤-,即1≤b<2时,则
③当-≤-1,即b≥2时,函数在[-1,0]上单调递增,则解得
综上所述,符合条件的函数有两个,
f=x2-1或f=x2+2x.
已知二次函数f=x2+x+c.
∵函数图象的对称轴是
x=-,又b≥0,∴-≤-.
设符合条件的f存在,
①当-≤-1时,即b≥1时,函数f在[-1,0]上单调递增,则
②当-1<-≤-,即0≤b<1时,则
综上所述,符合条件的函数为f=x2+2x.
已知函数f=x+的定义域为,且f=2+.设点P是函数图象上的任意一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为、N.
求a的值.
问:
|P|•|PN|是否为定值?
若是,则求出该定值;
若不是,请说明理由.
设o为坐标原点,求四边形oPN面积的最小值.
∵f=2+=2+,∴a=.
设点P的坐标为,则有y0=x0+,x0>0,由点到直线的距离公式可知,|P|==,|PN|=x0,∴有|P|•|PN|=1,即|P|•|PN|为定值,这个值为1.
由题意可设,可知N.
∵P与直线y=x垂直,∴P•1=-1,即=-1.解得t=.
又y0=x0+,∴t=x0+.
∴S△oP=+,S△oPN=x02+.
∴S四边形oPN=S△oP+S△oPN=+≥1+.
当且仅当x0=1时,等号成立.
此时四边形oPN的面积有最小值1+.
探究创新
有一块边长为4的正方形钢板,现对其进行切割、焊接成一个长方体形无盖容器.有人应用数学知识作了如下设计:
如图,在钢板的四个角处各切去一个小正方形,剩余部分围成一个长方体,该长方体的高为小正方形边长,如图.
请你求出这种切割、焊接而成的长方体的最大容积V1;
由于上述设计存在缺陷,请你重新设计切、焊方法,使材料浪费减少,而且所得长方体容器的容积V2>V1.
设切去正方形边长为x,则焊接成的长方体的底面边长为4-2x,高为x,
∴V1=2•x=4.
∴V1′=4.
令V1′=0,得x1=,x2=2.
而V1′=12,
又当x<时,V1′>0;
当<x<2时,V1′<0,
∴当x=时,V1取最大值.
重新设计方案如下:
如图①,在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形;
如图②,将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间;
如图③,将图②焊成长方体容器.
新焊长方体容器底面是一长方形,长为3,宽为2,此长方体容积V2=3×
2×
1=6,显然V2>V1.
故第二种方案符合要求.
●思悟小结
函数知识可深可浅,复习时应掌握好分寸,如二次函数问题应高度重视,其他如分类讨论、探索性问题属热点内容,应适当加强.
数形结合思想贯穿于函数研究的各个领域的全部过程中,掌握了这一点,将会体会到函数问题既千姿百态,又有章可循.
●教师下载中心
教学点睛
数形结合和数形转化是解决本章问题的重要思想方法,应要求学生熟练掌握用函数的图象及方程的曲线去处理函数、方程、不等式等问题.
拓展题例
【例1】设f是定义在[-1,1]上的奇函数,且对任意a、b∈[-1,1],当a+b≠0时,都有>0.
若a>b,比较f与f的大小;
解不等式f<f;
记P={x|y=f},Q={x|y=f},且P∩Q=,求c的取值范围.
设-1≤x1<x2≤1,则x1-x2≠0,
∴>0.
∵x1-x2<0,∴f+f<0.
∴f<-f.
又f是奇函数,∴f=-f.
∴f<f.
∴f是增函数.
∵a>b,∴f>f.
由f<f,得
∴-≤x≤.
∴不等式的解集为{x|-≤x≤}.
由-1≤x-c≤1,得-1+c≤x≤1+c,
∴P={x|-1+c≤x≤1+c}.
由-1≤x-c2≤1,得-1+c2≤x≤1+c2,
∴Q={x|-1+c2≤x≤1+c2}.
∵P∩Q=,
∴1+c<-1+c2或-1+c>1+c2,
解得c>2或c<-1.
【例2】已知函数f的图象与函数h=x++2的图象关于点A对称.
求f的解析式;
若g=f•x+ax,且g在区间若g=f+,且g在区间设f图象上任一点坐标为,点关于点A的对称点在h的图象上.
∴2-y=-x++2.
∴y=x+,即f=x+.
g=•x+ax,
即g=x2+ax+1.
g在g=x+.
∵g′=1-,g在ax=3,
∴a≥3.
【例3】在4月份,有一新款服装投放某专卖店销售,日销售量f关于时间n的函数关系如下图所示,其中函数f图象中的点位于斜率为5和-3的两条直线上,两直线的交点的横坐标为,且第天日销售量最大.
求f的表达式,及前天的销售总数;
按规律,当该专卖店销售总数超过400件时,社会上流行该服装,而日销售量连续下降并低于30件时,该服装的流行会消失.试问该服装在社会上流行的天数是否会超过10天?
并说明理由.
由图形知,当1≤n≤且n∈N*时,f=5n-3.
由f=57,得=12.
∴f=
前12天的销售总量为
-3×
12=354件.
第13天的销售量为f=-3×
13+93=54件,而354+54>400,
∴从第14天开始销售总量超过400件,即开始流行.
设第n天的日销售量开始低于30件,即f=-3n+93<30,解得n>21.
∴从第22天开始日销售量低于30件,
即流行时间为14号至21号.
∴该服装流行时间不超过10天.
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- 关 键 词:
- 函数 综合 问题